Aire d'un triangle

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Cours sur les aires

Méthode pour calculer l'aire d'un triangle
Pour calculer l'aire d'un triangle il suffit de choisir l'un des cotés de ce dernier et de multiplier sa longueur par celle de sa hauteur. Le résultat est à diviser par deux pour obtenir l'aire.
Le résultat est le même quelque soit le coté du triangle choisi.

Formule pour calculer l'aire d'un triangle
Le calcul de l'aire d'un triangle peut se résumer par  formule:
 Aire =  coté x hauteur  

                   2
Exemple de calcul d'aire d'un triangle
Calcul de l'aire du triangle ABCD

Il est possible de calculer l'aire A de ce triangle de trois manières différentes:
- A =  AB x EC  
               2
- A =  AC x BF  
               2
- A =  BC x AD  
               2

Cas particulier d'un triangle rectangle
Dans le cas d'un triangle rectangle les cotés perpendiculaires sont confondus avec leur hauteur on peut donc calculer l'aire en multipliant la longueur des deux cotés perpendiculaires et en divisant le résultat par deux.
Exemple:

L'aire de ce triangle est  A = AC x CB
                                               2

La formule de l'aire d'un triangle

Pour calculer l'aire d'un triangle, on utilise une seule formule, valable pour tous les triangles :

Aire = (base × hauteur) ÷ 2

La base est l'un des côtés du triangle. La hauteur est la distance, mesurée perpendiculairement, entre cette base et le sommet opposé. Les deux doivent être exprimées dans la même unité (par exemple en centimètres), et l'aire s'exprime alors dans l'unité au carré (cm²).

Pourquoi divise-t-on par 2 ?

C'est l'idée la plus importante à comprendre, et elle est très simple : un triangle est exactement la moitié d'un rectangle. Si tu traces un rectangle de longueur « base » et de largeur « hauteur », puis que tu le coupes en diagonale, tu obtiens deux triangles identiques. L'aire du rectangle vaut base × hauteur ; celle d'un seul triangle vaut donc la moitié. D'où le « ÷ 2 ». Retenir ce raisonnement t'évite d'oublier la division, l'erreur la plus fréquente.

Bien repérer la hauteur (l'erreur classique)

La hauteur n'est pas un côté du triangle, sauf cas particulier. C'est le segment qui part du sommet et tombe à angle droit sur la base choisie. Un même triangle possède trois bases possibles, donc trois hauteurs : tu peux choisir le couple le plus pratique selon les mesures dont tu disposes.

Trois exemples résolus

1. Un triangle quelconque

Base = 8 cm, hauteur correspondante = 5 cm.
Aire = (8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm².

2. Un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent directement de base et de hauteur (ils sont déjà perpendiculaires).
Côtés de l'angle droit : 6 cm et 9 cm.
Aire = (6 × 9) ÷ 2 = 54 ÷ 2 = 27 cm².

3. Choisir la bonne hauteur

On donne base = 10 cm et la hauteur relative à cette base = 4 cm. Inutile d'utiliser les longueurs des autres côtés : seule compte la hauteur perpendiculaire à la base choisie.
Aire = (10 × 4) ÷ 2 = 20 cm².

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de diviser par 2 (on calcule alors l'aire du rectangle, soit le double).
• Prendre un côté oblique comme hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base.
• Mélanger les unités (des cm avec des m) : convertis tout dans la même unité avant de calculer.
• Oublier le « carré » dans l'unité du résultat : une aire est toujours en unité².

Exercices d'entraînement (avec corrigés)

1. Base 12 cm, hauteur 7 cm. Corrigé : (12×7)÷2 = 42 cm².
2. Triangle rectangle, côtés de l'angle droit 5 cm et 8 cm. Corrigé : (5×8)÷2 = 20 cm².
3. Base 9 cm, hauteur 6 cm. Corrigé : (9×6)÷2 = 27 cm².
4. Base 15 cm, hauteur 10 cm. Corrigé : (15×10)÷2 = 75 cm².
5. Un triangle a une aire de 30 cm² et une base de 12 cm. Quelle est sa hauteur ? Corrigé : hauteur = (2 × aire) ÷ base = (2×30)÷12 = 5 cm.

Questions fréquentes

La formule marche-t-elle pour tous les triangles ? Oui — équilatéral, isocèle, rectangle ou quelconque : (base × hauteur) ÷ 2 fonctionne toujours.

Et si je ne connais pas la hauteur ? Au collège, la hauteur est généralement donnée ou se lit sur la figure. (Au lycée, on utilise d'autres méthodes comme la formule avec le sinus.)

Comment retrouver la hauteur à partir de l'aire ? On inverse la formule : hauteur = (2 × aire) ÷ base.

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Aire du triangle rectangle et du triangle équilatéral : les cas particuliers

Beaucoup d'élèves cherchent spécifiquement la formule de l'aire d'un triangle rectangle, et c'est en réalité le cas le plus simple à calculer. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit (les cathètes) jouent directement le rôle de base et de hauteur, car ils sont déjà perpendiculaires. L'aire vaut donc : Aire = (côté 1 × côté 2) ÷ 2. Par exemple, pour un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 4 cm, on obtient (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm². Inutile de tracer une hauteur supplémentaire : elle est déjà là.

Le triangle équilatéral (trois côtés égaux) demande un petit calcul de plus, car la hauteur n'est pas un des côtés. Si le côté mesure c, la hauteur vaut c × √3 ÷ 2, et l'aire devient Aire = (c² × √3) ÷ 4. Pour un côté de 4 cm, cela donne environ 6,93 cm². Pas besoin d'apprendre cette formule par cœur au collège : il suffit de calculer la hauteur, puis d'appliquer la formule générale base × hauteur ÷ 2.

Et si je connais les trois côtés mais pas la hauteur ?

Au lycée, la formule de Héron permet de calculer l'aire à partir des trois longueurs seules. Au collège, on s'appuie sur la base et la hauteur : c'est toujours la même logique, base × hauteur ÷ 2, quel que soit le type de triangle.