Perimetres et aires : cours 6eme
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Mesurer le tour d’une figure ou la surface qu’elle occupe, c’est l’un des premiers vrais outils de géométrie qu’on utilise partout : pour poser une clôture, acheter du carrelage, tracer un terrain de sport. En 6e, le programme de l’Éducation nationale demande justement de savoir distinguer périmètre et aire, puis de calculer ces grandeurs sur des figures simples.
Le piège classique arrive très vite : deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire. Et parfois, c’est l’inverse. C’est là que le chapitre Perimetres et aires : cours 6eme devient vraiment utile.
Définitions et rappels essentiels
Périmètre : c’est la longueur du contour d’une figure.
Aire : c’est la mesure de la surface occupée par une figure.
Unités de longueur pour le périmètre : mm, cm, dm, m, km.
Unités d’aire : mm2, cm2, dm2, m2, km2.
Attention : on n’utilise pas les mêmes unités pour une longueur et pour une aire.
Un élève de 6e confond souvent les deux parce qu’on “mesure” dans les deux cas. Pourtant, ce n’est pas la même idée. Le périmètre, c’est ce qu’on parcourrait en marchant tout autour de la figure. L’aire, c’est ce qu’on recouvrirait avec du papier, de la peinture ou du gazon.
Petit fait peu connu : le mot aire vient du latin area, qui désignait une surface plane, souvent un sol dégagé. Rien à voir avec “l’air” qu’on respire, même si beaucoup d’élèves les confondent à l’oral.
Les figures à connaître en 6e
Dans ce chapitre, on travaille surtout sur le carré, le rectangle et des figures composées. Le triangle apparaît souvent pour le périmètre, mais pour l’aire, en 6e, on reste généralement sur des découpages ou des pavages simples.
Si tu veux revoir les bases sur les figures usuelles, tu peux lire aussi notre cours sur les polygones en 6e et notre page sur les conversions de longueurs. Ces rappels évitent beaucoup d’erreurs.
Propriétés et formules à connaître
Propriété 1 — Périmètre d’un carré
Si un carré a un côté de longueur c, alors son périmètre est :
P = 4 × c
Pourquoi ? Parce qu’un carré a 4 côtés de même longueur.
Propriété 2 — Périmètre d’un rectangle
Si un rectangle a une longueur L et une largeur l, alors :
P = 2 × (L + l)
Pourquoi ? Il y a deux longueurs et deux largeurs, donc
P = L + l + L + l = 2 × L + 2 × l = 2 × (L + l).
Propriété 3 — Aire d’un rectangle
Si un rectangle a une longueur L et une largeur l, alors :
A = L × l
Explication simple : si on pave le rectangle avec des petits carrés de 1 cm de côté, on compte le nombre de carrés. Il y a L carrés sur une ligne et l lignes, donc au total L × l.
Propriété 4 — Aire d’un carré
Si un carré a un côté de longueur c, alors :
A = c × c = c2
Pourquoi ? Un carré est un rectangle particulier dont la longueur et la largeur sont égales.
Le symbole cm2 se lit “centimètre carré”. Cela ne veut pas dire “cm fois 2”, mais “surface d’un carré de 1 cm de côté”. Cette nuance change tout. Un élève qui écrit une aire en cm au lieu de cm2 perd souvent des points alors que le calcul est juste.
Ce que dit le programme de 6e
Selon le programme de mathématiques du cycle 3, les élèves doivent comparer, estimer, mesurer des longueurs et des aires, utiliser les unités adaptées et calculer le périmètre de figures usuelles. Pour l’aire, l’idée de pavage est centrale. Les formules ne tombent pas du ciel : elles viennent d’un comptage organisé.
Une anecdote amusante : pendant longtemps, les hommes ont su mesurer des terrains sans écrire les formules comme on le fait aujourd’hui. Les Égyptiens, par exemple, utilisaient déjà des méthodes pratiques après les crues du Nil pour retrouver les limites des champs. La géométrie est née aussi de problèmes très concrets.
Méthode pas à pas pour résoudre un exercice
Étape 1 : lire la question avec précision
Cherche si on te demande un périmètre ou une aire. Ce n’est pas la même grandeur.
Étape 2 : repérer la figure
Carré ? Rectangle ? Figure composée ?
Étape 3 : relever les mesures utiles
Pour un périmètre, il faut les longueurs des côtés.
Pour une aire, il faut les dimensions de la surface.
Étape 4 : vérifier les unités
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de calculer.
Étape 5 : choisir la bonne formule
Carré : P = 4 × c ; A = c2
Rectangle : P = 2 × (L + l) ; A = L × l
Étape 6 : rédiger la réponse complète
Écris le calcul, puis le résultat avec la bonne unité.
Cette méthode paraît simple. Pourtant, elle évite la majorité des erreurs. En particulier l’étape 4. Beaucoup d’élèves calculent avec des cm et des m mélangés, puis obtiennent un résultat absurde. Par exemple, additionner 3 m et 40 cm sans convertir revient à additionner des pommes et des poires.
Tu peux t’entraîner ensuite avec notre page d’exercices sur les périmètres et aires en 6e ou revoir les bases de calcul sur les opérations et priorités de calcul si tu bloques sur les étapes numériques.
Trois exemples résolus de difficulté croissante
Exemple 1 : calculer le périmètre d’un carré
Un carré a un côté de 6 cm. Calculer son périmètre.
Solution
Le périmètre d’un carré se calcule avec la formule :
P = 4 × c
Ici, c = 6 cm.
P = 4 × 6 = 24
Réponse : le périmètre du carré est 24 cm.
Rien de compliqué ici, mais un détail compte : on écrit 24 cm, pas 24 cm2. L’unité raconte ce qu’on a calculé. Dans certaines copies, le calcul est parfait et l’unité fait tout rater.
Fait peu connu : si on double le côté d’un carré, son périmètre est doublé… mais son aire, elle, est multipliée par 4. C’est un excellent test pour voir si on a bien compris la différence entre contour et surface.
Exemple 2 : calculer l’aire d’un rectangle
Un rectangle mesure 8 cm de longueur et 5 cm de largeur. Calculer son aire.
Solution
L’aire d’un rectangle se calcule avec :
A = L × l
Ici, L = 8 cm et l = 5 cm.
A = 8 × 5 = 40
Réponse : l’aire du rectangle est 40 cm2.
On peut vérifier mentalement si c’est logique. Un rectangle de 8 cm sur 5 cm contient 8 rangées de 5 petits carrés de 1 cm de côté, soit 40 petits carrés. Cette image du pavage aide beaucoup plus que la récitation d’une formule.
Exemple 3 : figure composée avec périmètre et aire
On considère une figure formée de deux rectangles accolés :
Premier rectangle : 6 cm sur 4 cm
Deuxième rectangle : 3 cm sur 4 cm
Les deux rectangles sont collés sur le côté de 4 cm.
1. Calculer l’aire de la figure
On additionne les aires des deux rectangles.
A1 = 6 × 4 = 24 cm2
A2 = 3 × 4 = 12 cm2
A totale = 24 + 12 = 36 cm2
2. Calculer le périmètre de la figure
La figure obtenue est en fait un grand rectangle de longueur 6 + 3 = 9 cm et de largeur 4 cm.
P = 2 × (9 + 4)
P = 2 × 13
P = 26 cm
Réponse : aire = 36 cm2 et périmètre = 26 cm.
Ce type d’exercice est très révélateur. Certains élèves additionnent tous les périmètres des petits rectangles, ce qui compte deux fois le côté collé à l’intérieur. Or un segment intérieur ne fait pas partie du contour. C’est le genre de détail qui change tout.
Pour progresser sur les figures composées, tu peux aussi aller voir notre cours sur les figures composées en 6e, très utile quand les contours deviennent moins évidents.
Cas particuliers et pièges courants
Piège 1 : confondre périmètre et aire
Le périmètre mesure un contour. L’aire mesure une surface.
Piège 2 : oublier les unités
Périmètre en cm, m…
Aire en cm2, m2…
Piège 3 : utiliser une formule sans réfléchir
Si la figure n’est pas un rectangle complet, il faut parfois la découper ou la recomposer.
Piège 4 : ne pas convertir avant de calculer
Exemple : 2 m et 30 cm doivent être mis dans la même unité.
Piège 5 : compter un côté intérieur dans le périmètre
Seul le contour extérieur compte.
Voici un exemple qui surprend souvent : un rectangle de 10 cm sur 1 cm et un carré de 3 cm de côté n’ont ni le même périmètre ni la même aire, alors qu’ils “ont l’air” proches à l’œil. La géométrie oblige à quitter l’impression visuelle pour passer à la mesure.
Autre fait intéressant : on peut fabriquer plusieurs rectangles de périmètre 20 cm, par exemple 8 cm sur 2 cm ou 6 cm sur 4 cm. Pourtant leurs aires sont différentes : 16 cm2 pour le premier, 24 cm2 pour le second. Même périmètre, aire différente. C’est un grand classique des exercices de 6e.
Petit résumé à retenir
À savoir par cœur
Périmètre = longueur du contour.
Aire = mesure de la surface.
Carré de côté c :
P = 4 × c
A = c2
Rectangle de longueur L et largeur l :
P = 2 × (L + l)
A = L × l
Le périmètre s’exprime avec une unité de longueur.
L’aire s’exprime avec une unité au carré : cm2, m2…
Toujours vérifier les unités avant de calculer.
FAQ : les questions fréquentes des élèves
Comment savoir si je dois calculer un périmètre ou une aire ?
Regarde le sens de la question. Si on parle du tour, d’une bordure, d’une clôture, d’un contour, c’est un périmètre. Si on parle de surface à peindre, de carrelage, de papier à poser, c’est une aire.
Pourquoi l’aire s’écrit-elle en cm2 ?
Parce qu’on compte des petits carrés de 1 cm de côté. Un cm2, c’est l’aire d’un carré de côté 1 cm. Ce n’est pas une longueur, c’est une surface.
Peut-on avoir le même périmètre mais une aire différente ?
Oui, très souvent. Par exemple, un rectangle 6 cm sur 4 cm a un périmètre de 20 cm et une aire de 24 cm2. Un rectangle 8 cm sur 2 cm a aussi un périmètre de 20 cm, mais son aire est 16 cm2.
Faut-il apprendre les formules par cœur ?
Oui, mais pas seulement. Il faut aussi comprendre d’où elles viennent. L’aire du rectangle, par exemple, vient du pavage. Quand on comprend, on oublie moins vite.
Que faire si les mesures ne sont pas dans la même unité ?
Il faut convertir avant tout calcul. Si une longueur est en m et l’autre en cm, choisis une seule unité. Tu peux revoir cela sur notre cours de conversions de longueurs en 6e.
Le chapitre Perimetres et aires : cours 6eme sert de base pour toute la géométrie du collège. Quand cette distinction est claire dès maintenant, les exercices deviennent beaucoup plus simples, même quand les figures se compliquent.
