Comment calculer la diagonale d’un carré en 4e
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Dans un carré de côté c, la diagonale relie deux sommets opposés et mesure d = c√2. Elle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés courts mesurent c : le théorème de Pythagore donne d² = 2c².
Un carré de côté 5 cm n’a pas une diagonale de 10 cm : c’est là que tout le monde se plante au début. On se calme : il suffit de repérer le triangle rectangle caché dans le carré. Tu vas apprendre à placer correctement les longueurs, à appliquer Pythagore et à utiliser la formule d=c√2. Garde toujours une idée en tête : la diagonale est plus longue qu’un côté, mais plus courte que deux côtés mis bout à bout. Avec quelques calculs bien rangés, ça devient franchement mécanique.
La diagonale d’un carré : définition et formule
Quelle longueur cherches-tu entre deux coins opposés ? Prénom : ______ Date : ______. 4e · Cycle 4 · Mathématiques · Géométrie. Mon objectif : je sais calculer la longueur de la diagonale d’un carré lorsque je connais son côté. Tu dois reconnaître un carré, repérer un triangle rectangle, connaître le théorème de Pythagore et utiliser une racine carrée. On se calme : la diagonale n’est ni un côté ni le périmètre. C’est là que tout le monde se plante.
Dans un carré ABCD, la diagonale relie deux sommets opposés : par exemple [AC]. Le carré possède deux diagonales, [AC] et [BD], et elles ont la même longueur. Si le côté mesure c, le triangle ABC est rectangle en B : ses deux petits côtés mesurent c, tandis que [AC] est l’hypoténuse. Avec le théorème de Pythagore, d² = c² + c² = 2c², donc la formule de la diagonale d’un carré est d = c√2. La racine carrée de deux vaut environ 1,414 : la diagonale est donc toujours plus longue que le côté. Pour un côté de 5 cm, d = 5√2 cm, soit environ 7,1 cm. Vérifie ton résultat : une diagonale de 4 cm pour un côté de 5 cm serait forcément fausse.
Calculer la diagonale d’un carré, étape par étape
Pour calculer la diagonale d’un carré, trace-la mentalement : elle découpe le carré en deux triangles rectangles identiques. La diagonale est l’hypoténuse, car elle se trouve en face de l’angle droit. On se calme : tu appliques simplement le théorème de Pythagore.
- Repère le côté, noté c, et la diagonale, notée d.
- Choisis le triangle rectangle créé par la diagonale.
- Écris : d² = c² + c².
- Conclue : d = c√2, dans la même unité que le côté.
Avec un côté de 5 cm : d² = 5² + 5² = 25 + 25, donc d = √(25 + 25) = 5√2 cm. Avec une valeur approchée, d ≈ 5 × 1,414 ≈ 7,1 cm. Le résultat dépasse bien 5 cm : vérifie toujours ce point.
Pour un côté de 6 cm : d² = 6² + 6² = 36 + 36, donc d = √(36 + 36) = 6√2 cm. Le piège classique, c’est là que tout le monde se plante : ne prends pas la diagonale pour un côté. À l’inverse, si d = 10√2 cm, alors c = d ÷ √2 = 10 cm. √2 est la racine carrée de deux : son carré vaut 2.
Questions fréquentes sur les diagonales
Qu’est-ce qu’une diagonale ? C’est le segment qui relie deux sommets opposés d’une figure. Dans un carré, elle le coupe en deux triangles rectangles identiques : voilà pourquoi on utilise le théorème de Pythagore. Si le côté mesure c, alors d² = c² + c² = 2c², donc d = c × √2. Exemple concret : avec un côté de 5 cm, d = 5 × √2 ≈ 7,1 cm. La diagonale est plus longue que le côté. Toujours. Le jour du contrôle, si tu trouves une diagonale inférieure ou égale au côté, ton calcul est forcément faux : vérifie ton brouillon.
Comment trouver le côté quand tu connais la diagonale ? Tu fais l’opération inverse : c = d ÷ √2. Avec une diagonale de 10 cm, le côté vaut 10 ÷ √2 ≈ 7,1 cm. Et pour une diagonale de rectangle ? Les deux côtés du triangle rectangle peuvent être différents, donc la formule diagonale devient d = √(L² + l²). Franchement, c’est là que tout le monde se plante : dans un carré, les deux longueurs sont égales ; dans un rectangle, elles ne le sont pas forcément. Peut-on calculer sans Pythagore ? Non, pas avec un raccourci général fiable : la formule du rectangle vient précisément de Pythagore.
Exercices : diagonales de carrés
Prénom : ________ Date : ________
Exercice 1 ⭐
Un carré a un côté de 5 cm. Complète : d = ____ √2 cm. Quelle est la longueur exacte de sa diagonale ?
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d = 5√2 cm. On applique d = c√2 avec c = 5 cm.
Exercice 2 ⭐
Un carré a un côté de 8 cm. Complète : d = ____ √2 cm. Donne la longueur exacte de sa diagonale.
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d = 8√2 cm. La diagonale s’obtient en multipliant le côté par √2.
Exercice 3 ⭐
Dans un carré de côté 3 cm, écris la diagonale sous la forme d = ____ √2 cm.
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d = 3√2 cm. Le coefficient devant √2 est la longueur du côté.
Exercice 4 ⭐⭐
Un carré a un côté de 6 cm. Écris d’abord l’égalité de Pythagore, puis donne la valeur exacte de la diagonale : d = ____ √2 cm.
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d² = 6² + 6², donc d = 6√2 cm. La diagonale est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés du carré.
Exercice 5 ⭐⭐
Un élève affirme qu’un carré de côté 7 cm a une diagonale de 14 cm. Est-ce vrai ou faux ? Donne la longueur exacte correcte : d = ____ √2 cm.
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Faux : d = 7√2 cm. Il ne faut pas remplacer √2 par 2.
Exercice 6 ⭐⭐
Le côté d’un carré mesure 12 m. Complète la formule et donne la longueur exacte de la diagonale : d = ____ √2 m.
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d = 12√2 m. On garde cette forme exacte car la consigne ne demande pas de valeur approchée.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
La diagonale d’un carré mesure 10√2 cm. Quelle est la longueur de son côté ? Complète : c = ____ cm.
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c = 10 cm. Dans l’écriture 10√2, le nombre 10 correspond à la longueur du côté.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Un carré a une diagonale de 7√2 cm. Une de ses longueurs de côté est-elle 7 cm, 7√2 cm ou 14 cm ? Écris la bonne réponse : c = ____ cm.
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c = 7 cm. Dans un carré, la diagonale vaut c√2 : le coefficient de √2 est donc le côté.
Correction
Exercice 1 : d = 5√2 cm. La formule est d = c√2, avec c = 5.
Exercice 2 : d = 8√2 cm. On conserve la forme exacte demandée.
Exercice 3 : 3√2 cm. La diagonale d’un carré de côté 3 cm est 3 × √2.
Exercice 4 : d = 6√2 cm. Le calcul commence par d² = 6² + 6², car la diagonale est l’hypoténuse.
Exercice 5 : Faux, d = 7√2 cm. √2 n’est pas égal à 2.
Exercice 6 : d = 12√2 m. On garde la valeur exacte puisque la consigne ne demande pas d’arrondi.
Exercice 7 : le côté mesure 10 cm. Dans 10√2, le coefficient 10 correspond au côté.
Exercice 8 : le côté mesure 7 cm. La diagonale s’écrit c√2, donc le coefficient de √2 donne la longueur du côté.
Pour aller à l'essentiel
Pour calculer une diagonale, trace le triangle rectangle formé par deux côtés du carré et la diagonale. Écris ensuite Pythagore avant de remplacer les nombres : tu éviteras les erreurs de formule et d’unité. Entraîne-toi avec les exercices, puis vérifie chaque étape dans la correction. Télécharge le PDF pour refaire les calculs sur ton cahier.
On répond à vos questions
Comment calculer la diagonale d’un rectangle sans utiliser directement le théorème de Pythagore ?
Franchement, pour obtenir une valeur exacte, on utilise forcément une idée équivalente à Pythagore. La formule est d=√(L²+l²), avec L la longueur et l la largeur. Sans calcul, tu peux seulement mesurer la diagonale à la règle sur un dessin à l’échelle. On se calme : la formule vient justement de Pythagore.
Qu’est-ce qu’une diagonale d’un carré ?
Une diagonale est un segment qui relie deux sommets opposés du carré. Si tu traces un carré, tu peux en dessiner deux : elles se croisent exactement au centre. Elles ont la même longueur et découpent le carré en quatre triangles. C’est là que tout le monde se plante : un côté et une diagonale ne mesurent pas la même chose.
Comment trouver la longueur d’un côté d’un carré avec sa diagonale ?
Si la diagonale vaut d, la longueur du côté vaut c = d ÷ √2. Tu peux aussi écrire c = d√2 ÷ 2. Par exemple, pour une diagonale de 10 cm, le côté mesure 5√2 cm, soit environ 7,1 cm. Vérifie toujours que le côté trouvé est plus court que la diagonale.
Quelle est la diagonale d’un rectangle ?
La diagonale d’un rectangle est le segment qui joint deux sommets opposés. Un rectangle en possède deux et elles ont toujours la même longueur. Pour la calculer, utilise d=√(L²+l²). Avec une longueur de 8 cm et une largeur de 6 cm, tu trouves d=√(8²+6²)=√(100)=10 cm.
Comment calcule-t-on une diagonale ?
Tu dois d’abord regarder la figure, car il n’existe pas une seule formule pour toutes les diagonales. Dans un carré de côté c, d=c√2. Dans un rectangle de longueur L et largeur l, d=√(L²+l²). Dans les deux cas, la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle.
Quelle est la définition d’un losange ?
Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur. Attention : il n’a pas forcément quatre angles droits, sinon ce serait un carré. Ses diagonales se croisent en leur milieu et sont perpendiculaires. Elles ne sont pas forcément de même longueur : c’est une différence importante avec le carré.
Dernière révision : 20.07.2026
