Theoreme de Pythagore : cours 4eme
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Théorème de Pythagore : cours 4eme
Le Théorème de Pythagore : cours 4eme, c’est souvent le moment où les longueurs cessent d’être de simples nombres posés dans un triangle pour devenir un vrai outil de calcul. Au programme de 4e, selon les attendus de l’Éducation nationale, tu dois savoir utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, puis reconnaître si un triangle est rectangle grâce à sa réciproque.
Ce chapitre marque un tournant. Beaucoup d’élèves se souviennent du fameux triangle 3-4-5, mais ce qu’on oublie souvent, c’est que ce résultat était déjà connu bien avant Pythagore dans certaines civilisations anciennes. Les bâtisseurs égyptiens utilisaient par exemple une corde à 13 nœuds pour former un angle droit. Comme quoi, derrière la formule, il y a aussi une histoire de terrain, de construction et de mesure.
Définition et rappels indispensables
Triangle rectangle : un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
Hypoténuse : dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus grand côté du triangle.
Carré d’une longueur : si une longueur vaut 6 cm, son carré vaut 62 = 36 cm2. Attention : on parle ici du carré du nombre, pas d’une aire qu’on aurait forcément dessinée.
Avant même d’écrire une formule, il faut savoir repérer les rôles de chaque côté. C’est là que se jouent la plupart des erreurs. Un élève écrit parfois AB2 = AC2 + BC2 sans regarder où se trouve l’angle droit. Résultat : formule juste dans l’absolu, mais appliquée au mauvais côté. En géométrie, l’ordre compte.
Comment reconnaître l’hypoténuse sans se tromper
Prends un triangle ABC rectangle en A. L’angle droit est donc au point A. Le côté qui ne touche pas A est BC. C’est lui, l’hypoténuse.
Autrement dit :
si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC est l’hypoténuse, et les deux autres côtés sont AB et AC.
Petit fait peu connu : le mot hypoténuse vient du grec et désigne littéralement le côté “tendu sous” l’angle droit. C’est une vieille image de corde tendue. Quand on la connaît, on retient mieux que ce côté est spécial.
Ce que le programme de 4e attend vraiment
Au collège, dans le cadre du programme de mathématiques de 4e de l’Éducation nationale, on n’attend pas seulement que tu récites une formule. Tu dois être capable de :
utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur ;
rédiger correctement une démonstration simple ;
utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer qu’un triangle est rectangle ;
repérer les cas où le théorème ne s’applique pas.
Si tu travailles aussi la géométrie dans l’espace ou les distances sur une figure, ce chapitre te servira ensuite dans beaucoup d’exercices. Tu pourras d’ailleurs prolonger avec des exercices sur le théorème de Pythagore en 4e pour automatiser les méthodes, revoir le cours sur le triangle rectangle ou consolider les calculs avec les racines carrées.
Le théorème de Pythagore et sa démonstration
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC2 = AB2 + AC2
Cette phrase doit devenir un réflexe. Mais pas un réflexe mécanique. Il faut la comprendre. Le théorème relie trois longueurs d’un triangle rectangle. Si tu en connais deux, tu peux trouver la troisième.
Une démonstration simple à comprendre en 4e
La démonstration complète existe sous des dizaines de formes. Certaines sont très élégantes, d’autres très visuelles. En 4e, la plus parlante repose souvent sur les aires.
Imagine un carré de côté a + b. À l’intérieur, on place quatre triangles rectangles identiques, de côtés a, b et d’hypoténuse c. En les disposant d’une certaine manière, il reste au centre un petit carré de côté c.
L’aire du grand carré vaut :
(a + b)2
Elle vaut aussi :
aire des 4 triangles + aire du carré central
soit :
4 × (a × b / 2) + c2
Donc :
(a + b)2 = 2ab + c2
En développant le membre de gauche :
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
On simplifie 2ab de chaque côté :
a2 + b2 = c2
Et voilà. C’est exactement le théorème de Pythagore.
Ce qui fascine les mathématiciens, c’est qu’on connaît aujourd’hui plusieurs centaines de démonstrations de ce théorème. Même le président américain James Garfield en a proposé une. Oui, un président. Pas seulement un professeur de maths.
Comment rédiger correctement
La rédaction attendue au collège doit être simple, propre et logique. Par exemple :
Rédaction type
Le triangle ABC est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
BC2 = AB2 + AC2
Cette structure compte. On commence par vérifier ou rappeler que le triangle est rectangle, puis on cite le théorème, puis on écrit l’égalité. Beaucoup d’élèves perdent des points non pas sur le calcul, mais sur cette phrase de départ oubliée.
Calculer une longueur dans un triangle rectangle
Calculer l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore
Exemple 1
Dans le triangle DEF rectangle en D, on connaît :
DE = 6 cm et DF = 8 cm.
On cherche la longueur EF, qui est l’hypoténuse.
Rédaction :
Le triangle DEF est rectangle en D.
D’après le théorème de Pythagore :
EF2 = DE2 + DF2
EF2 = 62 + 82
EF2 = 36 + 64
EF2 = 100
EF = 10 cm
Ce triangle 6-8-10 est un cousin du très célèbre 3-4-5. En fait, il suffit de multiplier 3, 4 et 5 par 2. C’est un bon réflexe pour vérifier rapidement si ton résultat a du sens.
Calculer un autre côté dans un triangle rectangle
Exemple 2
Dans le triangle GHI rectangle en H, on connaît :
GI = 13 cm et GH = 5 cm.
On cherche la longueur HI.
Rédaction :
Le triangle GHI est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore :
GI2 = GH2 + HI2
132 = 52 + HI2
169 = 25 + HI2
HI2 = 169 - 25
HI2 = 144
HI = 12 cm
Ici, le piège classique consiste à additionner au lieu de soustraire. Quand on cherche un côté qui n’est pas l’hypoténuse, on isole son carré. C’est ce passage qui fait souvent trébucher, surtout quand la figure n’est pas dessinée à l’échelle.
Fiche mémo : quand utiliser le théorème, quand utiliser sa réciproque
Tu utilises le théorème de Pythagore quand tu sais déjà que le triangle est rectangle et que tu veux calculer une longueur.
Tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore quand tu connais les trois longueurs d’un triangle et que tu veux prouver qu’il est rectangle.
Question simple à se poser : “Est-ce qu’on me dit que le triangle est rectangle ?” Si oui, théorème. Si non, et que j’ai trois longueurs, réciproque.
Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Si dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté et si
BC2 = AB2 + AC2
alors le triangle ABC est rectangle en A.
Cette réciproque change tout : elle permet de passer d’un calcul de longueurs à une preuve géométrique. C’est exactement ce que demande souvent l’Éducation nationale en 4e dans les exercices de démonstration.
Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
La méthode est stricte. D’abord, on repère le plus grand côté. Ensuite, on calcule son carré. Puis on calcule la somme des carrés des deux autres côtés. Enfin, on compare.
Exemple 3
Dans le triangle JKL, on connaît :
JK = 9 cm, JL = 12 cm et KL = 15 cm.
On veut savoir si le triangle JKL est rectangle.
Rédaction :
Le plus grand côté est KL = 15 cm.
KL2 = 152 = 225
JK2 + JL2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
On a donc KL2 = JK2 + JL2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en J.
Le triplet 9-12-15 est lui aussi un multiple de 3-4-5. Les professeurs aiment bien ces nombres parce qu’ils tombent juste. Toi, tu dois surtout retenir la logique de rédaction.
Cas où le théorème ne s’applique pas
Attention
Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle.
Exemple simple : un triangle a pour côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm. Si on te demande de calculer une longueur avec le théorème, tu ne peux pas foncer tête baissée. Rien ne dit ici que le triangle est rectangle.
On peut même tester avec la réciproque :
62 = 36 et 42 + 52 = 16 + 25 = 41.
Comme 36 ≠ 41, ce triangle n’est pas rectangle. Le théorème ne s’applique donc pas.
C’est une erreur très fréquente en contrôle : voir trois longueurs, penser automatiquement à Pythagore, puis oublier la condition de départ.
Erreurs fréquentes avec le théorème de Pythagore
Confondre l’hypoténuse
L’erreur numéro un, c’est de prendre pour hypoténuse un côté qui touche l’angle droit. L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit, et c’est aussi le plus long.
Oublier de vérifier que le triangle est rectangle
Le théorème ne fonctionne pas dans n’importe quel triangle. Si l’énoncé ne précise pas que le triangle est rectangle, il faut parfois utiliser d’abord la réciproque du théorème de Pythagore.
Se tromper sur les unités au carré
Quand tu écris 62 = 36, si la longueur est en cm, alors le carré est en cm2. Ensuite, après extraction de la racine carrée, on revient à une longueur en cm.
Exemple : écrire directement EF2 = 100 cm est faux. Il faut écrire EF2 = 100 cm2, puis EF = 10 cm.
Ce détail paraît minuscule, mais il montre si tu maîtrises vraiment ce que tu calcules. Et oui, certains correcteurs y sont très attentifs.
Exercices corrigés et mini-quiz
Exercice 1
Dans le triangle MNP rectangle en M, on a MN = 7 cm et MP = 24 cm. Calculer NP.
Correction
Le triangle MNP est rectangle en M.
D’après le théorème de Pythagore :
NP2 = MN2 + MP2
NP2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
NP = 25 cm
Exercice 2
Un triangle RST a pour côtés RS = 8 cm, RT = 15 cm et ST = 17 cm. Montrer qu’il est rectangle.
Correction
Le plus grand côté est ST = 17 cm.
ST2 = 172 = 289
RS2 + RT2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289
Comme ST2 = RS2 + RT2, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en R.
Mini-quiz express
1. Si un triangle n’est pas rectangle, peut-on appliquer le théorème de Pythagore ?
2. Dans un triangle rectangle, quel côté est l’hypoténuse ?
3. Si c2 = a2 + b2, que peut-on dire du triangle ?
Réponses
1. Non.
2. Le côté opposé à l’angle droit.
3. S’il s’agit du carré du plus grand côté, alors le triangle est rectangle grâce à la réciproque.
Pour aller plus loin, tu peux t’entraîner avec des exercices corrigés sur le théorème de Pythagore, revoir le cours complet sur la réciproque et retravailler les racines carrées, souvent utiles quand le résultat n’est pas un entier.
Résumé méthode : théorème, réciproque et triangle rectangle
À retenir
Pour utiliser le théorème de Pythagore : le triangle doit être rectangle, on identifie l’hypoténuse, puis on écrit l’égalité avec le carré de l’hypoténuse.
Pour calculer l’hypoténuse : on additionne les carrés des deux autres côtés.
Pour calculer un autre côté : on soustrait au carré de l’hypoténuse le carré du côté connu.
Pour utiliser la réciproque : on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
À surveiller : angle droit, choix de l’hypoténuse, unités en cm2 pendant le calcul puis en cm à la fin.
Conclusion de cours
Ce Théorème de Pythagore : cours 4eme repose sur une idée simple, mais très puissante : dans un triangle rectangle, les trois côtés sont liés par une égalité précise. Si le triangle est rectangle, tu peux calculer une longueur. Si tu connais les trois longueurs, tu peux utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer qu’un triangle est rectangle.
Les points à retenir sont nets : repérer l’hypoténuse sans hésiter, vérifier la présence de l’angle droit avant d’appliquer le théorème, rédiger proprement, faire attention aux unités au carré, puis revenir à une longueur simple à la fin. C’est un chapitre central du programme de 4e de l’Éducation nationale, et il sert partout ensuite : en géométrie plane, dans l’espace, et même dans certains problèmes de distance.
Si tu veux progresser vite, le bon réflexe consiste à alterner le cours, la réciproque, les exercices corrigés et un rappel sur les racines carrées. C’est souvent à ce moment-là que le chapitre devient enfin limpide.
