Le théorème de la médiane se travaille en seconde
Télécharger la fiche de cours
Fiche PDF imprimable au format A4.
Fiche élève (sans corrigé)
Version élève imprimable au format A4, sans le corrigé.
Le théorème de la médiane relie les côtés d’un triangle à la longueur d’une médiane. Si I est le milieu de [BC], alors AB² + AC² = 2AI² + (BC²)/2, ce qui permet de calculer une longueur inconnue.
Tu connais peut-être les trois côtés d’un triangle, mais pas la longueur de la médiane qui part d’un sommet. Prénom : ______ Date : ______. Niveau : seconde ; cycle : lycée ; matière : mathématiques ; domaine : géométrie. Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé, et son théorème donne une formule fiable pour calculer une longueur. Commence par repérer le milieu, nomme correctement les segments, puis remplace les lettres par les nombres. Télécharger le PDF. Voir la correction.
Objectif et rappel sur la médiane en géométrie du triangle
Prénom : ______ Date : ______
Seconde Cycle lycée Mathématiques Géométrie
Dans un triangle, une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Repère d’abord le milieu : les deux morceaux du côté doivent avoir la même longueur. Simple et utile. En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, aussi appelé théorème d’Apollonius, relie les longueurs des côtés d’un triangle à la longueur d’une médiane ; tu l’utilises quand une longueur manque et qu’un calcul est plus sûr qu’une mesure au dessin.
Objectif : Je sais utiliser le théorème de la médiane pour calculer une longueur dans un triangle.
À connaître avant de commencer : le carré d’un nombre, le milieu d’un segment, le vocabulaire du triangle et une équation simple. En pratique, vérifie toujours que le point annoncé est bien le milieu du côté opposé : sans ce repère, la formule ne s’applique pas.
Ce qu’il faut savoir : théorème de la médiane ou théorème d’Apollonius
Si $I$ est le milieu de $[BC]$ dans un triangle ABC, alors la médiane issue de $A$ vérifie la relation AB² + AC² = 2(AI² + BI²). Formule utile. Elle permet de calculer la longueur d’une médiane ou une autre longueur du triangle.
En géométrie euclidienne, une médiane d’un triangle est le segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé : ici, $AI$ est la médiane issue de $A$, car $I$ est le milieu de $[BC]$. Le Théorème de la médiane, aussi appelé théorème d’Apollonius, s’écrit :
AB² + AC² = 2(AI² + BI²)Comme $I$ est le milieu de $[BC]$, on a aussi $BI = IC$, ce qui permet souvent de remplacer $BI$ par la moitié de $BC$. Attention au vocabulaire : la médiane en géométrie désigne une droite ou un segment dans un triangle, tandis que la médiane en statistiques est une valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. Même mot, deux usages différents.
Méthode pas à pas pour calculer une médiane
Comment calculer la médiane d’un triangle sans te tromper de segment ? La méthode consiste à transformer la figure en équation claire, puis à isoler la longueur inconnue avec les carrés.
- Repère le sommet d’où part la médiane et le côté opposé à ce sommet.
- Note le milieu $I$ du côté opposé, par exemple si $I$ est le milieu de $[BC]$.
- Écris la formule complète du théorème de la médiane : AB²+AC²=2(AI²+BI²).
- Remplace chaque longueur connue par son nombre, puis calcule chaque carré avec soin.
- Résous l’équation obtenue, trouve la longueur demandée et écris l’unité, par exemple AI=5 cm.
Attention aux pièges classiques : $BI$ n’est pas $BC$, car $I$ est le milieu du segment $[BC]$ ; les carrés ne doivent jamais disparaître pendant le calcul ; le résultat final doit être positif, puisqu’une longueur ne peut pas être négative. Prêt : les exemples résolus montrent maintenant chaque étape sur des nombres simples.
Exemples résolus avec correction expliquée
Comment passer de la formule au résultat ? Dans un exemple corrigé, remplace d’abord les longueurs connues dans le théorème, calcule les carrés, puis isole la longueur cherchée. La racine carrée arrive seulement à la fin, quand tu connais le carré de la longueur.
Exemple 1. Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[BC]$, $AB=5$, $AC=7$ et $BI=3$. Calcule $AI$. On applique AB²+AC²=2(AI²+BI²). Donc 25+49=74, puis 74=2(AI²+9), soit 74=2AI²+18. Ainsi 56=2AI², donc AI²=28 et AI=√(28)=2√7. Résultat cohérent : une longueur est positive.
Exemple 2. Dans un cas simple, $I$ est le milieu de $[BC]$, $AB=6$, $BI=4$ et $AI=5$. Calcule $AC$. Pour cet exercice corrigé, écris 6²+AC²=2(5²+4²), soit 36+AC²=2(25+16)=82. Alors AC²=2(25+16)-36, donc AC=√(2(25+16)-36). Ce calcul de longueur reste plausible, car $BC=8$ et les côtés vérifient bien les inégalités du triangle. Voilà une théorème de la médiane application efficace.
Exercices progressifs à imprimer et corrigé
Comment passer d’un dessin à un calcul juste ? En géométrie, repère d’abord le milieu : si $I$ est le milieu de $[BC]$, alors $AI$ est une médiane et le théorème donne AB²+AC²=2(AI²+BI²). Cet exercice corrigé théorème de la médiane peut servir de PDF à imprimer : Prénom : ______ Date : ______
Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. Attention : une médiane n’est pas toujours une hauteur. Utilise la formule seulement si le milieu est clairement identifié.
Exercice 1 ⭐
Complète : si $I$ est le milieu de $[BC]$, alors $BI=…………$ et $AI$ est une …………
Voir le corrigé
$BI=IC$ ; $AI$ est une médiane.
Exercice 2 ⭐
Choisis la bonne formule : ☐ AB²+AC²=2(AI²+BI²) ☐ $AB+AC=AI+BI$.
Voir le corrigé
Première formule : le théorème utilise des carrés.
Exercice 3 ⭐⭐
Calcule $AI$ si $AB=5$, $AC=7$, $BI=3$.
Voir le corrigé
AI=√(28) : 25+49=74, donc 74=2(AI²+9).
Exercice 4 ⭐⭐
Calcule $AB$ si $AC=8$, $AI=5$, $BI=4$.
Voir le corrigé
AB=√(18) : AB²+64=2(25+16).
Exercice 5 ⭐⭐
Justifie si le théorème s’applique quand $I$ n’est pas le milieu de $[BC]$.
Voir le corrigé
Non : sans milieu, $AI$ n’est pas une médiane.
Exercice 6 ⭐⭐⭐
Résous : $AB=10$, $AC=6$, $AI=7$. Calcule $BI$.
Voir le corrigé
BI=√(136/2-49) : 10²+6²=136, donc 136=2(49+BI²).
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Trace un triangle $ABC$, place $I$ milieu de $[BC]$, puis écris la formule complète.
Voir le corrigé
AB²+AC²=2(AI²+BI²) : le tracé doit montrer $BI=IC$.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Défi bonus : calcule $AI$ si les côtés issus de $A$ mesurent treize et quinze, et si $BC=14$.
Voir le corrigé
AI=√(148) : $BI=7$, donc 13²+15²=394, puis 394=2(AI²+49).
Correction
Exercice 1 : $BI=IC$ et $AI$ est une médiane, car $I$ partage $[BC]$ en deux segments égaux. Exercice 2 : la bonne réponse est AB²+AC²=2(AI²+BI²), car le théorème compare des carrés de longueurs. Exercice 3 : AI=√(28). Exercice 4 : AB=√(18). Exercice 5 : non, le milieu manque. Exercice 6 : BI=√(136/2-49). Exercice 7 : le tracé doit vérifier $BI=IC$. Exercice 8 : AI=√(148). À retenir : repère le milieu, écris la formule, isole l’inconnue.
Les questions fréquentes
Comment calculer la médiane d'un triangle ?
Pour construire une médiane d’un triangle, repère d’abord le milieu d’un côté. Trace ensuite le segment qui relie ce milieu au sommet opposé. Ce segment est une médiane. Un triangle possède trois médianes. Elles se coupent toutes en un même point appelé centre de gravité du triangle.
Quel est le centre de gravité d'un triangle ?
Le centre de gravité d’un triangle est le point où se coupent les trois médianes. On le note souvent $G$. Il se situe toujours à l’intérieur du triangle. Sur chaque médiane, il est placé aux deux tiers de la distance en partant du sommet, donc AG=2/3AM si $M$ est le milieu du côté opposé.
Comment calculer la médiane d'un triangle rectangle ?
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit a une propriété très utile : elle mesure la moitié de l’hypoténuse. Si l’hypoténuse mesure 10 cm, alors cette médiane mesure 5 cm. Cette règle fonctionne seulement pour la médiane qui part du sommet de l’angle droit vers le milieu de l’hypoténuse.
Comment trouver l'équation d'une médiane ?
Dans un repère, commence par trouver les coordonnées du milieu du côté opposé. Si B(x_(B) ; y_(B)) et C(x_(C) ; y_(C)), alors le milieu est M((x_(B)+x_(C))/2 ;(y_(B)+y_(C))/2). La médiane issue de $A$ est la droite qui passe par $A$ et par $M$. Utilise ensuite la méthode habituelle pour écrire l’équation d’une droite.
Comment on calcule la médiane en statistique ?
En statistique, la médiane n’est pas un segment de géométrie. C’est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. Range d’abord les nombres dans l’ordre croissant. S’il y a un nombre impair de valeurs, prends celle du milieu. S’il y en a un nombre pair, calcule la moyenne des deux valeurs centrales.
Quand utiliser la formule d'Al-kashi ?
Utilise la formule d’Al-Kashi quand tu connais deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux, ou quand tu connais les trois côtés et que tu cherches un angle. Elle généralise le théorème de Pythagore pour les triangles non rectangles : a²=b²+c²-2bccos(widehatA). Elle peut aider à calculer une longueur liée à une médiane.
Comment calculer le médiane d'un triangle ?
Comment trouver l'équation de la médiane ?
Les réponses en un coup d'œil
Pour réussir, commence toujours par identifier le sommet, le côté opposé et son milieu. Écris ensuite la formule du théorème de la médiane avant de remplacer par les longueurs données. Vérifie chaque carré et garde une ligne de calcul par étape. Quand tes exercices sont terminés, compare tes réponses avec la correction, puis refais seul un exercice où une médiane est inconnue.
Mise à jour : juin 2026
