Dérivé racine de u : formule, conditions et pièges à éviter

La dérivée de √u est u'/(2√u) lorsque u est dérivable et strictement positive. Attention : la fonction √u peut être définie pour u = 0, mais la formule de dérivation avec 2√u au dénominateur ne s’applique que là où u(x) > 0.

« Pourquoi mon professeur dit-il que la racine existe en 0, mais que sa dérivée n’existe pas forcément ? » C’est exactement le genre de détail qui bloque beaucoup d’élèves. Quand on travaille sur le dérivé racine de u, la difficulté ne vient pas seulement de la formule, mais surtout des conditions d’application. Entre domaine de définition, domaine de dérivabilité et erreurs classiques comme confondre √(x²) avec x, on peut vite se tromper. Ici, l’objectif est d’avoir une méthode simple, rigoureuse et rassurante pour savoir quand utiliser la formule, et quand il faut s’arrêter pour réfléchir.

Quelle est la formule du dérivé de racine de u ?

La réponse directe est la suivante : si $u$ est dérivable et si $u(x) > 0$ sur l’intervalle étudié, alors la dérivée de racine de u est donnée par $$\left(\sqrt{u}\right)'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}.$$ Autrement dit, pour la racine carrée de u, on dérive d’abord la fonction extérieure $x \mapsto \sqrt{x}$, puis on multiplie par $u$ prime. C’est une application classique des règles de dérivation pour une fonction composée.

Cette formule vient du tableau des dérivées élémentaires : on sait que, pour $x>0$, $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}$. Si l’on remplace ensuite $x$ par une fonction $u(x)$, on obtient la formule composée. Le schéma mental est simple : fonction extérieure $f(x)=\sqrt{x}$, fonction intérieure $u(x)$, donc $(f\circ u)'=(f'\circ u)\times u'$. Écrit proprement, $$\left(\sqrt{u(x)}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}\times u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}.$$ Le mot-clé à retenir est composition. On ne dérive pas seulement la racine, on dérive une expression entière placée sous la racine carrée. C’est exactement le type de calcul rencontré dans les dérivées élémentaires et les règles usuelles vues au collège avancé ou au lycée.

La condition à ne pas rater est nette : la fonction $u$ doit être définie là où l’on travaille, et la formule avec le dénominateur $2\sqrt{u(x)}$ s’emploie là où $u(x)>0$. Pourquoi ? Parce que $\sqrt{u(x)}$ doit exister, et surtout parce qu’on ne peut pas diviser par $0$. Le nombre dérivé de $\sqrt{u}$ ne se traite donc pas automatiquement aux points où $u(x)=0$. C’est le piège classique : confondre domaine de définition de la racine carrée, où $u(x)\geq 0$, et domaine de dérivabilité de la formule, où l’écriture $$\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}$$ demande strictement $u(x)>0$. Cette nuance explique beaucoup d’erreurs d’élèves quand ils appliquent la formule trop vite, sans vérifier le signe de l’expression sous la racine.

Deux exemples très courts permettent de fixer la méthode. Pour $f(x)=\sqrt{3x+1}$, on pose $u(x)=3x+1$, donc $u'(x)=3$, et pour $x>-\frac{1}{3}$, $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}.$$ Pour $g(x)=\sqrt{x^{2}+4}$, on prend $u(x)=x^{2}+4$, donc $u'(x)=2x$, et comme $x^{2}+4>0$ pour tout réel, $$g'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+4}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}.$$ Dans les deux cas, la logique est identique : identifier la fonction composée, calculer $u$ prime, puis appliquer la formule sans oublier la condition sur la racine carrée. C’est une règle courte, mais elle demande de la précision.

Quand la formule est-elle valable ? Domaine, dérivabilité et cas limite quand $u = 0$

La formule $$\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}$$ ne s’emploie que là où $u(x)>0$. Si $u=0$, la racine définie peut exister sans que la dérivabilité suive. Il faut donc séparer clairement le domaine de définition de $\sqrt{u}$ et l’ensemble des points où sa dérivée existe vraiment.

La condition d’existence de $\sqrt{u(x)}$ est simple : il faut $u(x)\geq 0$. C’est le domaine de définition. Mais la formule de dérivation contient le dénominateur $2\sqrt{u(x)}$, donc elle n’a de sens que si $u(x)\neq 0$, plus précisément si $u$ est strictement positive au point étudié, et en pratique sur un intervalle autour de ce point. Voilà le piège classique : une fonction peut être définie en un point sans être dérivable en ce point. Le cas limite $u(x)=0$ est délicat, car la racine est bien définie, mais la formule devient inutilisable. On ne peut donc pas réciter une règle de fonction usuelle sans vérifier d’abord où elle s’applique réellement.

Les exemples montrent pourquoi ce tri est indispensable. Si $u(x)=x$, alors $\sqrt{u(x)}=\sqrt{x}$ est définie en $0$, mais n’est pas dérivable en $0$ : la pente devient infinie. Si $u(x)=x^{2}$, alors $\sqrt{u(x)}=\sqrt{x^{2}=|x|$ ; la fonction est définie en $0$, mais non dérivable en $0$ malgré le fait que $u$ soit dérivable. Même chose pour $u(x)=(x-1)^{2}$ en $1$ : on obtient $\sqrt{(x-1)^{2}=|x-1|$, non dérivable en $1$. Ces contre-exemples sont précieux : quand $u égale 0$, la stricte positivité manque, et la formule ne dit plus rien. La bonne méthode consiste à repérer le domaine de définition, puis à chercher sur quel intervalle $u$ reste positive. C’est seulement sur cet intervalle que la dérivation de $\sqrt{u}$ est justifiée.

Pourquoi $\sqrt{x^{2}$ est un piège classique

$\sqrt{x^{2}$ ne vaut pas $x$ sur tout $\mathbb{R}$, mais $|x|$. Voilà le piège. Si $x=-3$, on a $\sqrt{x^{2}=\sqrt{9}=3$, et non $-3$. Par conséquent, la fonction étudiée n’est pas la droite $x$, mais la valeur absolue, avec un comportement différent selon le signe de $x$.

L’automatisme faux consiste à écrire $\left(\sqrt{x^{2}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}}$. Cette formule se simplifie en réalité en $\frac{x}{|x|}$ pour $x\neq 0$. Donc la dérivée vaut $-1$ si $x<0$ et $1$ si $x>0$. En $0$, l’expression n’a pas de sens, et cela confirme que $|x|$ n’est pas dérivable en $0$, même si elle y est bien définie. Le point délicat est là : la formule de dérivation de $\sqrt{u}$ exige souvent une discussion quand $u(x)=0$. Ici, $u(x)=x^{2}$ s’annule en $0$, et la tangente présente une pointe. Retenir $\sqrt{x^{2}=|x|$ évite donc une erreur très fréquente en dérivation.

Comment dériver une expression avec $\sqrt{u}$ sans se tromper : méthode pas à pas

Pour dériver $\sqrt{u}$, on suit toujours la même routine : vérifier que $u \geq 0$, repérer la fonction intérieure $u$, calculer $u'$, appliquer la formule $$\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}$$ puis finir la simplification en gardant les restrictions. Cette méthode dérivée racine de u évite presque toutes les erreurs fréquentes.

Voici les étapes de dérivation à mémoriser, exactement comme dans le tableau des dérivées des fonctions usuelles, où $\sqrt{x}$ est une fonction de base mais ici en composition avec une autre expression.

1. Vérifie le domaine de définition : il faut $u(x)\geq 0$, et si $u$ est un quotient, son dénominateur doit aussi être non nul.
2. Repère la fonction intérieure $u$ : c’est le morceau placé sous la racine, qu’il s’agisse d’un polynôme ou d’un quotient.
3. Dérive $u$ séparément : si $u(x)=5x-2$, alors $u'(x)=5$ ; si $u(x)=x^{2}+3x+1$, alors $u'(x)=2x+3$.
4. Applique la formule de composition : $$\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}$$ en pensant que cette formule demande aussi $\sqrt{u}$ au dénominateur, donc $u(x)>0$ pour la dérivabilité.
5. Simplifie proprement, sans tricher sur les signes ni sur le domaine, puis note les valeurs interdites et les points où $u=0$.

Exemple simple : pour $f(x)=\sqrt{5x-2}$, on a $5x-2\geq 0$, donc $x\geq \frac{2}{5}$. La dérivée existe seulement si $5x-2>0$, donc pour $x>\frac{2}{5}$. On obtient $$f'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-2}.$$ Faux réflexe classique : écrire $\frac{1}{2\sqrt{5x-2}}$ en oubliant $u'$. Pour $g(x)=\sqrt{x^{2}+3x+1}$, même logique : domaine donné par $x^{2}+3x+1\geq 0$, dérivabilité là où $x^{2}+3x+1>0$, et $$g'(x)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+1}.$$ Ici, dériver seulement la racine serait une erreur. On ne dérive pas “$\sqrt{\phantom{x}}$ toute seule”. On dérive une composition.

Le cas $h(x)=\sqrt{\frac{2x+1}{x-4}$ force à être plus vigilant. Le domaine vérifie $\frac{2x+1}{x-4}\geq 0$ avec $x\neq 4$. Ensuite, on dérive la fonction intérieure quotient : $$u(x)=\frac{2x+1}{x-4},\qquad u'(x)=\frac{2(x-4)-(2x+1)}{(x-4)^{2}=\frac{-9}{(x-4)^{2}.$$ Donc $$h'(x)=\frac{-9}{2(x-4)^{2}\sqrt{\frac{2x+1}{x-4}.$$ Bonne méthode : domaine, puis dérivée, puis simplification. Mauvais réflexe : simplifier abusivement la racine, ignorer $x=4$, ou croire que la formule marche au point où $u=0$. Non. Si $u=0$, la fonction peut être définie, mais la dérivée donnée par la formule ne l’est pas, car le dénominateur vaut $0$.

Exercices corrigés sur le dérivé de racine de u avec commentaires sur les erreurs typiques

Les meilleurs exercices corrigés dérivée racine de u forcent à vérifier le domaine avant toute dérivation. Il faut savoir traiter un cas affine, un trinôme, un quotient et le piège $\sqrt{x^{2}$, puis expliquer l’erreur commise. C’est cette lecture diagnostique qui sécurise la méthode et améliore la vérification du résultat.

Quelle est la primitive de √u ?

En général, la primitive de √u ne s’écrit pas simplement sans connaître u(x). Si u est la variable elle-même, alors ∫√u du = ∫u^(1/2) du = (2/3)u^(3/2) + C. Si u dépend de x, il faut souvent un changement de variable, surtout si l’intégrande contient aussi u'(x).

Quel est le dérivé de la racine de u et v ?

Pour √u, la dérivée est u'/(2√u), à condition que u>0. Pour √v, c’est de la même façon v'/(2√v). Si vous parlez de √(uv), j’utilise la chaîne : la dérivée vaut (u'v + uv')/(2√(uv)), tant que uv>0 sur l’intervalle étudié.

Quelle est la dérivée d'une racine ?

La formule de base est simple : si f(x)=√u(x), alors f'(x)=u'(x)/(2√u(x)). C’est un cas classique de dérivation en chaîne. Cette expression est valable lorsque u(x)>0. Si la racine porte directement sur x, on obtient donc d/dx(√x)=1/(2√x), pour x>0.

Quelle est l'intégrale de √u ?

L’intégrale de √u dépend du contexte. Si u est la variable d’intégration, alors ∫√u du = (2/3)u^(3/2) + C. Si u=u(x), je vérifie s’il existe u'(x) dans l’expression pour faire un changement de variable. Sans cela, il n’existe pas de formule universelle directement applicable.

Peut-on dériver √u quand u(x)=0 ?

Pas automatiquement. La formule u'/(2√u) devient impossible à utiliser quand u(x)=0, car le dénominateur s’annule. Il faut alors étudier la dérivabilité au point concerné avec la définition. Par exemple, √x n’est pas dérivable en 0, même si elle est bien définie et continue en ce point.

Pourquoi √(x²) ne vaut-il pas toujours x ?

Parce que la racine carrée désigne toujours la valeur positive ou nulle. Ainsi, √(x²)=|x|, et non x dans tous les cas. Si x≥0, alors |x|=x. Mais si x<0, on a |x|=-x. Cette distinction est essentielle, notamment quand on dérive ou qu’on simplifie une expression.

Retenez l’idée essentielle : la formule du dérivé racine de u est simple, mais elle ne fonctionne que là où u(x) > 0 et où u est dérivable. Avant de dériver, vérifiez donc toujours le domaine, puis appliquez la chaîne sans oublier le dénominateur 2√u. En cas de doute, testez les points où u = 0 : ce sont souvent eux qui révèlent les pièges. Pour progresser, entraînez-vous sur quelques expressions variées et comparez systématiquement définition, dérivabilité et résultat final.

Mis à jour le 05 mai 2026