Reconnaître un nombre divisible par 9 : cours et exercices en 6e
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Un nombre est divisible par 9 quand la division par 9 tombe juste, sans reste. Pour le vérifier sans poser l'opération, additionne tous ses chiffres : si la somme est un multiple de 9, le nombre est divisible par 9. Exemple : 4+3+5+3+3 = 18, donc 43533 est divisible par 9.
12 est divisible par 3, mais pas par 9, et c'est là que tout le monde se plante. On se calme : un test rapide évite la division, même sur cinq chiffres.
Divisible par 9 : ce que ça veut dire et la règle à connaître
Prénom : ____________ Date : ____________
Ton objectif : reconnaître vite si un nombre est divisible par 9 (chapitre « Reconnaître un nombre divisible par 9 », Arithmétique en 6e). Traduction : divisible veut dire que la division tombe juste. La règle : un nombre est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres l'est aussi. Essai sur 43533 : 4 + 3 + 5 + 3 + 3 = 18, et 18 est dans la table de 9.
Pour que ça roule, il te faut :
- les tables de multiplication jusqu'à 9 ;
- l'addition de plusieurs chiffres de suite ;
- la notion de multiple ;
- la lecture d'un nombre à plusieurs chiffres (43533 en a cinq).
Un critère de divisibilité est une astuce qui répond sans poser l'opération. Limite : il dit oui ou non, jamais combien ça fait.
La méthode pas à pas pour tester n'importe quel nombre
Quatre gestes sur ton brouillon, toujours dans le même ordre :
- Écris le nombre et entoure tous les chiffres, zéros compris.
- Additionne les chiffres entourés.
- Si la somme est grande, additionne ses propres chiffres, jusqu'à obtenir un petit nombre.
- Compare avec la table de 9 : 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99. Tu tombes dessus (ou sur 9) : divisible. Sinon, non.
Exemple 1 : 43533 a pour somme 18, donc il est divisible, et 9 × 4837 = 43533. Exemple 2 : 5 + 2 + 7 + 4 = 18 pour 5274, même verdict, car 9 × 586 = 5274. Contre-exemple, 2345 : 2 + 3 + 4 + 5 = 14, absent de la table, donc non divisible (9 × 260 = 2340, il reste 5). L'erreur classique ? Sauter un chiffre. Oublie le 4 de 5274 et tu trouves 14, donc tu conclus à tort que ça rate. Un zéro ne change pas la somme, mais l'entourer t'évite de perdre le fil.
Le piège classique : divisible par 3 ne veut pas dire divisible par 9
Prends 12. Ses chiffres font 1 + 2 = 3, donc il est divisible par 3 (12 = 3 × 4), mais pas par 9 : la table de 9 passe de 9 à 18 sans s'arrêter sur 12. Tout multiple de 9 est un multiple de 3, mais l'inverse est faux.
| Nombre | Somme des chiffres | Divisible par 3 ? | Divisible par 9 ? |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | oui | non |
| 12 | 3 | oui | non |
| 18 | 9 | oui | oui |
| 51 | 6 | oui | non |
| 63 | 9 | oui | oui |
| 2345 | 14 | non | non |
| 43533 | 18 | oui | oui |
Regarde 12 et 51 : sommes de 3 et 6, la porte du 3 s'ouvre, celle du 9 reste fermée. Retiens : la somme doit être un multiple de 9, pas seulement de 3.
Exercices progressifs pour t'entraîner, du facile au défi
Voici 8 exercices de difficulté croissante. Additionne les chiffres sur ton brouillon avant de répondre.
Exercice 1 (niveau 1)
Entoure les nombres divisibles par 9 : 27 ; 35 ; 54 ; 61 ; 72 ; 88.
Exercice 2 (niveau 1)
Complète. Pour 507, la somme des chiffres est ____ + ____ + ____ = ____. Cette somme ____ dans la table de 9, donc 507 ____ divisible par 9. (Choisis entre « est » et « n'est pas ».)
Exercice 3 (niveau 1)
Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase. a) 81 est un multiple de 9. b) 3 est divisible par 9. c) 18 est divisible par 3 et par 9. d) 12 est divisible par 9 parce que 1 + 2 = 3.
Exercice 4 (niveau 2)
Calcule la somme des chiffres de chaque nombre, puis écris s'il est divisible par 9 : a) 3726 ; b) 8452 ; c) 60309.
Exercice 5 (niveau 2)
Additionne les chiffres, puis recommence sur le résultat tant qu'il a deux chiffres. Conclus pour a) 987651 ; b) 1234567.
Exercice 6 (niveau 2)
Un camarade affirme : « 21 est divisible par 9, puisque 21 est divisible par 3. » Rédige deux ou trois phrases pour lui montrer son erreur, avec la somme des chiffres.
Exercice 7 (niveau 3)
Remplace le trait par un chiffre pour que le nombre soit divisible par 9. a) 47_2 (une seule solution) ; b) 6_3 (cherche toutes les solutions).
Exercice 8 (niveau 3)
Défi bonus. Je suis un nombre à trois chiffres. Mon chiffre des centaines est 7, celui des dizaines est 2. Je suis pair et divisible par 9. Quel est mon chiffre des unités, et qui suis-je ?
Correction
Exercice 1. Il faut entourer 27,54 et 72 (somme de 9 à chaque fois). Les autres échouent : 35 donne 8,61 donne 7 et 88 donne 16.
Exercice 2. 5 + 0 + 7 = 12. Cette somme n'est pas dans la table de 9, donc 507 n'est pas divisible par 9.
Exercice 3. a) Vrai : 9 × 9 = 81. b) Faux : 3 est plus petit que 9. c) Vrai : 1 + 8 = 9, donc divisible par 9, et par 3 du même coup. d) Faux : 3 n'est pas dans la table de 9, et 12 est divisible par 3 seulement.
Exercice 4. a) 3 + 7 + 2 + 6 = 18 : oui. b) 8 + 4 + 5 + 2 = 19 : non. c) 6 + 0 + 3 + 0 + 9 = 18 : oui, les zéros n'ajoutent rien.
Exercice 5. a) 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 36, puis 3 + 6 = 9 : oui. b) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28, puis 2 + 8 = 10, puis 1 + 0 = 1 : non.
Exercice 6. 2 + 1 = 3, et 3 n'est pas dans la table de 9. Le nombre 21 est divisible par 3 (3 × 7), mais pas par 9 : 9 × 2 = 18 et 9 × 3 = 27, donc 21 se glisse entre les deux.
Exercice 7. a) 4 + 7 + 2 = 13, il faut monter à 18, donc le chiffre est 5 : 4752 = 9 × 528. Monter à 27 demanderait un 14, impossible pour un chiffre. b) 6 + 3 = 9, le chiffre doit ajouter 0 ou 9 : 603 = 9 × 67 et 693 = 9 × 77.
Exercice 8. 7 + 2 = 9, donc le chiffre des unités ajoute 0 ou 9 : 720 ou 729. Le nombre est pair, donc 729 est éliminé. Réponse : 720, car 9 × 80 = 720.
Les questions qu'on nous pose
Est-ce que 3 est divisible par 9 ?
Non. Comme 3 est plus petit que 9, la division ne tombe pas juste : on obtient 0 et il reste 3. C'est l'inverse qui marche, puisque 9 est divisible par 3.
Quels nombres sont divisibles par 4 ?
Ceux dont les deux derniers chiffres forment un multiple de 4. Ainsi 720 convient, car 20 = 4 × 5. En revanche 714 ne convient pas, car 14 n'est pas dans la table de 4.
Quel nombre est divisible par 10 ?
Un nombre qui se termine par 0. Ainsi 720 et 80 le sont, alors que 75 ne l'est pas. Pour 5, il suffit que le dernier chiffre soit 0 ou 5 : 75 est divisible par 5 mais pas par 10.
Comment savoir si un nombre est divisible par 2,3,4,5,9 ou 10 ?
Sans poser de division. Par 2 : le nombre finit par 0,2,4,6 ou 8. Par 3 ou 9 : la somme des chiffres est un multiple de 3 ou de 9. Par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4. Par 5 : il finit par 0 ou 5. Par 10 : il finit par 0.
Comment savoir si un nombre est divisible par 3 et par 9 ?
Additionne les chiffres. Si la somme est dans la table de 3, le nombre est divisible par 3 ; si elle est dans la table de 9, il l'est par 9, donc aussi par 3. Exemple : 51 donne 6, divisible par 3 seulement ; 63 donne 9, divisible par 3 et par 9.
Que veut dire « divisible » ?
Un nombre est divisible par un autre quand la division tombe juste, sans reste. 18 est divisible par 9, car 18 ÷ 9 = 2 pile. 20 ne l'est pas : 20 ÷ 9 donne 2 et il reste 2.
Quels sont les multiples de 9 ?
Les nombres de la table de 9 : 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99, puis 108,117,126, et ainsi de suite sans fin. La somme des chiffres de chacun est elle-même un multiple de 9.
Retiens le réflexe : tu additionnes les chiffres, et si la somme est un multiple de 9, le nombre est divisible par 9. Entraîne-toi sans regarder la correction : tes erreurs montrent ce qu'il reste à revoir avant le contrôle.
