Interpolation linéaire : définition simple, formule et exemples

L’interpolation linéaire sert à estimer une valeur située entre deux points connus en supposant que l’évolution entre eux est à peu près une droite. Elle fonctionne surtout quand la variation est régulière sur l’intervalle et ne doit pas être confondue avec l’extrapolation, qui cherche au-delà des données connues.

Tu connais peut-être deux températures mesurées à 14 h et à 16 h, mais pas celle de 15 h : comment faire une estimation raisonnable sans inventer n’importe quoi ? C’est exactement le rôle de l’interpolation linéaire. En collège, cette idée aide à lire un graphique, compléter un tableau ou approcher une valeur manquante avec méthode. Le principe est simple : entre deux points connus, on suppose une évolution régulière, comme si on traçait un segment de droite. Encore faut-il savoir quand cette hypothèse est crédible, et quand elle risque de tromper.

Interpolation linéaire : définition simple, idée clé et cas où elle marche vraiment

L’interpolation linéaire définition la plus simple est celle-ci : on cherche à estimer une valeur située entre deux points connus en supposant que l’évolution suit à peu près une droite. Autrement dit, on remplace une variation compliquée, ou une fonction inconnue, par un modèle local très simple. Cette méthode n’est raisonnable que si la variation régulière sur l’intervalle paraît crédible et si l’on reste strictement entre les deux valeurs déjà observées.

En mathématiques, l’idée repose sur un fait géométrique clair : deux points déterminent un segment, et sur ce segment la pente est constante. Si l’on connaît par exemple les points $A(x_{1},y_{1})$ et $B(x_{2},y_{2})$, on suppose que la valeur cherchée suit une fonction affine entre $x_{1}$ et $x_{2}$. Cela revient à dire que, localement, la grandeur augmente ou diminue de façon presque régulière. L’interpolation n’affirme donc pas que tout le phénomène réel est une droite ; elle dit seulement qu’entre ces deux mesures, une droite peut donner une estimation utile, rapide et souvent assez correcte dans des applications scolaires, statistiques ou pratiques.

La différence essentielle est là : interpoler, c’est estimer entre deux points connus ; aller au-delà, c’est extrapoler, donc prendre davantage de risque. Si une température vaut $12$ à $10$ h et $16$ à $12$ h, estimer la température à $11$ h par une valeur proche de $14$ est une interpolation. En revanche, prévoir la température à $15$ h à partir de ces seules données n’a plus la même précision, car on sort de l’intervalle observé. Plus la courbe réelle est courbée, irrégulière ou brusque, moins l’interpolation linéaire est fiable. En revanche, si les données changent doucement, l’approximation reste souvent pertinente.

Sur un graphique, on peut déjà faire une estimation visuelle. On place les deux points, on imagine ou on trace le segment qui les relie, puis on lit la valeur intermédiaire. Cette lecture donne une réponse pratique, mais avec une marge d’erreur approximative, car l’épaisseur du trait, l’échelle et la précision de lecture influencent le résultat. Un bon réflexe mental est le suivant : si les points semblent presque alignés, l’interpolation linéaire peut être raisonnable. Ce n’est pas une preuve, mais c’est un excellent test rapide. Dans beaucoup d’applications, on cherche justement ce compromis entre simplicité, rapidité et précision suffisante, sans prétendre décrire exactement la vraie fonction.

Comment calculer une interpolation linéaire pas à pas, sans se tromper

Pour calculer l’interpolation linéaire, on prend deux points connus, on vérifie que la valeur cherchée est bien dans l’intervalle, puis on applique une proportion. La formule interpolation linéaire est $$y=y_{1}+\frac{(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}$$, mais en langage simple, cela signifie : “je prends la même part du trajet horizontal et je la reporte verticalement”.

La formule paraît technique, pourtant elle suit une idée très concrète. On connaît une fonction connue en deux points : $(x_{1},y_{1})$ et $(x_{2},y_{2})$. On cherche la valeur de $y$ pour une abscisse $x$ située entre $x_{1}$ et $x_{2}$. Ici, $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les deux valeurs de départ sur l’axe horizontal, tandis que $y_{1}$ et $y_{2}$ sont les valeurs associées. La fraction $$\frac{x-x_{1}{x_{2}-x_{1}$$ donne la part de l’intervalle déjà parcourue entre $x_{1}$ et $x_{2}$. Ensuite, on applique exactement cette même part à l’écart vertical $y_{2}-y_{1}$. Autrement dit, si $x$ est à mi-chemin, alors $y$ sera aussi à mi-chemin, ce qui relève de la proportionnalité. Cette méthode pas à pas évite les erreurs de signe et aide à comprendre quelle est la formule, au lieu de la réciter sans sens.

Voici le raisonnement à suivre quand on veut savoir comment faire de l’interpolation linéaire. On repère d’abord $x_{1}$, $x_{2}$, $y_{1}$ et $y_{2}$. Puis on vérifie que $x$ est bien entre $x_{1}$ et $x_{2}$ ; sinon, ce n’est plus une interpolation, mais une extrapolation. On calcule ensuite l’écart horizontal total $x_{2}-x_{1}$, puis l’écart entre la valeur cherchée et le début : $x-x_{1}$. On transforme cela en part de l’intervalle avec $$\frac{x-x_{1}{x_{2}-x_{1}$$. Enfin, on applique cette part à l’écart vertical $y_{2}-y_{1}$ et on l’ajoute à $y_{1}$. Exemple résolu : à $10^\circ\text{C}$, un liquide occupe $20$ mL, et à $20^\circ\text{C}$, $26$ mL. Pour $15^\circ\text{C}$, on a une moitié d’intervalle, car $$\frac{15-10}{20-10}=\frac{5}{10}=0{,}5.$$ Donc on prend la moitié de l’augmentation : $$20+0{,}5\times(26-20)=20+3=23\ \text{mL}.$$ La conclusion doit toujours garder l’unité.

Pour décider si la méthode est pertinente, j’utilise une mini vérification mentale : les deux valeurs encadrent-elles bien la valeur cherchée, la variation semble-t-elle assez régulière sur ce petit intervalle, et cherche-t-on une estimation locale plutôt qu’une valeur exacte ? Si la réponse est oui, l’interpolation linéaire est souvent raisonnable ; en revanche, si la courbe est très courbée ou si l’intervalle est large, la marge d’erreur augmente. Un cas pratique fréquent apparaît quand $b=a+1$ : pour estimer la valeur entre deux entiers consécutifs, on peut utiliser la partie décimale de $x$. Si $x=7{,}3$, alors on prend $0{,}3$ de l’écart entre les valeurs en $7$ et en $8$. Dans Excel, la formule exacte s’écrit $$=y_{1}+(x-x_{1})\times\frac{(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}.$$ L’erreur classique, néanmoins, consiste à oublier les parenthèses, à inverser les écarts, ou à interpoler alors que $x$ n’est pas dans le bon intervalle.

Méthode express pour savoir si l’interpolation linéaire est adaptée

L’interpolation linéaire est adaptée si tu restes entre deux données connues, si ces deux points sont assez proches, si la courbe semble presque droite entre eux, et si tu acceptes une estimation avec une petite marge d’erreur. Si un seul de ces critères manque, le résultat devient vite moins fiable.

Voici le test mental le plus simple. D’abord, vérifie que la valeur cherchée est bien comprise entre deux valeurs déjà connues : si tu sors de l’intervalle, ce n’est plus une interpolation mais une autre démarche. Ensuite, regarde l’écart entre les deux points : plus ils sont rapprochés, plus l’estimation a des chances d’être correcte. Troisième étape, observe la tendance sur un graphique ou dans un tableau : si l’évolution paraît quasi rectiligne, la méthode a du sens ; si ça tourne, accélère ou ralentit nettement, méfiance. Enfin, garde en tête qu’on n’obtient pas une vérité exacte, mais une valeur plausible. Par exemple, si un point visuel semble situé vers $7{,}5$ avec une hésitation de $\pm 0{,}2$, l’idée reste utile, mais pas certaine au centième.

Interpolation, extrapolation ou régression : quelle méthode choisir selon la situation ?

On choisit l’interpolation linéaire quand on estime une valeur entre deux données proches et assez régulières. L’extrapolation linéaire sert au-delà des données connues, mais le risque d’erreur monte vite. La régression, elle, cherche une tendance globale sur plusieurs points, pas seulement entre deux voisins. Voilà le bon réflexe pour savoir quelle interpolation choisir selon la situation.

Le bon critère, c’est la zone où l’on travaille. Si la valeur cherchée est comprise entre deux mesures et que la courbe ne semble pas trop se tordre, l’interpolation est souvent raisonnable. C’est une estimation locale. Elle relie deux points proches par une droite, donc la précision reste correcte si l’évolution est régulière sur ce petit intervalle. En revanche, l’extrapolation prolonge la droite en dehors des données observées. C’est plus fragile. Très vite, la réalité peut changer de rythme, plafonner ou accélérer. Une droite prolongée donne alors une réponse simple, mais parfois fausse. La régression répond à un autre besoin : quand on a beaucoup de points dispersés, on cherche une tendance moyenne, pas une valeur exacte entre deux voisins. Ce comparatif interpolation extrapolation évite une confusion fréquente chez les élèves.

L’erreur d’interpolation se comprend visuellement. Si la vraie courbe ressemble presque à une droite entre deux points, l’erreur reste petite. Si elle est très courbée, elle augmente. C’est l’idée essentielle. Entre deux températures proches, une droite peut suffire. Pour la croissance d’une plante sur plusieurs semaines, c’est parfois moins bon. On peut alors dire : “ma valeur est une estimation avec une petite marge”. Simple et honnête. Au collège, on retient surtout cette idée de tendance locale : près de deux points, une droite peut être utile. Plus loin, beaucoup moins. Il existe des méthodes plus avancées, avec d’autres courbes ou ajustements, mais elles dépassent souvent le niveau collège. Ici, le plus sûr est de choisir la méthode selon la question posée, pas selon l’outil disponible.

Exemples concrets au collège : graphique, médiane, Excel et erreurs fréquentes

Au collège, l’interpolation linéaire sert surtout à estimer une valeur entre deux points connus sur un graphique, à approcher une médiane dans des données regroupées, et à automatiser le calcul avec Excel. Les pièges classiques sont nets : confondre interpolation et extrapolation, choisir un mauvais intervalle, inverser les points ou oublier que la valeur cherchée doit vérifier $x_{1} \leq x \leq x_{2}$.

Prenons un interpolation linéaire exemple très concret. Sur un graphique, on lit qu’à $10$ minutes la température vaut $18\,^{\circ}\mathrm{C}$, puis qu’à $20$ minutes elle vaut $22\,^{\circ}\mathrm{C}$. On cherche la valeur à $15$ minutes. Comme $15$ est exactement au milieu de l’intervalle, on estime une hausse de moitié, donc $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. Avec la formule, on retrouve la même idée : $$y=y_{1}+\frac{x-x_{1}{x_{2}-x_{1}(y_{2}-y_{1})=18+\frac{15-10}{20-10}(22-18)=20.$$ Visuellement, la lecture reste une estimation. Si le trait est épais ou si l’échelle est serrée, on peut annoncer environ $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ avec une marge d’erreur de $\pm 0{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}$. C’est utile en statistiques, en sciences et dans des exercices corrigés, car l’élève apprend à distinguer une valeur lue précisément d’une valeur simplement plausible.

Autre usage scolaire : la médiane par interpolation linéaire dans une série groupée. Supposons des tailles d’élèves rangées par classes : $[150;155[$, $[155;160[$, $[160;165[$, avec effectifs cumulés $8$, $18$, $30$. S’il y a $30$ élèves, la médiane est au rang $15$. Ce rang tombe dans la classe $[155;160[$, car on passe de $8$ à $18$. On suppose alors, de façon simple, que les valeurs sont réparties régulièrement dans cette classe. La formule devient $$M=155+\frac{15-8}{18-8}\times (160-155)=155+\frac{7}{10}\times 5=158{,}5.$$ On obtient une médiane d’environ $158{,}5$ cm. Le même raisonnement peut servir pour un quartile, en remplaçant le rang médian par celui de $Q_{1}$ ou $Q_{3}$. Ce n’est pas une valeur observée directement, mais une estimation raisonnable à l’intérieur d’un intervalle.

En interpolation linéaire Excel, le cas réel le plus simple est un tableau où A2 contient $x_{1}$, B2 contient $y_{1}$, C2 contient $y_{2}$, D2 contient $x_{2}$ et E2 la valeur cherchée $x$. La formule Excel exacte est alors : =B2+(E2-A2)*(C2-B2)/(D2-A2). Si $A2=10$, $B2=18$, $C2=22$, $D2=20$ et $E2=15$, Excel renvoie $20$. Beaucoup d’élèves cherchent aussi une solution en ligne ou en Python, mais au collège, l’essentiel est de comprendre le mécanisme avant l’outil. Les erreurs fréquentes restent toujours les mêmes : prendre deux points qui n’encadrent pas $x$, changer l’ordre des données, oublier les unités, ou confondre la pente $\frac{y_{2}-y_{1}{x_{2}-x_{1}$ avec le résultat final. En revanche, si les points sont bien choisis et si $x$ est dans l’intervalle, la méthode est rapide, claire et très fiable.

Formule Excel exacte et lecture des cellules

Pour une interpolation linéaire Excel, entre deux points $(x_{1},y_{1})$ et $(x_{2},y_{2})$, on calcule la valeur cherchée par $$y=y_{1}+\frac{(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}.$$ Dans une feuille simple, place $x_{1}$ en A2, $y_{1}$ en B2, $x_{2}$ en A3, $y_{2}$ en B3, puis la valeur $x$ à estimer en D2. La formule Excel exacte à saisir en E2 est : =B2+((D2-A2)*(B3-B2))/(A3-A2). Exemple : si A2 $=10$, B2 $=4$, A3 $=20$, B3 $=8$ et D2 $=15$, Excel renvoie $6$.

Cette interpolation linéaire formule Excel s’adapte sans difficulté : si tes données sont sur d’autres lignes, remplace simplement les références ; si elles sont sur des colonnes, garde la même logique, car Excel lit seulement les cellules indiquées. Par conséquent, avec $x_{1}$ en C5, $y_{1}$ en D5, $x_{2}$ en C6, $y_{2}$ en D6 et $x$ en F5, la formule devient =D5+((F5-C5)*(D6-D5))/(C6-C5). En revanche, elle n’est correcte que si la valeur cherchée est entre $x_{1}$ et $x_{2}$ ; sinon, tu fais une extrapolation, donc une estimation plus incertaine.

Comment faire une extrapolation ?

Pour faire une extrapolation, je prolonge la tendance observée au-delà des données connues. Avec deux points, j’utilise une relation linéaire : y = y1 + (x - x1) × (y2 - y1) / (x2 - x1). Cette méthode donne une estimation hors de l’intervalle mesuré. Il faut rester prudent, car l’erreur peut vite augmenter si la tendance réelle change.

Comment calculer l'erreur d'interpolation ?

Pour calculer l’erreur d’interpolation, je compare la valeur interpolée à une valeur réelle connue : erreur = valeur réelle - valeur interpolée. On peut aussi prendre l’erreur absolue ou relative en pourcentage. Si la vraie valeur n’est pas disponible, j’estime l’erreur à partir de la courbure des données ou en comparant plusieurs méthodes d’interpolation sur le même jeu de données.

Comment calculer la médiane par interpolation linéaire ?

Pour calculer la médiane par interpolation linéaire dans une série groupée, je repère la classe médiane, celle où l’effectif cumulé dépasse N/2. J’applique ensuite la formule : Médiane = L + ((N/2 - F) / f) × h. Ici, L est la borne inférieure de la classe médiane, F l’effectif cumulé précédent, f l’effectif de la classe et h son amplitude.

Comment faire une interpolation linéaire sur Excel ?

Sur Excel, je fais une interpolation linéaire avec la formule : =y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1). Il faut connaître les deux points encadrant la valeur recherchée. Si les données sont dans des cellules, je remplace x1, x2, y1 et y2 par leurs références. Cette méthode est simple, rapide et bien adaptée aux tableaux numériques triés.

Comment faire une extrapolation linéaire ?

Pour faire une extrapolation linéaire, j’utilise la même formule que pour l’interpolation linéaire, mais avec une valeur de x située en dehors de l’intervalle connu. La formule est : y = y1 + (x - x1) × (y2 - y1) / (x2 - x1). Elle suppose que la pente reste constante. Plus on s’éloigne des données, moins l’estimation est fiable.

Comment faire une interpolation linéaire Excel ?

Pour une interpolation linéaire Excel, je commence par identifier les deux valeurs de x qui entourent la valeur cible. Ensuite, j’entre une formule du type =B2+(E1-A2)*(B3-B2)/(A3-A2), selon l’emplacement des données. On peut aussi automatiser la recherche des bornes avec RECHERCHEX ou INDEX/EQUIV si le tableau contient beaucoup de lignes.

Comment déterminer la médiane par interpolation linéaire ?

Pour déterminer la médiane par interpolation linéaire, je calcule d’abord l’effectif total N, puis je cherche la position N/2. Je repère la classe qui contient cette position dans les effectifs cumulés. Ensuite, j’interpole à l’intérieur de cette classe avec la formule médiane = L + ((N/2 - F) / f) × h. Cela donne une estimation continue de la médiane.

Quelle interpolation choisir ?

Le choix dépend des données et de la précision attendue. J’utilise l’interpolation linéaire si les points sont proches et la variation régulière. Pour des courbes plus lisses, je peux choisir une interpolation polynomiale ou spline. Si les données sont bruitées ou irrégulières, mieux vaut privilégier une méthode simple et robuste pour éviter des estimations artificiellement trop précises.

L’interpolation linéaire est une méthode simple, utile et très visuelle pour estimer une valeur entre deux données connues. Retenir l’essentiel : on reste entre deux points, on suppose une variation assez régulière, et on vérifie si l’approximation paraît cohérente sur le graphique ou dans le tableau. Pour progresser, entraîne-toi avec un exemple concret, puis compare ton résultat à une lecture visuelle : c’est le meilleur moyen de comprendre vraiment la méthode.

Mis à jour le 05 mai 2026