La réciproque du théorème de Thales
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Cours sur le théorème de Thales
Enoncé de la réciproque du théorème de Thales
Si les points O, A, et B sont alignés d'une part, que les points O, C et D sont également alignés et que l'égalité suivante est respectée :
OB OD
Alors les AC et AD sont parallèles
Utilisation de la réciproque du théorème de Thales
La réciproque du théorème de Thales peut être utilisée pour démontrer que deux droites sont parallèles ( si l'égalité est respectée )
Elle peut aussi être utilisée pour démonter, qu'au contraire, deux droites ne sont pas parallèles si l'égalité n'est pas respectée.
Fiche à imprimer : Exercice Thalès – Théorème, réciproque et problèmes
Pour mettre en pratique ce qui vient d'être expliqué, téléchargez cette fiche d'exercices consacrée à « Exercice Thalès – Théorème, réciproque et problèmes », du niveau facile jusqu'au défi.
Exercice 1 — Compléter des calculs directs (Facile)
Dans chaque question, les points M et B sont alignés avec A, les points N et C sont alignés avec A, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Complète les égalités, puis calcule la longueur demandée.
- AB = 18 cm, AM = 12 cm, AC = 15 cm. Calculer AN.
AM / AB = AN / AC donc ______
AN = ______ - AB = 20 cm, AM = 8 cm, BC = 25 cm. Calculer MN.
AM / AB = MN / BC donc ______
MN = ______ - AB = 30 cm, AC = 24 cm, AN = 10 cm. Calculer AM.
AM / AB = AN / AC donc ______
AM = ______
Exercice 2 — Vrai ou faux : reconnaître une bonne utilisation (Facile)
Pour chaque affirmation, écris Vrai ou Faux, puis justifie en une phrase.
| Affirmation | Vrai ou faux ? | Justification |
|---|---|---|
| On peut appliquer le théorème de Thalès seulement si l’on connaît des droites parallèles. | ______ | ______ |
| Dans une égalité de Thalès, les longueurs doivent être écrites dans le même ordre. | ______ | ______ |
| Si AM / AB = AN / AC, alors on peut toujours conclure que (MN) et (BC) sont parallèles, même si les points ne sont pas alignés. | ______ | ______ |
| La réciproque du théorème de Thalès sert à calculer une longueur. | ______ | ______ |
Exercice 3 — Calculer deux longueurs dans un triangle (Moyen)
Dans le triangle RST, le point A appartient au segment [RS] et le point B appartient au segment [RT]. Les droites (AB) et (ST) sont parallèles.
On donne : RS = 14 cm, RA = 5,6 cm, RT = 21 cm et ST = 17,5 cm.
- Écris l’égalité de Thalès adaptée à la figure.
- Calcule RB.
- Calcule AB.
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Exercice 4 — Utiliser la réciproque puis calculer (Moyen)
Dans le triangle ABC, le point D appartient au segment [AB] et le point E appartient au segment [AC].
On donne : AB = 24 cm, AD = 15 cm, AC = 32 cm, AE = 20 cm et BC = 40 cm.
- Compare les rapports AD / AB et AE / AC.
- Peut-on démontrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles ? Rédige la justification.
- Si le parallélisme est démontré, calcule DE.
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Exercice 5 — Configuration agrandie (Défi)
Les points A, B et M sont alignés dans cet ordre. Les points A, C et N sont alignés dans cet ordre. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 6 cm, AM = 15 cm, AC = 8 cm et MN = 35 cm.
- Identifie les deux triangles en situation de Thalès.
- Écris l’égalité des rapports.
- Calcule AN.
- Calcule BC.
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Exercice 6 — Problème concret : hauteur d’un arbre (Défi)
Au même moment de la journée, un piquet vertical de 1,5 m projette une ombre de 2,4 m. Un arbre vertical projette une ombre de 8,8 m.
On suppose que les rayons du soleil sont parallèles et que le sol est horizontal.
- Explique pourquoi on peut utiliser le théorème de Thalès.
- Écris le rapport de proportionnalité entre la hauteur et l’ombre.
- Calcule la hauteur de l’arbre.
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