La fonction inverse associe à tout nombre réel non nul x la valeur 1/x, et s’écrit f(x)=1/x. Elle n’est pas définie pour x=0, garde le même signe que x et sa courbe n’est pas une droite mais une hyperbole à deux branches.
Pourquoi 0 est-il interdit alors que 1, 2 ou même -5 fonctionnent très bien dans 1/x ? C’est souvent la première question que se posent les élèves quand ils découvrent la fonction inverse en Seconde. Si vous avez déjà hésité entre le signe, les variations ou la forme de la courbe, rassurez-vous : c’est normal. Avec des exemples très simples, des repères visuels et des réflexes à mémoriser, cette notion devient vite beaucoup plus claire. L’objectif est de comprendre sans se perdre dans le vocabulaire compliqué.
En bref : les réponses rapides
Fonction inverse : définition, formule et réflexes indispensables
La fonction inverse associe à tout nombre réel non nul $x$ son inverse $\frac{1}{x}$. Elle s’écrit $$f(x)=\frac{1}{x}$$ et n’est donc pas définie pour $x=0$, car on ne peut pas diviser par zéro. Retenir ce domaine de définition, ainsi que le fait que $\frac{1}{x}$ a le même signe que $x$, évite déjà la plupart des erreurs en mathématiques, notamment en Seconde.
Dans un fonction inverse cours, la définition à connaître par cœur est simple, mais elle demande de vrais réflexes. Si vous vous demandez comment s'écrit la fonction inverse, la réponse est toujours la même : $$f(x)=\frac{1}{x}$$ avec $x\neq 0$. Le zéro est exclu parce que $\frac{1}{0}$ n’existe pas. En revanche, pour tout autre réel, positif ou négatif, l’image existe. Quelques valeurs suffisent à fixer l’idée : $f(2)=\frac{1}{2}$, $f(-4)=-\frac{1}{4}$, $f(1)=1$, $f(-1)=-1$. Cette formule de la fonction inverse ne donne donc ni une droite, ni une parabole : sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches, l’une dans les zones où $x$ et $y$ sont positifs, l’autre là où ils sont négatifs. Par conséquent, dès qu’on lit une expression en $\frac{1}{x}$, il faut vérifier aussitôt si $x$ peut valoir $0$, puis regarder le signe de $x$.
| Élément | À connaître |
|---|---|
| Définition | $f(x)=\frac{1}{x}$ |
| Domaine | $x\in\mathbb{R}$ avec $x\neq 0$ |
| Signe | si $x>0$, alors $\frac{1}{x}>0$ ; si $x<0$, alors $\frac{1}{x}<0$ |
| Valeurs repères | $f(1)=1$, $f(-1)=-1$, $f(2)=\frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$ |
| Courbe | une hyperbole en deux branches |
La confusion classique vient du vocabulaire : la fonction inverse n’est pas la même chose que la fonction réciproque d’une fonction. Ici, “inverse” désigne l’opération qui remplace $x$ par $\frac{1}{x}$. En revanche, la réciproque d’une fonction est une autre notion, étudiée plus tard ou dans un cadre plus précis. Pour les élèves de Seconde, le bon réflexe est donc de ne pas mélanger “prendre l’inverse d’un nombre” et “chercher une fonction réciproque”. Mentalement, gardez quatre idées fixes : non définie en $0$, même signe que $x$, pas une droite, courbe en deux branches. Ces repères suffisent pour démarrer les variations, le signe et les premières inéquations sans se tromper de modèle.
Sens de variation, signe et lecture graphique de la fonction inverse
La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et aussi sur $]0;+\infty[$. Son signe suit celui de $x$ : si $x>0$, alors $\frac{1}{x}>0$ ; si $x<0$, alors $\frac{1}{x}<0$. Sa courbe est une hyperbole à deux branches, avec les axes comme asymptotes.
Pour répondre vite à quel est le sens de variation de la fonction inverse, il faut raisonner par images mentales. Quand $x$ est positif et se rapproche de $0$, par exemple $1$, puis $\frac{1}{2}$, puis $\frac{1}{10}$, la valeur $\frac{1}{x}$ passe de $1$ à $2$ puis à $10$ : elle monte très vite. En revanche, quand $x$ devient très grand, comme $10$, $100$ ou $1000$, alors $\frac{1}{x}$ devient très petit et se rapproche de $0$ sans jamais l’atteindre. Sur les positifs, plus on avance vers la droite dans le repère, plus la courbe descend : c’est bien une fonction inverse variation décroissante. Du côté négatif, le même mécanisme agit, mais sous l’axe des abscisses : si $x$ passe de $-10$ à $-1$ puis à $-\frac{1}{10}$, alors $\frac{1}{x}$ passe de $-\frac{1}{10}$ à $-1$ puis à $-10$. Là encore, la fonction décroît quand $x$ augmente.
Pour lire un fonction inverse tableau de signe, il suffit de regarder le signe de $x$, car $\frac{1}{x}$ garde ce signe. Il n’y a jamais de valeur en $x=0$, donc on coupe le tableau à cet endroit. Pour un fonction inverse tableau de variation, on sépare aussi en deux intervalles : $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$, puis on visualise la descente sur chaque branche. Graphiquement, la courbe est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine : si le point $\left(a;\frac{1}{a}\right)$ est sur la courbe, alors $\left(-a;-\frac{1}{a}\right)$ y est aussi. Les axes jouent le rôle d’asymptote : la courbe s’approche de l’axe des ordonnées quand $x$ tend vers $0$, et de l’axe des abscisses quand $x$ devient très grand en valeur absolue, sans jamais toucher ces axes.
| Élément | À savoir |
|---|---|
| Fonction | $f(x)=\frac{1}{x}$ avec $x\neq 0$ |
| Signe | Même signe que $x$ |
| Variation | Décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ |
| Courbe | Hyperbole, asymptotes : axe des abscisses et axe des ordonnées |
| Symétrie | Symétrie centrale par rapport à l’origine |
Pour comment tracer une fonction hyperbole sans se perdre, je place d’abord quelques points simples : $x=1$, $2$, $\frac{1}{2}$, puis $x=-1$, $-2$, $-\frac{1}{2}$. On obtient ainsi $(1;1)$, $(2;\frac{1}{2})$, $\left(\frac{1}{2};2\right)$ et leurs symétriques négatifs. Ensuite, je dessine deux branches lisses, l’une dans le premier quadrant, l’autre dans le troisième, en les rapprochant des axes sans les coller. Cette méthode visuelle évite de réciter un tableau sans comprendre. Elle montre aussi pourquoi la courbe ne coupe jamais ni l’axe des abscisses, ni l’axe des ordonnées.
Erreurs fréquentes sur la fonction inverse : pièges classiques et contre-exemples
Les erreurs fonction inverse reviennent souvent : croire que $0$ a une image, penser que $\frac{1}{x}$ augmente quand $x$ augmente, confondre inverse et opposé, ou oublier une valeur interdite dans une équation ou une inéquation. Des contre-exemples fonction inverse très courts corrigent vite ces automatismes et sécurisent tout fonction inverse calcul.
Pour la fonction inverse, la règle de base est simple : $$f(x)=\frac{1}{x}\quad \text{avec}\quad x\neq 0.$$ Donc $0$ n’a pas d’image, et la courbe ne coupe ni l’axe des abscisses ni l’axe des ordonnées. le calcul de la dérivée aide à comprendre ces variations. Sur les nombres positifs, quand $x$ grandit, $\frac{1}{x}$ diminue : de $1$ à $2$, on passe de $1$ à $\frac{1}{2}$. Sur les nombres négatifs, même idée : de $-3$ à $-2$, on passe de $-\frac{1}{3}$ à $-\frac{1}{2}$. Pour les antécédents fonction inverse, on résout $\frac{1}{x}=a$ avec $a\neq 0$, donc $x=\frac{1}{a}$. En fonction inverse exercice, la relecture doit toujours vérifier le signe, la présence de $0$, et les valeurs interdites avant de conclure.
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Contre-exemple | Bon réflexe |
|---|---|---|---|
| Prendre $x=0$ | $\frac{1}{0}$ n’existe pas | $f(0)$ est impossible | Écrire tout de suite $x\neq 0$ |
| Confondre $\frac{1}{x}$ et $\frac{x}{1}$ | $\frac{x}{1}=x$ | Si $x=4$, $\frac{1}{x}=\frac{1}{4}$ mais $\frac{x}{1}=4$ | Relire la place de $x$ dans la fraction |
| Dire que plus $x$ grandit, plus $\frac{1}{x}$ grandit | Sur $x>0$, la fonction décroît | $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ | Tester deux valeurs simples |
| Penser que la courbe coupe les axes | Jamais $y=0$ ni $x=0$ | $\frac{1}{x}=0$ n’a pas de solution | Chercher les axes avec une équation |
| Confondre inverse et opposé | L’opposé de $2$ est $-2$, l’inverse est $\frac{1}{2}$ | Pour $-3$, opposé $=3$, inverse $=-\frac{1}{3}$ | Distinguer signe et fraction |
| Mal calculer $\frac{1}{0,5}$ ou $\frac{1}{-2}$ | Un petit positif peut donner un grand positif | $\frac{1}{0,5}=2$ et $\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$ | Transformer $0,5$ en $\frac{1}{2}$ |
| Oublier les conditions dans une équation ou inéquation | Une solution interdite doit être rejetée | Dans $\frac{1}{x}=x$, on trouve $x^{2}=1$, donc $x=\pm1$, pas $0$ | Poser le domaine avant de résoudre |
Avant de rendre un exercice, je conseille une relecture en quatre questions. 1. Ai-je écrit $x\neq 0$ ? 2. Mon résultat respecte-t-il le signe attendu, par exemple $\frac{1}{-2}<0$ ? 3. Si je cherche une image ou un antécédent, ai-je testé mentalement avec une valeur simple ? 4. Dans une équation ou une inéquation, ai-je éliminé les valeurs interdites ? Ce mini contrôle évite presque tous les pièges classiques de la fonction inverse.
Applications concrètes, équations, inéquations et exercices corrigés sur la fonction inverse
La fonction inverse modélise une proportionnalité inverse : quand une grandeur augmente, l’autre diminue pour garder un produit constant. On l’utilise pour relier vitesse, temps et distance, partager une quantité fixe, puis résoudre des équations et inéquations comme $\frac{1}{x}=a$ ou $\frac{1}{x}>b$.
La formule de référence est $$f(x)=\frac{1}{x} \quad \text{avec} \quad x\neq 0.$$ Pour une distance fixée $d$, on a $t=\frac{d}{v}$ : si la vitesse double, le temps est divisé par $2$. Même logique pour un partage : si $Q$ objets sont répartis entre $n$ personnes, chaque part vaut $\frac{Q}{n}$. Voilà, concrètement, quelle est la formule de la fonction inverse dans de nombreux contextes. Pour trouver un antécédent de $a$, on résout $\frac{1}{x}=a$, donc $x=\frac{1}{a}$ si $a\neq 0$ ; ainsi, à la question quels sont les antécédents par la fonction inverse, la réponse est : un seul antécédent pour tout réel non nul, aucun pour $0$. Pour les inéquations, le signe de $x$ change tout : sur $]0;+\infty[$, la fonction décroît ; sur $]-\infty;0[$ aussi, mais les valeurs restent négatives. En revanche, on ne multiplie jamais une inégalité par $x$ sans connaître son signe.
| Situation | Écriture | Résultat |
|---|---|---|
| Fonction inverse | $f(x)=\frac{1}{x}$ | $x\neq 0$ |
| Antécédent de $a$ | $\frac{1}{x}=a$ | $x=\frac{1}{a}$ si $a\neq 0$ |
| Distance fixée | $t=\frac{d}{v}$ | vitesse et temps inverses |
| Partage | $p=\frac{Q}{n}$ | plus $n$ augmente, plus $p$ diminue |
Pour comment calculer l'inverse d'une fonction dans ce chapitre, on ne cherche pas une fonction réciproque compliquée : on manipule surtout l’expression $\frac{1}{x}$. Exemple direct : résoudre $\frac{1}{x}=4$ donne $x=\frac{1}{4}$. Résoudre $\frac{1}{x}=-2$ donne $x=-\frac{1}{2}$. Pour une inéquation, la méthode visuelle est plus sûre : on pense au graphique de l’hyperbole. Ainsi, $\frac{1}{x}>1$ signifie que les points de courbe sont au-dessus de la droite $y=1$ ; on obtient alors $0
Mini-problème 1. Une voiture parcourt $120$ km. Le temps vaut $t=\frac{120}{v}$. À $60$ km/h, $t=\frac{120}{60}=2$ h ; à $80$ km/h, $t=\frac{120}{80}=1{,}5$ h. La hausse de la vitesse fait baisser le temps, sans proportionnalité simple mais avec proportionnalité inverse. Mini-problème 2. Une pizza de $8$ parts est partagée équitablement entre $x$ personnes : chacun reçoit $\frac{8}{x}$ part. Si chacun doit avoir $2$ parts, on résout $\frac{8}{x}=2$, donc $x=4$. Mini-problème 3. On cherche les $x$ tels que $\frac{1}{x}\leq -1$. Sur les $x$ positifs, c’est impossible car $\frac{1}{x}>0$. Sur les $x$ négatifs, la courbe est sous $-1$ quand $-1\leq x<0$. Donc la solution est $[-1;0[$.
Ces modèles servent aussi pour un coût par personne ou un rendement simple : un montant fixe de $30$ € partagé entre $n$ personnes donne $\frac{30}{n}$ € chacun. Refaites ces trois situations seul, puis passez à une série d’exercices à télécharger ou à rédiger au brouillon pour automatiser calcul, antécédents et résolution.
Méthode visuelle pour résoudre une équation ou une inéquation avec $1/x$
Pour résoudre avec $1/x$, commence par exclure $x=0$, puis regarde le signe du nombre de droite. Ensuite, lis la courbe de $y=\frac{1}{x}$ ou son sens de variation : sur $]-\infty;0[$, elle est négative et décroît ; sur $]0;+\infty[$, elle est positive et décroît aussi. Tu conclus enfin par un ensemble de solutions précis.
Pour une équation, la lecture est directe. Si $\frac{1}{x}=2$, le résultat est $x=\frac{1}{2}$, car sur $]0;+\infty[$ la courbe coupe la droite $y=2$ en un seul point. Si $\frac{1}{x}=-3$, alors $x=-\frac{1}{3}$, cette fois sur la branche de gauche, puisque le second membre est négatif. Pour une inéquation, on repère la zone de la courbe située au-dessus ou au-dessous de la droite horizontale. Ainsi, $\frac{1}{x}>1$ n’est possible que pour $x>0$, et plus précisément pour $0
Comment trouver l'inverse d'une fonction ?
Pour trouver la fonction réciproque d’une fonction, je commence par poser y = f(x). Ensuite, j’échange x et y, puis je résous l’équation pour isoler y. La nouvelle expression obtenue est f⁻¹(x). Attention : cela n’est possible que si la fonction est bijective sur l’intervalle étudié, donc injective et surjective.
Comment tracer une fonction hyperbole ?
Pour tracer une hyperbole de type f(x) = 1/x, je repère d’abord les asymptotes : l’axe des ordonnées x = 0 et l’axe des abscisses y = 0. Je place ensuite quelques points simples, comme (1 ; 1), (2 ; 0,5), (-1 ; -1) et (-2 ; -0,5), puis je relie en courbes régulières.
Quel est le sens de variation de la fonction inverse ?
La fonction inverse f(x) = 1/x est strictement décroissante sur chacun des intervalles ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. Cela signifie que lorsque x augmente, 1/x diminue. En revanche, on ne parle pas de variation sur tout ℝ, car la fonction n’est pas définie en x = 0.
Quels sont les antécédents par la fonction inverse ?
Pour la fonction inverse f(x) = 1/x, l’antécédent d’un nombre y non nul est x = 1/y. Par exemple, l’antécédent de 2 est 1/2, et celui de -4 est -1/4. Le nombre 0 n’a aucun antécédent, car 1/x ne peut jamais être égal à 0.
Comment s'écrit la fonction inverse ?
La fonction inverse s’écrit f(x) = 1/x, avec x différent de 0. On peut aussi la noter x ↦ 1/x. C’est une fonction de référence très utilisée en mathématiques, notamment pour étudier les fractions, les variations et les courbes de type hyperbole.
Comment inverser la fonction inverse ?
La fonction inverse est sa propre réciproque. En clair, si f(x) = 1/x, alors f⁻¹(x) = 1/x aussi, pour x ≠ 0. C’est logique, car appliquer deux fois l’inverse redonne la valeur de départ : 1 / (1/x) = x. On dit donc qu’elle est involutive.
Quel est l'inverse de 05 ?
Si par 05 vous voulez dire 0,5, alors son inverse est 1 / 0,5 = 2. Pour trouver l’inverse d’un nombre non nul, je divise simplement 1 par ce nombre. Attention à ne pas confondre l’inverse avec l’opposé : l’opposé de 0,5 est -0,5, mais son inverse est 2.
Comment calculer l'inverse d'une fonction ?
Pour calculer l’inverse d’une fonction, je pose y = f(x), puis j’échange les variables x et y. Ensuite, je résous l’équation obtenue pour exprimer y en fonction de x. Le résultat est la fonction réciproque. Cette méthode fonctionne seulement si la fonction est inversible sur le domaine considéré.
Pour bien maîtriser la fonction inverse, retenez surtout trois idées : elle s’écrit 1/x, elle est impossible en 0, et son signe est le même que celui de x. Ensuite, entraînez-vous avec quelques valeurs, un tableau de signes et de petites inéquations. En révisant toujours avec ces réflexes, vous éviterez les erreurs les plus fréquentes et gagnerez en confiance sur les exercices.
Mis à jour le 05 mai 2026
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