Tu résous les équations du second degré en seconde : cours corrigé
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Une équation du second degré s’écrit sous la forme ax²+bx+c=0, avec a≠0. Pour la résoudre dans les réels, calcule le discriminant Δ=b²-4ac : selon son signe, l’équation possède deux solutions, une solution double ou aucune solution réelle.
Tu peux connaître les formules par cœur et pourtant perdre tous tes points si tu oublies un signe dans b²-4ac. C’est là que tout le monde se plante. Commence par ranger l’équation sous la forme ax²+bx+c=0, relève calmement $a$, $b$ et $c$, puis laisse le signe du discriminant décider de la suite. Avec cette routine, les x₁ et x₂ deviennent beaucoup moins impressionnants.
Objectif et prérequis
Niveau : Première, spécialité mathématiques Matière : Mathématiques Domaine : Algèbre
Après développement et réduction, une équation du second degré à une inconnue peut s’écrire ax²+bx+c=0, avec a≠0. Pour la résoudre dans les réels, tu utilises le discriminant. Pas besoin de deviner : il y a une méthode.
Prénom : ______ Date : ______
Objectif : à la fin, tu sauras reconnaître une équation du second degré, calculer son discriminant et donner toutes ses solutions réelles.
On se calme : ce n’est pas une formule à réciter au hasard. Commence toujours par obtenir ax²+bx+c=0.
Prérequis : développer, réduire, calculer avec les nombres relatifs, connaître les carrés parfaits, résoudre une équation du premier degré et manipuler les racines carrées.
Cette méthode se travaille en Première, spécialité mathématiques. En 3e, tu peux déjà croiser du x², mais le discriminant arrive au lycée. Verdict : une ligne de brouillon propre avant tout calcul.
Équation du second degré : définition et vocabulaire
En langage normal, ne te fie pas seulement à l’écriture de départ : il faut d’abord développer et réduire. Après développement et réduction, une équation du second degré à une inconnue peut s’écrire ax²+bx+c=0, avec a≠0.
$a$, $b$ et $c$ sont les coefficients. $a$ est devant x², $b$ devant $x$, et $c$ est le nombre seul.
Dans 2x²-3x-5=0, tu as $a=2$, $b=-3$ et $c=-5$. Écris les signes sur ton brouillon : franchement, c’est là que tout le monde se plante.
Une solution, aussi appelée racine, est une valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. Par exemple, si tu annonces que $x=2$ est solution, tu remplaces $x$ par 2 et tu vérifies ton résultat.
Le piège classique : confondre expression et équation. 3x²+2x-1 est une expression ; 3x²+2x-1=0 est une équation à résoudre.
Reconnaître la bonne forme avant de calculer
Avant toute formule, réduis tout du même côté du signe $=$. Par exemple, x²+4=5x devient x²-5x+4=0. Tu lis alors $a=1$, $b=-5$ et $c=4$.
L’erreur que tout le monde fait, c’est de prendre $b=5$ parce que le terme était à droite au départ. Non : tu lis les coefficients seulement après avoir tout ramené à gauche. Le jour du contrôle, cette ligne te sauve.
Résolution dans l’ensemble des réels : la méthode étape par étape
Le discriminant, noté Δ, te dit le nombre de solutions réelles. Il se calcule avec Δ=b²-4ac. Retiens juste ça : le signe de Δ décide de la suite.
La méthode, étape par étape :
- Réduis l’équation sous la forme ax²+bx+c=0.
- Repère $a$, $b$ et $c$ sur ton brouillon.
- Calcule Δ=b²-4ac avec des parenthèses.
- Utilise la formule liée au signe de Δ.
- Conclue avec l’ensemble $S$.
Le piège classique est d’écrire -b². Dans Δ, c’est b² : si $b=-5$, tu écris bien (-5)².
Exemple : résous x²-5x+6=0.
$a=1$, $b=-5$, $c=6$, donc Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1.
Comme Δ>0, x₁=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-1}{2}=2 et x₂=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+1}{2}=3.
Conclusion : S={2 ; 3}.
Les trois cas du discriminant
Si Δ<0, S=∅ ; si Δ=0, S={−b/(2a)} ; si Δ>0, S={(-b−√Δ)/(2a) ; (-b+√Δ)/(2a)}.
Exemple : résous x²+4x+4=0.
Δ=4²-4×1×4=0. Donc x₀=(-4)/2=-2.
Conclusion : S={-2}. Une seule racine, pas deux fois la même.
Questions fréquentes sur les équations du second degré
Comment résoudre une équation du second degré ? Ramène-la à ax²+bx+c=0, calcule Δ=b²-4ac, puis choisis le bon cas selon son signe. C’est la méthode fiable.
Comment trouver x₁ et x₂ ? Seulement si Δ>0. Écris les deux fractions séparément : dans x₁, tu soustrais √(Δ) ; dans x₂, tu l’ajoutes.
Et en 3e ? La méthode générale du discriminant se voit en Première, spécialité mathématiques. En 3e, cherche plutôt une factorisation ou utilise les produits nuls si l’équation s’y prête.
Avec deux inconnues ? La formule du discriminant sert à une seule inconnue, souvent $x$. Avec $x$ et $y$, il faut généralement étudier une relation ou résoudre un système.
À retenir avant le contrôle
Commence par la forme réduite. Ensuite, calcule Δ. Négatif : aucune solution réelle ; nul : une ; positif : deux. Les parenthèses autour de $b$ sont obligatoires quand il est négatif.
Vérifie ton résultat
Choisis une solution et remplace $x$ dans l’équation de départ. Si tu obtiens 0, c’est bon. Par exemple, pour $x=2$ dans x²-5x+6=0, tu trouves $4-10+6=0$.
Si ça ne marche pas, on se calme : regarde d’abord le signe de $b$, puis les parenthèses dans Δ. C’est presque toujours là que l’erreur se cache.
Exercices progressifs
Fais-les dans l’ordre. Écris toujours $a$, $b$, $c$, puis Δ : ton brouillon doit te permettre de repérer un signe faux avant la fin.
Exercice 1 ⭐
Dans 3x²-7x+2=0, complète : a=____ ; b=____ ; c=____.
Exercice 2 ⭐
Calcule le discriminant de x²-6x+5=0.
Exercice 3 ⭐
Résous dans ℝ l’équation x²+2x+1=0.
Exercice 4 ⭐⭐
Résous dans ℝ : 2x²-8x+6=0. Rédige la conclusion avec $S$.
Exercice 5 ⭐⭐
Entoure la bonne conclusion pour x²+2x+5=0 : « aucune solution réelle », « une solution réelle » ou « deux solutions réelles ». Justifie avec Δ.
Exercice 6 ⭐⭐
Transforme puis résous : x²+3=4x.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Vrai ou faux ? « Si Δ=0, une équation du second degré possède deux solutions réelles différentes. » Corrige la phrase si elle est fausse.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Détermine la valeur de $k$ pour que x²+4x+k=0 ait une unique solution réelle.
Correction
Exercice 1
$a=3$, $b=-7$, $c=2$. Le signe moins appartient bien à $b$.
Exercice 2
Δ=(-6)²-4×1×5=36-20=16. Le carré de $-6$ est positif.
Exercice 3
Δ=2²-4×1×1=0, donc x₀=(-2)/2=-1. Ainsi, S={-1}.
Exercice 4
Δ=(-8)²-4×2×6=16. x₁=(8-4)/4=1 et x₂=(8+4)/4=3. Donc S={1 ; 3}.
Exercice 5
Δ=2²-4×1×5=-16. La bonne réponse est « aucune solution réelle », car Δ=−16<0.
Exercice 6
x²-4x+3=0. Δ=(-4)²-4×1×3=4, donc x₁=1 et x₂=3. Ainsi, S={1 ; 3}.
Exercice 7
Faux. Si Δ=0, il y a une unique solution réelle, appelée racine double.
Exercice 8
Une unique solution impose Δ=0. Donc 4²-4×1× k=0, soit $16-4k=0$, donc $k=4$.
Questions courantes
Comment résoudre une équation du second degré ?
Commence par tout ramener du même côté pour obtenir ax²+bx+c=0. Repère ensuite $a$, $b$ et $c$, puis calcule Δ=b²-4ac. Selon son signe, tu conclus : aucune, une ou deux solutions réelles. Ne saute pas la ligne des coefficients.
Comment résoudre une équation du second degré en 3e ?
En 3e, tu n’utilises généralement pas encore la méthode complète du discriminant, étudiée en Première, spécialité mathématiques. Cherche d’abord une factorisation, par exemple un produit nul, ou reconnais une identité remarquable. Si l’équation ne se factorise pas simplement, la méthode attendra le lycée.
Comment résoudre une équation du second degré à deux inconnues ?
Tu ne peux pas appliquer directement le discriminant à une équation avec $x$ et $y$. La formule concerne une équation à une inconnue. Avec deux lettres, il faut savoir ce que demande l’exercice : trouver une relation, isoler une inconnue ou résoudre un système.
Comment résoudre une équation du second degré à une inconnue ?
Écris l’équation sous la forme ax²+bx+c=0, avec a≠0. Calcule Δ, puis applique le bon cas. Si Δ>0, calcule x₁ et x₂ ; s’il vaut zéro, calcule seulement x₀. Termine toujours par l’ensemble des solutions.
Comment résoudre une équation du second degré sans discriminant ?
C’est possible si tu reconnais une factorisation. Par exemple, x²-1=0 devient $(x-1)(x+1)=0$, donc $x=1$ ou $x=-1$. Tu peux aussi reconnaître un carré parfait. Mais si rien ne se factorise clairement, le discriminant reste la méthode la plus sûre.
Comment trouver x₁ et x₂ avec le discriminant ?
Tu calcules d’abord Δ. Si Δ>0, utilise x₁=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x₂=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. Le dénominateur est identique dans les deux calculs ; seul le signe devant la racine carrée change. Vérifie ton résultat dans l’équation.
Les réponses en bref
Avant de rendre ton exercice, vérifie trois choses : l’équation est bien réduite à zéro, les signes de $a$, $b$ et $c$ sont justes, puis chaque solution trouvée remplace correctement $x$. Reprends un exercice difficile sur ton brouillon et explique chaque étape à voix haute : si tu sais l’expliquer, tu sais le refaire.
Page actualisée en juillet 2026
