Sinus 2x : formule simple, exemples et erreurs à éviter
Publié par : Adrien Tessier, rédacteur spécialisé en calcul littéral et théorèmes de géométrie
Supervision éditoriale : la rédaction de Maths collège
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La formule du sinus 2x est sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). C’est une identité trigonométrique valable pour tout réel x, très utile pour simplifier un calcul, résoudre une équation ou éviter la confusion avec 2sin(x).
Tu t’es déjà demandé pourquoi sin(2x) ne vaut pas simplement 2sin(x) ? C’est une confusion très fréquente, même chez des élèves à l’aise en calcul. En réalité, le sinus d’un angle double suit une règle précise : il dépend à la fois de sin(x) et de cos(x). Si tu es en 3e, au lycée, ou parent d’un élève, le plus utile est d’avoir une formule claire, une explication visuelle simple et quelques exemples qui tombent souvent en exercice. Avec ça, la trigonométrie paraît tout de suite plus logique et bien moins intimidante.
En bref : les réponses rapides
Quelle est la formule de sinus 2x ?
La formule à connaître est sin(2x) = 2sin(x)cos(x). C’est la formule angle double. Elle transforme le sinus 2x en produit de sin(x) et cos(x), ce qui simplifie beaucoup les calculs, les démonstrations et les exercices de trigonométrie.
En trigonométrie circulaire, sin(2x) = 2sin(x)cos(x) est une identité trigonométrique, donc une égalité vraie pour tout réel x. Les notations sont simples : x est un angle, sin(x) son sinus, cos(x) son cosinus, et sin(2x) le sinus de l’angle doublé. Sur le cercle trigonométrique, sinus et cosinus décrivent les coordonnées d’un point associé à l’angle x ; l’angle 2x correspond au même principe, mais avec une rotation deux fois plus grande. Cette identité figure dans tous les formulaires de trigonométrie circulaire, du lycée à l’université, et des outils comme Mathway l’utilisent constamment.
Cette formule sert à réécrire une expression pour factoriser, résoudre une équation ou calculer une valeur exacte. Par exemple, si l’on connaît sin(x) et cos(x), on obtient aussitôt sin(2x). En revanche, une confusion revient souvent : sin(2x) ≠ 2sin(x). Le facteur cos(x) est indispensable. Sans lui, le résultat est faux, sauf cas particuliers.
Exemple 1 : pour x = π/6, on a sin(π/6) = 1/2 et cos(π/6) = √3/2. Donc sin(2 × π/6) = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2. Exemple 2 : si sin(x) = 3/5 et cos(x) = 4/5, alors sin(2x) = 2 × 3/5 × 4/5 = 24/25.
Exercice 1 : calculer sin(π/3) via x = π/6 ; on trouve 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2. Exercice 2 : avec sin(x) = 0,8 et cos(x) = 0,6, calculer sin(2x) ; résultat : 2 × 0,8 × 0,6 = 0,96. Exercice 3 : dire si sin(2x) = 2sin(x) est vrai ; non, car il manque cos(x).
À retenir : la bonne formule est sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Elle est valable pour tout x, relie directement sinus et cosinus, et constitue une base de la trigonométrie.
Comment démontrer et utiliser sin(2x) dans un exercice ?
Pour utiliser sin(2x), on remplace directement par 2sin(x)cos(x), puis on simplifie avec une valeur connue ou une identité comme cos2(x)+sin2(x) = 1. Cette écriture sert à obtenir une valeur exacte, transformer une expression d’algèbre ou résoudre une équation de trigonométrie, en lien avec la formule d’addition et l’angle double.
La démonstration part de sin(a+b), formule d’addition vue en trigonométrie et utile aussi en géométrie : sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b). En posant a = x et b = x, on obtient immédiatement sin(2x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x). C’est la formule de l’angle double. Elle se relie aux formules cos2(x) formule, sin2(x) formule, cos2+sin2 = 1 et cos2(x)-sin2(x), car cos(2x) s’écrit aussi cos2(x)-sin2(x), ou encore 1-2sin2(x) et 2cos2(x)-1.
En exercice, la méthode est simple : si l’on voit 2sin(x)cos(x), on reconnaît sin(2x) ; si l’on connaît sin(x) et cos(x), on calcule directement ; si l’expression contient des carrés, on combine avec cos2(x)+sin2(x) = 1. Par exemple, comparer sin(2x) et cos(2x) évite des confusions : l’un vaut 2sin(x)cos(x), l’autre vaut cos2(x)-sin2(x). Les deux viennent des formules d’addition, mais ne se simplifient pas de la même façon.
Exemple 1. Calculer une valeur exacte : pour x = π/6, sin(2x) = 2sin(π/6)cos(π/6) = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2. Exemple 2. Simplifier 2sin(x)cos(x)+cos2(x)-sin2(x). On reconnaît sin(2x)+cos(2x), car 2sin(x)cos(x) = sin(2x) et cos2(x)-sin2(x) = cos(2x).
1. Reconnaître 2sin(x)cos(x) : corrigé, cela vaut sin(2x). 2. Résoudre sin(2x) = 0 : on a 2x = kπ, donc x = kπ/2. 3. Calculer sin(2x) si sin(x) = 3/5 et cos(x) = 4/5 : sin(2x) = 2 × 3/5 × 4/5 = 24/25. 4. Écrire cos(2x) avec sin2(x) seulement : grâce à cos2(x)+sin2(x) = 1, on remplace cos2(x) par 1-sin2(x), d’où cos(2x) = 1-2sin2(x).
À retenir : pour démontrer sin(2x), on part de sin(a+b) avec a = b = x. Pour utiliser la formule, on pense à 2sin(x)cos(x), puis on relie si besoin avec cos(2x) et cos2(x)+sin2(x) = 1.
Quel lien entre sin(2x), cos(2x), la période et le signe du sinus ?
La période de sin(2x) vaut π, et non 2π, car le facteur 2 à l’intérieur de l’angle fait osciller la fonction sinus deux fois plus vite. L’amplitude reste 1. De plus, le signe de sin(2x) se lit avec sin(2x) = 2sin(x)cos(x), donc il dépend du produit de sin(x) et de cos(x) : positif si les deux ont le même signe, négatif sinon, nul dès que l’un des deux vaut 0.
Sur le graphe, sin(2x) ressemble à la fonction sinus classique, mais ses vagues sont deux fois plus serrées. Ses zéros vérifient sin(2x) = 0, donc 2x = kπ, soit x = kπ/2. Cela répond aussi à la question où le cosinus s’annule : cos(x) = 0 pour x = π/2+kπ, tandis que, pour savoir quand le sinus est négatif, sur le cercle trigonométrique, c’est dans la moitié basse. Pour sin(2x), on combine les signes de la fonction sinus et de la fonction cosinus.
Il faut bien distinguer les formules d’angle double. Pour le sinus : sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Pour cos(2x) : cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) = 2cos2(x)-1 = 1-2sin2(x). L’écriture cos2 x - sin2 x concerne donc le cosinus, pas le sinus. C’est une confusion fréquente, même sur des fiches type Topster.
Exemple 1 : pour x = π/6, sin(2x) = sin(π/3) = √3/2. Avec la formule, 2sin(π/6)cos(π/6) = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2. Exemple 2 : pour x = 3π/4, sin(x) > 0 mais cos(x) < 0, donc sin(2x) < 0. En effet, sin(3π/2) = -1.
1. Trouver les zéros : x = kπ/2. 2. Signe sur ]0,π/2[ : sin(x) > 0 et cos(x) > 0, donc sin(2x) > 0. 3. Signe sur ]π/2,π[ : sin(x) > 0 et cos(x) < 0, donc sin(2x) < 0.
À retenir : sin(2x) garde une amplitude de 1, sa période devient π, ses zéros sont en x = kπ/2, et son signe vient du produit sin(x)cos(x). En revanche, cos(2x) suit les identités avec cos2(x) et sin2(x).
Exemples corrigés et erreurs fréquentes sur sinus 2x
Les erreurs fréquentes sur sin(2x) sont simples : croire que sin(2x) = 2sin(x), oublier le facteur cos(x), ou confondre sin2(x) avec sin(2x). Il faut distinguer la formule, la dérivée et la primitive. C’est souvent là que les confusions vues en classe ou sur Reddit commencent.
La bonne identité est sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Elle relie une fonction d’angle double à sin(x) et cos(x). Attention : sin2(x) signifie (sin(x))2, ce n’est pas une autre écriture de sin(2x). De même, cos 2 ou cos(2) désigne un nombre réel précis, alors que cos(2x) dépend de x.
Pour la sin2(x) formule, on retient que sin(2x) et sin2(x) sont voisins mais différents. Côté calcul différentiel, la sin2(x) dérivée vaut d/dx(sin2(x)) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x). Côté intégration, la primitive de sin 2x est ∫ sin(2x) dx = -1/2cos(2x)+C.
Exemple 1 : si x = π/6, alors sin(2x) = sin(π/3) = √3/2. Avec la formule, on retrouve bien 2sin(π/6)cos(π/6) = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2. Exemple 2 : comparer sin(2x) et sin2(x) pour x = π/4. On a sin(π/2) = 1, mais sin2(π/4) = (√2/2)2 = 1/2. Ce n’est donc pas la même chose.
Exercice 1 : simplifier 2sin(x)cos(x). Corrigé : c’est sin(2x). Exercice 2 : dériver sin2(x). Corrigé : 2sin(x)cos(x) = sin(2x). Exercice 3 : trouver une primitive de sin(2x). Corrigé : -1/2cos(2x)+C. Exercice 4 : dire si cos(2) dépend de x. Corrigé : non, cos(2) est un nombre, contrairement à cos(2x).
À retenir : ne pas écrire sin(2x) = 2sin(x), ne pas confondre sin2(x) avec sin(2x), et séparer clairement identité, dérivée et primitive. Trois pièges. Une seule bonne formule.
Comment passer d'un cos a un Sin ?
Pour passer d’un cosinus à un sinus, j’utilise l’identité de déphasage : cos(x) = sin(π/2 - x). Cela signifie qu’un cosinus peut s’écrire comme un sinus d’angle complémentaire. On peut aussi utiliser sin(x) = cos(π/2 - x). C’est très pratique pour transformer une expression trigonométrique ou simplifier un calcul.
Comment calculer cos 2x ?
Pour calculer cos 2x, j’emploie la formule d’angle double : cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). On peut aussi écrire cos(2x) = 2cos²(x) - 1 ou cos(2x) = 1 - 2sin²(x). Le bon choix dépend des données disponibles. Si vous connaissez sinus ou cosinus de x, la formule devient immédiate à appliquer.
Comment calculer cos 2a ?
Cos 2a se calcule avec la même identité que pour sinus 2x : cos(2a) = cos²(a) - sin²(a). Je peux aussi utiliser cos(2a) = 2cos²(a) - 1 ou 1 - 2sin²(a). Ces trois formes sont équivalentes. En pratique, je choisis celle qui demande le moins de calcul selon les valeurs connues.
Ou s'annule cos ?
Le cosinus s’annule pour les angles de la forme x = π/2 + kπ, où k est un entier relatif. En degrés, cela correspond à 90°, 270°, 450°, etc. Sur le cercle trigonométrique, ce sont les points où l’abscisse vaut zéro. C’est une information essentielle pour résoudre des équations trigonométriques simples.
Que désigne le sinus d'un angle en mathématiques ?
En mathématiques, le sinus d’un angle est une fonction trigonométrique. Dans un triangle rectangle, c’est le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse. Sur le cercle trigonométrique, le sinus correspond à l’ordonnée du point associé à l’angle. Cette définition aide à comprendre sinus 2x et les autres formules trigonométriques.
Comment passer d'un cosinus à un sinus ?
Pour transformer un cosinus en sinus, j’utilise la relation cos(x) = sin(π/2 - x). C’est une identité fondamentale en trigonométrie. Inversement, sin(x) = cos(π/2 - x). Cette conversion est utile pour comparer deux expressions, résoudre une équation ou réécrire une formule d’angle double comme sinus 2x dans une autre forme.
Où s'annule cosinus ?
Le cosinus est nul lorsque x = π/2 + kπ, avec k entier. En degrés, cela donne 90° + 180°k. J’aime retenir que sur le cercle trigonométrique, cosinus représente l’abscisse : il s’annule donc quand le point est situé sur l’axe vertical. Cela permet de repérer rapidement les solutions d’une équation.
Quelle est la définition du sinus en maths ?
La définition du sinus en maths dépend du contexte. Dans un triangle rectangle, sinus d’un angle = côté opposé / hypoténuse. Sur le cercle trigonométrique, c’est l’ordonnée du point repéré par l’angle. Ces deux approches sont complémentaires. Elles servent à comprendre les identités trigonométriques, notamment les formules liées à sinus 2x.
Retenir sinus 2x, c’est surtout retenir une seule identité essentielle : sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). À partir de là, tu peux vérifier des valeurs, simplifier des expressions et repérer les pièges les plus courants. Le bon réflexe est simple : dès que tu vois sin(2x), pense immédiatement au produit entre sinus et cosinus. En t’entraînant sur quelques exemples courts, la formule devient vite naturelle et très utile en trigonométrie.
Mis à jour le 05 mai 2026
Adrien Tessier
Rédacteur spécialisé en calcul littéral et théorèmes de géométrie
Sur Maths collège, il signe les cours, exercices corrigés et fiches méthode consacrés au calcul littéral, à Pythagore, Thalès et à la trigonométrie en cycle 4.
