Calculate Modulo se révise en 4e-3e : cours et exercices corrigés
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Calculer un modulo, c’est trouver le reste d’une division euclidienne. Par exemple, 17 mod 5 = 2, car 17 = 5 × 3 + 2 ; le nombre après « mod » indique par quoi tu divises, et le résultat est toujours le reste.
Un calcul du type 38 mod 7 demande simplement le reste obtenu après division par 7. Derrière l’expression « calculer un modulo », il y a donc une idée de collège déjà connue : la division euclidienne. Attention à ne pas confondre le quotient et le reste : on ne cherche pas combien de fois le diviseur rentre dans le nombre, mais ce qui reste une fois les paquets complets retirés.
Objectif et prérequis avant de calculer un modulo
Prénom : ______ Date : ______
Niveau : 4e-3e Cycle 4 Mathématiques Division euclidienne
Objectif : savoir calculer le reste d’une division euclidienne et l’écrire sous forme de modulo. Avant de commencer, vérifie que tu sais reconnaître un multiple, poser une division simple et comparer un reste avec son diviseur.
À retenir : un modulo donne le reste, pas le quotient. Si tu écris a = n × q + r, le résultat de a mod n est r, avec un reste plus petit que n. Le bon réflexe consiste à chercher le plus grand multiple qui ne dépasse pas le nombre de départ.
Modulo : définition simple et vocabulaire à connaître
17 mod 4 donne 1. Le modulo désigne le reste obtenu quand une division entière est terminée. Dans a mod n = r, a est le nombre de départ, n est le module, c’est-à-dire le diviseur, et r est le reste. Exemple : 17 mod 4 = 1, car 17 = 4 × 4 + 1.
| Écriture | Lecture | Sens |
|---|---|---|
| a mod n | a modulo n | reste de a ÷ n |
| a % n | opérateur modulo | écriture fréquente en calculatrice et en code |
| a ≡ r mod n | congruence | a et r ont le même reste avec n |
Méthode pour calculer un modulo : étape par étape
Le modulo n’est pas un calcul réservé à une calculatrice : c’est le reste d’une division. Pour calculer a mod n, cherche le plus grand multiple de n qui ne dépasse pas a, puis soustrais-le à a. Exemple : 38 mod 6 = 2, car 6 × 6 = 36 et 38 − 36 = 2. C’est une méthode d’arithmétique classique.
- Repère le nombre à diviser.
- Cherche le plus grand multiple du diviseur sans dépasser.
- Soustrais ce multiple au nombre de départ.
- Vérifie que le reste est plus petit que le diviseur.
Exemple guidé : pour calculer 29 mod 6, cherche le plus grand multiple de 6 qui ne dépasse pas 29. Tu trouves 6 × 4 = 24, puis 29 − 24 = 5, donc 29 mod 6 = 5.
Autre exemple : pour 41 mod 10, le plus grand multiple de 10 qui ne dépasse pas 41 est 40. Il reste 41 − 40 = 1, donc 41 mod 10 = 1.
Exercices progressifs sur le modulo
Rappel : calculer un modulo, c’est chercher le reste d’une division euclidienne. Pour chaque calcul, écris la forme a = n × q + r, avec un reste r plus petit que n, puis donne seulement r. Prénom : ______ Date : ______
Exercice 1 ⭐
Calcule les modulos suivants en complétant chaque égalité de division euclidienne.
- 17 mod 5 : 17 = 5 × ____ + ____, donc 17 mod 5 = ____.
- 29 mod 6 : 29 = 6 × ____ + ____, donc 29 mod 6 = ____.
- 41 mod 10 : 41 = 10 × ____ + ____, donc 41 mod 10 = ____.
Exercice 2 ⭐
Pour chaque calcul, trouve le plus grand multiple du diviseur sans dépasser le nombre de départ, puis donne le reste.
- 38 mod 7 : le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 38 est ____, donc le reste est ____.
- 20 mod 6 : le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 20 est ____, donc le reste est ____.
- 47 mod 10 : le plus grand multiple de 10 inférieur ou égal à 47 est ____, donc le reste est ____.
Exercice 3 ⭐
Complète avec le reste qui convient. Attention : on ne demande pas le quotient, seulement ce qui reste.
- 12 mod 5 = ____.
- 36 mod 6 = ____.
- 105 mod 10 = ____.
Exercice 4 ⭐⭐
Écris chaque division sous la forme a = n × q + r, puis donne le modulo.
- 38 mod 6 : ____ = 6 × ____ + ____, donc 38 mod 6 = ____.
- 47 mod 7 : ____ = 7 × ____ + ____, donc 47 mod 7 = ____.
- 105 mod 12 : ____ = 12 × ____ + ____, donc 105 mod 12 = ____.
Exercice 5 ⭐⭐
Deux nombres sont congrus modulo un diviseur s’ils ont le même reste. Vérifie les affirmations suivantes en calculant les deux restes.
- 17 et 5 sont-ils congrus modulo 12 ? Reste de 17 ÷ 12 : ____. Reste de 5 ÷ 12 : ____.
- 38 et 20 sont-ils congrus modulo 6 ? Reste de 38 ÷ 6 : ____. Reste de 20 ÷ 6 : ____.
- 47 et 5 sont-ils congrus modulo 7 ? Reste de 47 ÷ 7 : ____. Reste de 5 ÷ 7 : ____.
Exercice 6 ⭐⭐
Un emploi du temps tourne en cycles de 7 jours. Si aujourd’hui est le jour 0 du cycle, complète les restes pour savoir sur quel jour du cycle on tombe.
- Dans 17 jours : 17 mod 7 = ____.
- Dans 38 jours : 38 mod 7 = ____.
- Dans 47 jours : 47 mod 7 = ____.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Réduis progressivement le grand nombre en gardant seulement les restes modulo 7. Complète les étapes.
- 1234 mod 7 : 7 × 176 = 1232, donc 1234 mod 7 = ____.
- (105 + 38) mod 7 : 105 mod 7 = ____, 38 mod 7 = ____, donc (105 + 38) mod 7 = ____.
- 20 × 6 mod 7 : 20 mod 7 = ____, donc (20 × 6) mod 7 = ____.
Correction
Exercice 1 — a) 17 = 5 × 3 + 2, donc 17 mod 5 = 2. b) 29 = 6 × 4 + 5, donc 29 mod 6 = 5. c) 41 = 10 × 4 + 1, donc 41 mod 10 = 1.
Exercice 2 — a) 38 mod 7 = 3, car 7 × 5 = 35 et 38 − 35 = 3. b) 20 mod 6 = 2, car 6 × 3 = 18 et 20 − 18 = 2. c) 47 mod 10 = 7, car 10 × 4 = 40 et 47 − 40 = 7.
Exercice 3 — a) 12 mod 5 = 2. b) 36 mod 6 = 0. c) 105 mod 10 = 5. Un reste nul signifie que la division tombe juste.
Exercice 4 — a) 38 = 6 × 6 + 2, donc 38 mod 6 = 2. b) 47 = 7 × 6 + 5, donc 47 mod 7 = 5. c) 105 = 12 × 8 + 9, donc 105 mod 12 = 9.
Exercice 5 — a) Oui, les deux restes valent 5. b) Oui, les deux restes valent 2. c) Oui, les deux restes valent 5. Même reste, donc même congruence.
Exercice 6 — a) 17 mod 7 = 3. b) 38 mod 7 = 3. c) 47 mod 7 = 5. Dans un cycle de 7 jours, le reste indique la position atteinte.
Exercice 7 — a) 1234 mod 7 = 2. b) 105 mod 7 = 0, 38 mod 7 = 3, donc (105 + 38) mod 7 = 3. c) 20 mod 7 = 6, puis 20 × 6 = 120 et 120 mod 7 = 1.
Pour aller à l'essentiel
Retiens la méthode : pour calculer un modulo, écris la division sous la forme a = b × q + r, puis garde seulement le reste r. Entraîne-toi avec de petits nombres, puis passe aux grands nombres en cherchant le multiple le plus proche sans dépasser.
Questions et réponses
Comment faire un calcul de congruence ?
Pour faire un calcul de congruence, tu regardes les restes dans une division euclidienne. Par exemple, 17 ≡ 5 mod 12 parce que 17 et 5 ont le même reste quand on les divise par 12. En pratique, tu remplaces un grand nombre par son reste, puis tu continues avec ce nombre plus petit.
Comment calculer le modulo d’un grand nombre ?
Pour calculer le modulo d’un grand nombre, tu peux le diviser par le diviseur et garder seulement le reste. Si le nombre est trop grand, découpe le calcul : utilise les restes à chaque étape. Par exemple, pour 1234 mod 7, tu peux poser la division ou réduire progressivement.
Comment se calcule le modulo ?
Le modulo se calcule avec une division euclidienne. Dans a mod b, tu divises a par b, puis tu gardes le reste. Par exemple, 20 mod 6 = 2, car 20 = 6 × 3 + 2. Le résultat n’est pas le quotient : c’est le reste.
Comment calculer le modulo onze ?
Calculer modulo onze, c’est chercher le reste après une division par 11. Par exemple, 47 mod 11 = 3, car 47 = 11 × 4 + 3. Si tu travailles avec un grand nombre, enlève des multiples de 11 jusqu’à obtenir un reste plus petit que 11. Ce reste est le résultat.
Quelle est la définition de la congruence ?
Deux nombres sont congrus modulo n s’ils donnent le même reste quand on les divise par n. On écrit par exemple 17 ≡ 5 mod 12, parce que 17 et 5 ont tous les deux le reste 5 dans la division par 12.
Quelle est la définition du modulo ?
Le modulo, c’est l’opération qui donne le reste d’une division. Dans a mod b, tu divises a par b et tu gardes le reste. Par exemple, 17 mod 5 = 2. Le mot revient en arithmétique modulaire et en informatique avec la même idée : ce qui reste après des groupes de même taille.
