Arithmetique : cours complet 3eme
Télécharger la fiche de cours
Fiche PDF imprimable au format A4.
L’Arithmetique : cours complet 3eme fait partie des chapitres qui changent vraiment la façon de regarder les nombres. Derrière des calculs qui semblent simples, on apprend à repérer des multiples, des diviseurs, des nombres premiers, puis à résoudre des problèmes très concrets de partage, de rangement ou de synchronisation. C’est un point clé du programme de 3e de l’Éducation nationale, et il sert aussi de base pour le lycée.
Un détail amusant : les mathématiciens de l’Antiquité travaillaient déjà sur ces questions. Euclide, il y a plus de 2000 ans, utilisait des idées d’arithmétique pour étudier les nombres premiers. Comme quoi, un simple calcul de divisibilité peut cacher une très vieille histoire.
Définitions et rappels essentiels
Vocabulaire de base
Un entier a est divisible par un entier b si on peut écrire :
a = b × k avec k entier.
Dans ce cas, on dit que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b.
Exemple : 24 = 6 × 4, donc 24 est divisible par 6. On dit aussi que 6 est un diviseur de 24, et que 24 est un multiple de 6.
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier positif qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Le nombre 2 est un cas particulier : c’est le seul nombre premier pair. Beaucoup d’élèves l’oublient au début.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers.
Exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
PGCD et PPCM
Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Le PPCM de deux nombres est leur Plus Petit Commun Multiple.
Exemple : pour 12 et 18 :
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Le PGCD est 6.
Si tu veux revoir les bases de la divisibilité avant d’aller plus loin, le cours sur les critères de divisibilité est utile. Et pour s’entraîner ensuite, tu peux enchaîner avec des exercices d’arithmétique en 3e.
Propriétés et théorèmes à connaître
Critères de divisibilité
Ces règles permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans faire la division complète.
Par 2 : le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3.
Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5.
Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9.
Par 10 : le chiffre des unités est 0.
Démonstration simplifiée pour la divisibilité par 3
Prenons 573. On peut écrire :
573 = 5 × 100 + 7 × 10 + 3
Or 100 et 10 laissent le même reste que 1 quand on les divise par 3. Donc 573 a le même reste que 5 + 7 + 3, soit 15. Comme 15 est divisible par 3, 573 l’est aussi.
Ce petit tour de magie était déjà connu dans des formes très anciennes de calcul. Ce n’est pas juste une astuce de manuel : c’est une vraie propriété des nombres.
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre près.
Exemple : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Calcul du PGCD à l’aide des facteurs premiers
Pour trouver le PGCD de deux nombres, on garde les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants.
Exemple :
72 = 23 × 32
48 = 24 × 3
Facteurs communs : 23 et 3
Donc PGCD(72 ; 48) = 23 × 3 = 24
Calcul du PPCM à l’aide des facteurs premiers
Pour trouver le PPCM, on prend tous les facteurs premiers présents, avec les plus grands exposants.
Exemple :
72 = 23 × 32
48 = 24 × 3
Donc PPCM(72 ; 48) = 24 × 32 = 144
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Exemple : 8 et 15 sont premiers entre eux.
Cette partie est directement liée aux attendus du programme de 3e : utiliser les notions de multiple, diviseur, nombre premier, décomposition en facteurs premiers et PGCD pour résoudre des problèmes. Tu peux aussi faire le lien avec le chapitre sur les fractions en 3e, car simplifier une fraction revient souvent à chercher un diviseur commun.
Méthode pas à pas pour résoudre un exercice d’arithmétique
La méthode qui évite les erreurs
Étape 1 : Lire la consigne avec précision. Cherche-t-on un diviseur, un multiple, un PGCD, un PPCM ou une décomposition en facteurs premiers ?
Étape 2 : Repérer les nombres concernés et tester les critères de divisibilité si besoin.
Étape 3 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers.
Exemple : 90 = 2 × 32 × 5
Étape 4 : Selon la question :
- pour le PGCD, garder seulement les facteurs communs avec les plus petits exposants ;
- pour le PPCM, prendre tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Étape 5 : Revenir au problème concret. Si on parle de partage en paquets identiques, le PGCD est souvent l’outil. Si on cherche quand deux événements se reproduisent ensemble, c’est souvent le PPCM.
Étape 6 : Rédiger une phrase réponse claire.
Beaucoup d’élèves savent calculer, mais perdent des points sur la dernière ligne. Une réponse du type « donc il peut faire 12 paquets de 8 » vaut bien mieux qu’un simple « PGCD = 24 » posé sans contexte.
Exemples résolus de difficulté croissante
Exemple 1 : savoir si un nombre est divisible
Question : 693 est-il divisible par 3 et par 9 ?
On calcule la somme des chiffres : 6 + 9 + 3 = 18.
18 est divisible par 3, donc 693 est divisible par 3.
18 est aussi divisible par 9, donc 693 est divisible par 9.
Réponse : 693 est divisible par 3 et par 9.
Exemple 2 : calculer un PGCD
Question : Calculer le PGCD de 90 et 126.
On décompose :
90 = 2 × 32 × 5
126 = 2 × 32 × 7
Les facteurs communs sont 2 et 32.
Donc :
PGCD(90 ; 126) = 2 × 32 = 18
Réponse : le PGCD de 90 et 126 est 18.
Petit fait peu connu : le mot « commun » dans PGCD est essentiel. Certains élèves prennent tous les facteurs des deux nombres et trouvent en réalité le PPCM sans s’en rendre compte.
Exemple 3 : problème concret avec partage
Question : Un professeur a 84 stylos rouges et 126 stylos bleus. Il veut faire des lots identiques, en utilisant tous les stylos, avec le même nombre de stylos rouges et bleus dans chaque lot. Combien de lots peut-il faire au maximum ?
Le nombre maximal de lots correspond au PGCD de 84 et 126.
Décomposons :
84 = 22 × 3 × 7
126 = 2 × 32 × 7
Facteurs communs avec les plus petits exposants :
2 × 3 × 7 = 42
Donc le professeur peut faire 42 lots.
Dans chaque lot :
84 ÷ 42 = 2 stylos rouges
126 ÷ 42 = 3 stylos bleus
Réponse : il peut faire 42 lots de 2 stylos rouges et 3 stylos bleus.
Ce type de problème tombe très souvent en contrôle. Et il ressemble à des situations réelles : préparer des sachets, ranger des objets, répartir du matériel. L’arithmétique n’a rien d’abstrait ici.
Cas particuliers et pièges courants
Les erreurs qui reviennent tout le temps
Confondre nombre premier et nombre impair
9 est impair, mais il n’est pas premier car 9 = 3 × 3.
Oublier que 1 n’est pas un nombre premier
1 n’a qu’un seul diviseur positif, lui-même. Il ne vérifie donc pas la définition.
Dire que 2 n’est pas premier parce qu’il est pair
C’est faux. 2 a exactement deux diviseurs positifs : 1 et 2.
Se tromper entre PGCD et PPCM
Si on partage en groupes identiques les plus grands possibles, on pense souvent au PGCD.
Si on cherche un moment commun, un alignement, une répétition simultanée, on pense souvent au PPCM.
Mal faire la décomposition en facteurs premiers
Par exemple, écrire 45 = 3 × 15 n’est pas une décomposition en facteurs premiers, car 15 n’est pas premier.
Il faut continuer : 45 = 3 × 3 × 5 = 32 × 5.
Ne pas interpréter le résultat
Trouver 42 ne suffit pas. Dans un problème, il faut expliquer ce que représente 42.
Un piège discret : certains élèves pensent que plus le nombre est grand, plus il a de chances d’être premier. C’est même parfois l’inverse dans les exercices, car les nombres donnés sont souvent choisis pour être décomposables.
Résumé du cours à retenir
En Arithmetique : cours complet 3eme, il faut savoir :
- reconnaître si un entier est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ;
- distinguer multiple et diviseur ;
- identifier un nombre premier ;
- décomposer un entier en produit de facteurs premiers ;
- calculer un PGCD et un PPCM ;
- utiliser ces notions dans des problèmes concrets de partage, de rangement ou de répétition.
Idée-clé :
PGCD = facteurs communs avec les plus petits exposants
PPCM = tous les facteurs avec les plus grands exposants
Exercice d’application
À faire seul
Décomposer 180 et 252 en facteurs premiers, puis calculer leur PGCD.
Correction
180 = 22 × 32 × 5
252 = 22 × 32 × 7
Facteurs communs : 22 × 32
Donc PGCD(180 ; 252) = 4 × 9 = 36
Pour continuer, tu peux revoir le calcul littéral avec la même logique de méthode sur le cours de calcul littéral en 3e, ou t’entraîner avec des sujets plus complets sur les exercices type brevet. L’arithmétique apparaît souvent de façon mélangée avec d’autres chapitres.
FAQ : questions fréquentes des élèves
Comment savoir rapidement si un nombre est premier ?
On teste d’abord les petits diviseurs : 2, 3, 5, 7… Si le nombre a un diviseur autre que 1 et lui-même, il n’est pas premier. En 3e, on travaille surtout sur des nombres raisonnables, donc cette vérification reste accessible.
À quoi sert le PGCD dans les exercices ?
Le PGCD sert souvent quand on veut faire des groupes identiques les plus grands possibles, ou le nombre maximal de paquets identiques. C’est le cas typique des exercices de partage.
À quoi sert le PPCM ?
Le PPCM est utile quand deux événements se répètent et qu’on cherche quand ils se produiront ensemble. Par exemple, deux sonneries qui reviennent toutes les 6 minutes et 8 minutes se retrouveront ensemble au bout de 24 minutes.
Pourquoi 1 n’est-il pas premier ?
Parce qu’un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’en a qu’un seul.
La décomposition en facteurs premiers est-elle toujours unique ?
Oui, à l’ordre près. Par exemple, 60 peut s’écrire 2 × 2 × 3 × 5 ou 3 × 2 × 5 × 2, mais c’est la même décomposition. C’est une propriété fondamentale de l’arithmétique.
