Exercices corriges Pythagore 4eme
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Exercices corrigés Pythagore 4ème : fiche complète pour s’entraîner vraiment
Le théorème de Pythagore fait partie des grands classiques du programme de mathématiques en 4ème. Et pour cause : il sert partout. Dans un triangle rectangle, pour calculer une diagonale, vérifier si un angle est droit, résoudre un problème de longueur dans une figure, ou encore traiter des situations concrètes comme une échelle contre un mur, un écran, un terrain ou une rampe d’accès.
Cette fiche de Exercices corrigés Pythagore 4ème a été pensée pour aller plus loin qu’une simple série de calculs. On commence par des exercices très guidés, puis on monte progressivement en puissance. Si vous avez besoin de revoir la méthode avant de vous lancer, vous pouvez aussi consulter le cours sur le théorème de Pythagore en 4ème. Et si vous voulez ensuite tester la réciproque, un prolongement naturel consiste à travailler la réciproque du théorème de Pythagore et la reconnaissance des triangles rectangles dans les exercices de géométrie du même chapitre.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC2 = AB2 + AC2
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long côté.
Petit fait amusant : bien avant les manuels scolaires français, des tablettes babyloniennes utilisaient déjà des triplets pythagoriciens. Le célèbre 3-4-5 n’a donc rien d’un hasard.
1. Je repère l’angle droit sur la figure ou dans l’énoncé.
2. Je nomme l’hypoténuse : c’est le côté en face de l’angle droit, donc le plus long.
3. Si je cherche l’hypoténuse, j’utilise : côté2 = côté2 + côté2.
4. Si je cherche un autre côté, je fais une soustraction : côté2 = hypoténuse2 − autre côté2.
5. Je pense à la racine carrée à la fin. C’est justement le point qui bloque souvent ; un détour par les racines carrées en 4ème aide énormément.
6. Je termine par une phrase de conclusion avec l’unité.
5 exercices d’application directe — difficulté 1/3
Ici, l’objectif est simple : appliquer la formule sans piège. Ce sont les exercices parfaits pour fixer la méthode. D’ailleurs, les professeurs les utilisent souvent en début de chapitre dans le cadre du programme de l’Éducation nationale, avant de passer aux problèmes plus complets.
Exercice 1 — Calculer une hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Calculer BC.
Corrigé exercice 1
Le triangle ABC est rectangle en A. L’hypoténuse est donc BC.
D’après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
Donc BC = √100 = 10.
Conclusion : la longueur BC est égale à 10 cm.
Petit clin d’œil utile : 6, 8 et 10 forment un triplet pythagoricien. Quand on le reconnaît, on gagne du temps.
Exercice 2 — Calculer une hypoténuse
Le triangle DEF est rectangle en D. On donne DE = 9 cm et DF = 12 cm.
Calculer EF.
Corrigé exercice 2
Le triangle DEF est rectangle en D. Le côté opposé à l’angle droit est EF. C’est l’hypoténuse.
D’après le théorème de Pythagore :
EF2 = DE2 + DF2
EF2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
Donc EF = √225 = 15.
Conclusion : la longueur EF est égale à 15 cm.
9-12-15 est un autre triplet classique. Les maçons s’en servent encore pour vérifier un angle droit sur un chantier.
Exercice 3 — Calculer un côté de l’angle droit
Le triangle GHI est rectangle en G. On donne HI = 13 cm et GH = 5 cm.
Calculer GI.
Corrigé exercice 3
Le triangle GHI est rectangle en G. L’hypoténuse est HI.
On applique le théorème de Pythagore :
HI2 = GH2 + GI2
132 = 52 + GI2
169 = 25 + GI2
GI2 = 169 − 25 = 144
Donc GI = √144 = 12.
Conclusion : la longueur GI est égale à 12 cm.
Le triplet 5-12-13 est moins connu que 3-4-5, mais il tombe très souvent dans les contrôles.
Exercice 4 — Calculer un côté de l’angle droit
Le triangle JKL est rectangle en J. On donne KL = 17 cm et JK = 15 cm.
Calculer JL.
Corrigé exercice 4
Le triangle JKL est rectangle en J. L’hypoténuse est donc KL.
D’après le théorème de Pythagore :
KL2 = JK2 + JL2
172 = 152 + JL2
289 = 225 + JL2
JL2 = 289 − 225 = 64
Donc JL = √64 = 8.
Conclusion : la longueur JL est égale à 8 cm.
Beaucoup d’élèves ont le réflexe inverse et additionnent 289 et 225. C’est justement l’erreur typique quand on cherche un côté de l’angle droit.
Exercice 5 — Diagonale d’un rectangle
Un rectangle mesure 15 cm de longueur et 8 cm de largeur.
Calculer la longueur de sa diagonale.
Corrigé exercice 5
Dans un rectangle, la diagonale forme avec la longueur et la largeur un triangle rectangle.
Notons d la diagonale. Alors :
d2 = 152 + 82
d2 = 225 + 64 = 289
Donc d = √289 = 17.
Conclusion : la diagonale du rectangle mesure 17 cm.
Le rectangle 8 par 15 apparaît souvent dans les exercices car il donne un résultat entier. C’est pratique pour se concentrer sur la méthode.
5 exercices d’entraînement — difficulté 2/3
On change un peu de décor. Les figures ne sont pas toujours données de façon aussi directe, et il faut parfois rédiger plus soigneusement. C’est exactement ce qu’on attend en 4ème : savoir utiliser le théorème dans une situation géométrique ou concrète, pas seulement réciter une formule.
Exercice 6 — Une échelle contre un mur
Une échelle de 10 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l’échelle se trouve à 6 m du mur.
À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ?
Indication de figure : représenter un triangle rectangle formé par le sol horizontal, le mur vertical et l’échelle. L’angle droit est au pied du mur.
Corrigé exercice 6
Le mur et le sol sont perpendiculaires. On a donc un triangle rectangle.
L’échelle mesure 10 m : c’est l’hypoténuse. La distance au mur est 6 m. On cherche la hauteur h.
D’après le théorème de Pythagore :
102 = 62 + h2
100 = 36 + h2
h2 = 100 − 36 = 64
h = √64 = 8
Conclusion : l’échelle touche le mur à une hauteur de 8 m.
Ce problème a l’air scolaire, mais il correspond à une vraie règle de sécurité pour placer une échelle sans la coucher ni la redresser trop.
Exercice 7 — Une diagonale de terrain
Un terrain rectangulaire mesure 24 m sur 18 m.
Calculer la longueur de sa diagonale.
Corrigé exercice 7
La diagonale d’un rectangle se calcule avec le théorème de Pythagore.
Notons d la diagonale :
d2 = 242 + 182
d2 = 576 + 324 = 900
Donc d = √900 = 30
Conclusion : la diagonale du terrain mesure 30 m.
Le triplet 18-24-30 est simplement le triplet 3-4-5 multiplié par 6. Voilà pourquoi le calcul tombe juste.
Exercice 8 — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle MNP a pour côtés MN = 7 cm, MP = 24 cm et NP = 25 cm.
Le triangle MNP est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
Corrigé exercice 8
Ici, on ne calcule pas une longueur. On vérifie si la réciproque du théorème de Pythagore fonctionne. Si besoin, on peut revoir la méthode complète ici : réciproque du théorème de Pythagore en 4ème.
Le plus grand côté est NP = 25 cm.
On calcule :
MN2 + MP2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
NP2 = 252 = 625
On obtient bien :
MN2 + MP2 = NP2
Donc le triangle MNP est rectangle. L’hypoténuse est NP, donc l’angle droit est au sommet M.
Conclusion : le triangle MNP est rectangle en M.
Le nombre 24 apparaît souvent dans ces exercices car il appartient à plusieurs triplets célèbres. Il revient sans arrêt dans les annales.
Exercice 9 — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle RST a pour côtés RS = 6 cm, RT = 8 cm et ST = 11 cm.
Le triangle RST est-il rectangle ?
Corrigé exercice 9
Le plus grand côté est ST = 11 cm. S’il y avait un angle droit, ST serait l’hypoténuse.
On calcule :
RS2 + RT2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
ST2 = 112 = 121
Comme 100 ≠ 121, l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée.
Conclusion : le triangle RST n’est pas rectangle.
Un détail intéressant : 6-8-10 aurait formé un triangle rectangle. Il suffit ici d’allonger un peu trop le plus grand côté pour casser la propriété.
Exercice 10 — Écran et diagonale
Un écran rectangulaire mesure 48 cm de large et 36 cm de haut.
Calculer la longueur de la diagonale.
Fait peu connu : les tailles d’écrans sont souvent annoncées par leur diagonale, pas par leur largeur. Ce détail surprend toujours la première fois qu’on le remarque.
Corrigé exercice 10
Notons d la diagonale de l’écran.
d2 = 482 + 362
d2 = 2304 + 1296 = 3600
Donc d = √3600 = 60
Conclusion : la diagonale de l’écran mesure 60 cm.
48-36-60 correspond encore à un triplet pythagoricien. Les fabricants d’écrans, eux, n’utilisent pas vraiment ce genre de dimensions idéales ; les exercices, si.
3 exercices d’approfondissement — difficulté 3/3
Cette partie demande davantage d’attention. Il faut parfois enchaîner plusieurs étapes, lire une figure implicite ou justifier avec précision. Ce sont des exercices très utiles pour préparer un contrôle, surtout si votre enseignant aime les problèmes en plusieurs temps.
Exercice 11 — Triangle rectangle dans un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB = 9 cm et AD = 12 cm. Les diagonales se coupent en O.
Calculer AC, puis OA.
Indication de figure : tracer le rectangle ABCD, puis la diagonale AC. Le point O est le milieu des diagonales d’un rectangle.
Corrigé exercice 11
Dans le rectangle ABCD, le triangle ADC est rectangle en D.
On calcule d’abord la diagonale AC :
AC2 = AD2 + DC2
Or, dans un rectangle, DC = AB = 9 cm.
Donc AC2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225
AC = √225 = 15
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de AC.
OA = AC ÷ 2 = 15 ÷ 2 = 7,5
Conclusion : la diagonale AC mesure 15 cm et la longueur OA est égale à 7,5 cm.
Le fait que les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu est souvent oublié, alors qu’il permet de gagner une ligne entière de calcul.
Exercice 12 — Hauteur inaccessible
On attache un câble en haut d’un poteau vertical. Le câble mesure 13 m et son extrémité au sol est fixée à 5 m du pied du poteau.
Calculer la hauteur du poteau.
Indication de figure : dessiner un triangle rectangle formé par le poteau, le sol et le câble. L’angle droit est entre le poteau et le sol.
Corrigé exercice 12
Le poteau est vertical et le sol est horizontal, donc ils sont perpendiculaires. On a bien un triangle rectangle.
Le câble mesure 13 m : c’est l’hypoténuse. La distance au sol est 5 m. On cherche la hauteur h du poteau.
D’après le théorème de Pythagore :
132 = 52 + h2
169 = 25 + h2
h2 = 169 − 25 = 144
h = √144 = 12
Conclusion : la hauteur du poteau est de 12 m.
Ce type de question s’appelle parfois “hauteur inaccessible”, alors que le calcul, lui, reste très accessible quand la figure est bien lue.
Exercice 13 — Rédaction complète attendue en contrôle
Un parc de loisirs installe une rampe d’accès rectiligne de 6,5 m de longueur pour atteindre une plateforme située à 2,5 m de hauteur.
Calculer la longueur au sol occupée par la rampe.
Rédiger la solution comme dans un contrôle.
Indication de figure : représenter un triangle rectangle : la plateforme donne la hauteur verticale, le sol donne la base horizontale, la rampe est l’hypoténuse.
Corrigé exercice 13
Rédaction type contrôle :
On considère le triangle formé par la rampe, le sol et la hauteur de la plateforme. Ce triangle est rectangle car la hauteur est perpendiculaire au sol.
La rampe mesure 6,5 m. C’est l’hypoténuse. La hauteur vaut 2,5 m. On cherche la longueur au sol, notée x.
D’après le théorème de Pythagore :
6,52 = 2,52 + x2
42,25 = 6,25 + x2
x2 = 42,25 − 6,25 = 36
x = √36 = 6
Conclusion : la longueur au sol occupée par la rampe est de 6 m.
Ce genre de situation concrète revient souvent dans les sujets liés à l’accessibilité. Les nombres sont choisis pour faire travailler le raisonnement, pas pour piéger sur le calcul.
Erreurs fréquentes et réflexes qui font gagner des points
Confondre l’hypoténuse avec un autre côté. C’est l’erreur numéro 1.
Oublier la racine carrée à la fin et laisser une réponse sous la forme x2 = 64.
Ajouter au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l’angle droit.
Utiliser Pythagore dans un triangle qui n’est pas rectangle.
Oublier l’unité dans la phrase finale.
Écrire directement le résultat sans rédiger. En 4ème, selon les attentes de l’Éducation nationale et des évaluations de chapitre, la démarche compte autant que le nombre trouvé.
Cherche d’abord le petit carré de l’angle droit sur la figure. Le côté juste en face est l’hypoténuse. Si tu hésites encore, prends le plus long côté : dans un triangle rectangle, c’est toujours lui.
Anecdote utile : le mot “hypoténuse” vient du grec et signifie à peu près “tendue en dessous”. C’est le côté “tendu” face à l’angle droit.
Synthèse de rédaction attendue en 4ème
Le triangle ... est rectangle en ... .
D’après le théorème de Pythagore : ...2 = ...2 + ...2
Je remplace par les valeurs numériques.
Je calcule.
Donc ... = ...
Conclusion : ... mesure ... cm / m.
Si l’énoncé demande “le triangle est-il rectangle ?”, on ne part pas du théorème direct. On compare les carrés des longueurs. Pour s’entraîner juste après cette fiche, le plus logique est de passer à la réciproque du théorème de Pythagore, puis à une série de contrôles et exercices de 4ème sur Pythagore.
Mini fiche révision à imprimer
Si je cherche l’hypoténuse : j’additionne les carrés puis je prends la racine carrée.
Si je cherche un autre côté : je soustrais les carrés puis je prends la racine carrée.
Si je dois vérifier qu’un triangle est rectangle : je compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
Figures classiques à savoir traiter : rectangle, échelle contre un mur, diagonale d’écran, terrain, rampe, câble, triangle dans une figure plus grande.
Pour compléter la révision, on peut enchaîner avec les triangles rectangles, les racines carrées et une fiche d’exercices sur les triangles rectangles en 4ème.
Conclusion
Cette fiche Exercices corrigés Pythagore 4ème couvre l’essentiel : calcul d’hypoténuse, recherche d’un côté, diagonales, situations concrètes, vérification d’un triangle rectangle et rédaction complète attendue en contrôle. Si vous bloquez encore sur certains calculs, le plus efficace est de reprendre d’abord les racines carrées, puis de travailler la réciproque du théorème de Pythagore avant de passer à un contrôle de 4ème sur Pythagore. C’est souvent à ce moment-là que tout devient plus fluide.
