Calculer les coordonnées d'un point, c'est déterminer son abscisse x et son ordonnée y dans un repère. On lit d'abord le déplacement horizontal, puis le déplacement vertical ; avec un vecteur, on ajoute ou on soustrait les coordonnées connues.
Tu vois un point placé dans un repère, tu connais deux nombres quelque part, et pourtant tu hésites encore entre x et y : attention, c’est une erreur fréquente au début. Pour un point M(x ; y), le premier nombre donne le déplacement horizontal, le second donne le déplacement vertical. Si tu gardes cet ordre en tête, la moitié du travail est déjà faite. Ensuite, il faut apprendre à calculer quand le point n'est pas simplement lu sur le dessin : avec un vecteur, un segment, une droite ou un parallélogramme.
Objectif : savoir lire et calculer les coordonnées d'un point
Prénom : ______ Date : ______
4e-3e cycle 4 Mathématiques géométrie repérée
Calculer les coordonnées d’un point, c’est trouver son abscisse et son ordonnée dans un repère. Attention : tu lis d’abord le déplacement horizontal, puis le déplacement vertical. Si le point est donné par un vecteur, une droite, un segment ou une figure, tu utilises les coordonnées connues pour retrouver celles qui manquent.
Ton objectif est simple : je sais déterminer les coordonnées d’un point dans un repère, à partir d’une lecture graphique ou d’un calcul. Un point se note toujours avec deux nombres, dans cet ordre : M(x ; y). Le premier nombre, x, est l’abscisse : il dit si tu vas à droite ou à gauche. Le second, y, est l’ordonnée : il dit si tu montes ou si tu descends.
Le piège classique, c’est d’inverser les deux. C’est une erreur fréquente le jour du contrôle : on lit trop vite, on écrit M(y ; x), et tout le raisonnement part de travers. Dans un repère du plan, les coordonnées cartésiennes gardent toujours le même ordre : horizontal d’abord, vertical ensuite. Retiens juste ça.
Prérequis avant de commencer
Avant de calculer les coordonnées d’un point, vérifie quatre bases. Tu dois savoir manipuler les nombres relatifs, donc ne pas paniquer devant -3 ou +5, lire une graduation régulière, reconnaître l’axe horizontal et l’axe vertical, puis additionner ou soustraire deux nombres sans mélanger les signes.
Attention : si ces quatre points tiennent, la suite devient presque mécanique. L’axe horizontal donne l’abscisse, l’axe vertical donne l’ordonnée. Le piège classique, c’est de partir dans le calcul avant d’avoir regardé le repère. Le jour du contrôle, pose ton doigt sur les axes, lis proprement, puis vérifie ton résultat.
Ce qu'il faut savoir sur les coordonnées dans un repère
Dans un repère, les coordonnées d'un point s'écrivent toujours dans l'ordre (abscisse ; ordonnée). Le premier nombre dit combien tu vas à gauche ou à droite, le second combien tu montes ou descends. Exemple : A(3 ; -2), c'est 3 vers la droite, puis 2 vers le bas.
Un repère, c'est le quadrillage organisé du plan. L'origine, souvent notée O, est le point de départ : tu poses ton doigt là avant de bouger. L'axe des abscisses est l'axe horizontal ; il répond à la question gauche ou droite ? L'axe des ordonnées est l'axe vertical ; il répond à la question haut ou bas ? Les coordonnées cartésiennes d'un point, écrites A(x ; y), ne sont donc pas une décoration : x donne le déplacement horizontal, y donne le déplacement vertical. Attention : si x est négatif, tu vas à gauche ; si y est négatif, tu vas vers le bas. C’est une erreur fréquente quand les nombres relatifs arrivent.
Retiens juste ça : pour lire ou placer un point, tu pars toujours de l'origine, puis tu lis d'abord l'abscisse, jamais l'ordonnée. Cette règle évite beaucoup d’erreurs le jour du contrôle. Les ressources scolaires comme Le Livre Scolaire et Maxicours utilisent le même vocabulaire : repère, point, abscisse, ordonnée. Le piège classique, c'est d'inverser les deux nombres : A(4 ; -1) n'est pas A(-1 ; 4).
À retenir : dans A(x ; y), x se lit sur l'axe horizontal, y sur l'axe vertical. D'abord gauche-droite, ensuite haut-bas. Vérifie ton résultat avec ton doigt sur le quadrillage.
Le piège classique : inverser les deux nombres
Attention : A(2 ; 5) et A(5 ; 2) ne désignent pas le même point, même si les deux nombres se ressemblent. Pour calculer les coordonnées d’un point, l’ordre compte toujours : le premier nombre indique le déplacement horizontal, le second indique le déplacement vertical. C’est une erreur fréquente le jour du contrôle. Sur ton brouillon, vérifie comme ça : lis d’abord l’horizontal, pose ton doigt sur la verticale du point, puis lis l’ordonnée en montant ou en descendant. À l’inverse, si tu commences par l’axe vertical, tu changes de point sans t’en rendre compte. Retiens juste ça : d’abord l’ascenseur horizontal, ensuite l’étage vertical.
La méthode, étape par étape, pour déterminer les coordonnées
Pour déterminer les coordonnées d’un point dans un repère orthonormé, pars toujours de l’origine, le point zéro du repère. Attention : tu lis d’abord le déplacement sur l’axe horizontal, puis celui sur l’axe vertical. Les signes viennent seulement de la direction.
- Pars de l’origine du repère, là où les deux axes se croisent.
- Lis l’abscisse : avance horizontalement vers la droite ou vers la gauche.
- Lis l’ordonnée : monte ou descends verticalement depuis cette position.
- Écris le point sous la forme M(x ; y), puis vérifie les signes.
Le piège classique, c’est d’inverser abscisse et ordonnée parce que tu regardes le point trop vite. L’abscisse se lit sur l’axe horizontal ; l’ordonnée se lit sur l’axe vertical. Si le point est à gauche, l’abscisse est négative ; s’il est en dessous, l’ordonnée est négative. C’est une erreur fréquente avec les nombres relatifs. Exemple court : B(-4 ; 3) veut dire « gauche 4, haut 3 ». Donc, pour calculer les coordonnées sans te faire piéger le jour du contrôle, fais toujours le trajet dans cet ordre : horizontal, vertical, écriture, vérification.
Calculer un point avec un vecteur, un segment ou un parallélogramme
Un vecteur, ce n’est pas un dessin compliqué : c’est un déplacement. Ses coordonnées disent combien tu avances horizontalement, puis combien tu montes ou descends verticalement ; c’est exactement la méthode utilisée dans beaucoup d’exercices type Superprof ou Galilee quand on te demande de calculer les coordonnées d’un point sans le placer au hasard.
Définition. Les coordonnées d’un vecteur sont deux nombres (u ; v) : u indique le déplacement vers la droite ou la gauche, v indique le déplacement vers le haut ou le bas. Si A(xA ; yA) et si le vecteur AB a pour coordonnées (u ; v), alors B(xA + u ; yA + v). Retiens juste ça.
Propriété. Pour calculer un point à partir d’un vecteur, tu ajoutes le déplacement aux coordonnées du point de départ. Dans un parallélogramme, les côtés opposés portent le même vecteur : le même déplacement se répète. Pour un segment, le milieu se calcule avec les moyennes : M((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
Exemples. Si A(2 ; -1) et le vecteur AB(3 ; 4), alors B(2 + 3 ; -1 + 4), donc B(5 ; 3). Autre cas : A(1 ; 2), B(7 ; 6), le milieu M vaut ((1 + 7)/2 ; (2 + 6)/2), donc M(4 ; 4). Il faut veiller à additionner les abscisses avec les abscisses, jamais avec les ordonnées.
Entraîne-toi. 1) Calcule B si A(4 ; 1) et AB(-2 ; 5). Réponse : B(2 ; 6), car 4 - 2 = 2 et 1 + 5 = 6.2) Calcule le milieu de [AB] avec A(-2 ; 3) et B(6 ; 1). Réponse : M(2 ; 2), car (-2 + 6)/2 = 2 et (3 + 1)/2 = 2.3) Dans le parallélogramme ABCD, A(0 ; 1), B(3 ; 2), D(2 ; 5). Calcule C. Réponse : C(5 ; 6), car le déplacement de A vers B est (3 ; 1), donc depuis D : (2 + 3 ; 5 + 1).
À retenir. Un vecteur donne un déplacement : tu ajoutes u à l’abscisse et v à l’ordonnée. Dans un parallélogramme, tu recopies le même déplacement ; pour un segment, le milieu se trouve avec deux moyennes.
Et pour le milieu d'un segment ?
Pour le milieu I de [AB], tu ne choisis pas un point « à vue d’œil ». Tu fais la moyenne des deux abscisses, puis la moyenne des deux ordonnées : I((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2). Il faut veiller à ne pas mélanger les axes. Exemple déjà vu : avec A(1 ; 2) et B(7 ; 6), on obtient I(4 ; 4).
Défi bonus : trouver un point d'intersection
Quand deux droites sont données dans un repère, leur point d’intersection est le point commun aux deux. Sur un graphique, tu le lis à l’endroit où les deux droites se croisent, puis tu écris ses coordonnées dans l’ordre x ; y. Si les droites sont données par des formules, on cherche la valeur de x qui donne la même ordonnée pour les deux droites, puis on calcule y.
Vérifier son résultat le jour du contrôle
Avant de rendre ta copie, prends trente secondes pour vérifier. Regarde si l’abscisse correspond bien au déplacement horizontal et si l’ordonnée correspond bien au déplacement vertical. Contrôle aussi les signes : gauche ou bas donnent souvent des coordonnées négatives. Pour un vecteur, vérifie que tu as ajouté abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée. C’est souvent là que se joue le point.
Exercice 1 ⭐
Dans un repère, lis les coordonnées des points suivants. Le point A est placé 4 carreaux à droite de l’origine et 2 carreaux au-dessus. Le point B est placé 3 carreaux à gauche de l’origine et 5 carreaux au-dessus. Le point C est placé sur l’axe des abscisses, 6 carreaux à droite de l’origine. Complète : A(____ ; ____), B(____ ; ____), C(____ ; ____).
Exercice 2 ⭐
On donne le point M(−2 ; 7). Réponds précisément : quelle est son abscisse ? quelle est son ordonnée ? Le point M est-il à gauche ou à droite de l’origine ? Complète : abscisse = ____, ordonnée = ____, position horizontale = ____.
Exercice 3 ⭐
Le point A a pour coordonnées A(2 ; 3). Le vecteur AB a pour coordonnées (5 ; −1). Calcule les coordonnées du point B en ajoutant le déplacement du vecteur aux coordonnées de A. Complète : B(____ ; ____).
Exercice 4 ⭐⭐
On donne deux points A(−4 ; 6) et B(3 ; 1). Calcule les coordonnées du vecteur AB en faisant arrivée moins départ : xB − xA pour l’abscisse, puis yB − yA pour l’ordonnée. Complète : AB(____ ; ____).
Exercice 5 ⭐⭐
On donne les points A(−2 ; 8) et B(6 ; 4). Calcule les coordonnées du milieu I du segment [AB]. Attention : tu fais la moyenne des abscisses, puis la moyenne des ordonnées. Complète : I(____ ; ____).
Exercice 6 ⭐⭐
ABCD est un parallélogramme. On connaît A(1 ; 2), B(7 ; 3) et D(4 ; 9). Calcule d’abord le vecteur AB, puis applique le même déplacement depuis D pour trouver C. Complète : AB(____ ; ____), puis C(____ ; ____).
Exercice 7 ⭐⭐⭐
On donne les points A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(5 ; 6 + 4). Pour savoir s’ils sont alignés, compare les déplacements AB et BC. Calcule AB(____ ; ____) et BC(____ ; ____), puis réponds : les trois points sont-ils alignés ? ____.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
On donne U(−1 ; 4) et V(3 ; −2). Calcule le vecteur UV, puis le point P tel que OP = 2UV, avec O l’origine du repère. Complète : UV(____ ; ____), 2UV(____ ; ____), donc P(____ ; ____).
Correction
Exercice 1. A(4 ; 2), B(−3 ; 5), C(6 ; 0). L’abscisse se lit horizontalement, l’ordonnée verticalement ; sur l’axe des abscisses, l’ordonnée vaut toujours 0.
Exercice 2. L’abscisse de M est −2, son ordonnée est 7, et le point M est à gauche de l’origine. On lit toujours M(x ; y) : le premier nombre donne la position horizontale, le deuxième la position verticale.
Exercice 3. xB = 2 + 5 = 7. yB = 3 + (−1) = 2. Donc B(7 ; 2). Le vecteur AB indique le déplacement depuis A : on ajoute ses coordonnées à celles de A, sans inverser l’ordre.
Exercice 4. xB − xA = 3 − (−4) = 3 + 4 = 7. yB − yA = 1 − 6 = −5. Donc AB(7 ; −5). Pour calculer un vecteur, tu fais arrivée moins départ ; c’est simple, mais il faut garder les parenthèses.
Exercice 5. xI = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2. yI = (8 + 4)/2 = 6. Donc I(2 ; 6). Le milieu fait la moyenne des abscisses, puis la moyenne des ordonnées ; pas une moyenne mélangée.
Exercice 6. AB(7 − 1 ; 3 − 2) = AB(6 ; 1). On applique ce déplacement à D(4 ; 9) : xC = 4 + 6 et yC = 9 + 1. Donc C(10 ; 10). Dans un parallélogramme, les côtés opposés portent le même déplacement.
Exercice 7. AB(3 − 1 ; 6 − 2) = AB(2 ; 4). BC(5 − 3 ; (6 + 4) − 6) = BC(2 ; 4). Les deux déplacements sont proportionnels, même identiques, donc les points sont alignés : vrai. Ici, tu avances de 2 en abscisse et de 4 en ordonnée à chaque fois.
Exercice 8. UV(3 − (−1) ; −2 − 4) = UV(4 ; −6). Donc 2UV(8 ; −12). Comme OP = 2UV et que O est l’origine, P(8 ; −12). Le contrôle rapide : multiplier un vecteur par 2 double ses deux coordonnées, pas seulement la première.
En bref : les réponses rapides
Comment calculer les coordonnées d’un point dans un parallélogramme ?
Attention : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés ont le même déplacement. Si tu connais trois points A, B et C, le quatrième point D se trouve souvent avec la relation vecteur AD = vecteur BC. Donc D(xD ; yD) se calcule par xD = xA + xC − xB et yD = yA + yC − yB.
Comment calculer les coordonnées d’un point avec un vecteur ?
Un vecteur, c’est un déplacement. Si tu pars d’un point A(xA ; yA) et que tu appliques le vecteur u(a ; b), le point d’arrivée B a pour coordonnées B(xA + a ; yA + b). Il faut veiller à ajouter l’abscisse du vecteur à l’abscisse du point, et l’ordonnée à l’ordonnée.
Comment trouver les coordonnées d’un point dans un repère ?
Dans un repère du plan, les coordonnées s’écrivent toujours dans l’ordre A(x ; y). D’abord tu lis l’abscisse x sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée y sur l’axe vertical. Si le point est à gauche ou en bas de l’origine, la coordonnée peut être négative. On ne mélange pas les deux axes, sinon tout part de travers.
Comment écrire les coordonnées d’un point ?
Les coordonnées d’un point s’écrivent avec une lettre majuscule, puis deux nombres entre parenthèses : A(3 ; 5) dans le plan. Le premier nombre est l’abscisse, le second est l’ordonnée. En France, on met souvent un point-virgule entre les deux pour éviter la confusion avec les nombres décimaux, par exemple B(2 ; 4).
Pour réussir, garde toujours le même réflexe : d'abord l'abscisse, puis l'ordonnée. Lis les coordonnées dans le repère quand le point est placé, et utilise les égalités de vecteurs ou les propriétés de la figure quand il faut calculer. Reprends chaque exercice en vérifiant l'ordre x ; y, les signes et les calculs intermédiaires.
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