Cours de maths 3eme

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Cours de maths 3eme
Cours sur les nombres entiers et rationnels

Le PGCD

Le PGCD


Qu'est-ce qu'un PGCD ?
PGCD signifie Plus Grand Diviseur Commun.
Le PGCD de deux nombres a et b correspond donc au plus grand nombre qui divise à la fois a et b.
Exemple: Le PGCD de 6 et 9 est 3 car il divise 6 ( 6:3 = 2 ) ainsi que 12 ( 9:3 = 3 ). Et ce diviseur est plus grand que 1 qui l'autre diviseur commun

Comment trouver le PGCD deux nombres ?
Si les deux nombres ne sont pas trop grands la méthode la plus simple consiste à faire une liste des diviseurs des deux nombres puis de repérer ceux qui sont communs et enfin de garder le nombre le plus grand qui correspond au PGCD.
Exemple:
On recherche le PGCD de 54 et 81.
Les divseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54
Les diviseurs de 86 sont : 1, 3, 9, 27 et 86
Les diviseurs communs de 54 et 86 sont 1, 3, 9 et 27
Donc le PGCD de 54 et 81 est 27.
On peut aussi utiliser l'algorithme des soustractions successives ou l'algorithme d'Euclide.

L'algorithme des soustractions successives
Cet algorithme repose sur le fait que les diviseurs communs à deux nombres sont aussi les divsieurs de leur différence.
Pour trouver le PGCD deux nombre a et b ( avec a > b ) on calcul leur différence: a - b = c. on calcule ensuite la différence de b et du résultats c: ( si b > c ) b - c = d puis on continue jusqu' à obtenir une différence nulle. Le PGCD correspond alors aux deux derniers nombres égaux qui on été soustraits.
Exemple:
Calcul du PGCD de 212 et 86 avec l'algorithme des différences successives.
212 - 86 = 126
126 - 86 = 40
86 - 40 = 46
46 - 40 = 6
40 - 6 = 34
34 - 6 = 28
28 - 6 = 22
22 - 6 = 18
18 - 6 = 12
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Donc le PGCD de 212 et 86 est 6. 


L'algorithme d'Euclide
La recherche du PGCD deux nombres a et b (a>b) se fait en posant la divison euclidienne de a par b dont le reste est c ( a = b x k + d ). On effectue ensuite une nouvelle division entre b et c qui donne un reste d puis on continue jusquà obtenir un reste nul. Le diviseur alors utilisé correspond au PGCD de a et b.
Exemple:
Calcul du PGCD de 1524 et de 612 avec l'algorithme d'Euclide
1524 = 612 x 2 + 300
612 = 2 x 300 +12
300 = 12 x 25 + 0
Donc le PGCD de 1524 et 612 est 12

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