Homothetie : cours complet 3eme

Tu cherches un cours complet sur l’homothétie en 3^e ? Il faut savoir définir la transformation, placer l’image d’un point, reconnaître un agrandissement ou une réduction, relier le tout à Thalès, puis réussir les exercices type brevet. C’est exactement ce qui est attendu dans le programme de l’Éducation nationale sur les transformations du plan et les figures semblables.

L’homothétie fait partie des notions qui changent la façon de voir la géométrie en 3^e. On ne parle plus seulement de figures “qui se ressemblent” : on apprend à les transformer avec précision, à partir d’un centre et d’un nombre. C’est exactement ce qui est attendu dans le programme de l’Éducation nationale, au chapitre des transformations du plan, juste avant de lier tout cela à Thalès, aux agrandissements et aux réductions.

Définition et rappels sur l’homothétie

Un détail que beaucoup d’élèves oublient au début : le rapport peut être négatif. C’est souvent là que les erreurs commencent. Et pourtant, ce cas n’a rien d’exotique. Historiquement, les géomètres ont vite remarqué qu’une figure pouvait être “renvoyée de l’autre côté” du centre tout en gardant la même forme. C’est exactement ce que traduit un rapport négatif.

Ce qu’il faut déjà savoir avant de continuer

Pour être à l’aise avec ce chapitre, il faut maîtriser les longueurs, les alignements, les rapports et la notion de figures semblables. Si tu veux revoir ces bases, tu peux passer par le cours sur le théorème de Thalès en 3^e, très lié à l’homothétie, ou encore par les agrandissements et réductions.

Propriétés et théorèmes à connaître

Cette propriété paraît simple, mais elle sert partout. Dans beaucoup d’exercices, on ne te demande pas directement “les points sont-ils alignés ?”, on te donne une figure transformée et il faut le comprendre seul.

Le fait peu connu ici, c’est que cette propriété explique pourquoi les cartes, les plans d’architecte ou certains logiciels de dessin reposent sur des idées très proches de l’homothétie. Quand on change l’échelle d’un plan, on applique en pratique le même principe.

Cette propriété est le pont naturel avec Thalès. D’ailleurs, dans le programme officiel, l’homothétie sert justement à donner du sens aux configurations avec droites parallèles. Ce n’est pas un hasard si ces chapitres arrivent souvent l’un près de l’autre dans l’année.

Conséquence sur les aires et les volumes

Au collège, on insiste surtout sur les longueurs, mais il est bon de savoir que si les longueurs sont multipliées par |k|, alors les aires sont multipliées par k². C’est un résultat que beaucoup trouvent surprenant la première fois. Si on double les longueurs, l’aire n’est pas doublée : elle est multipliée par 4. Voilà pourquoi une petite erreur sur le rapport peut faire exploser le résultat final.

Exemple très simple : un carré de côté 3 cm a une aire de 9 cm². Avec un rapport k = 2, le nouveau côté vaut 6 cm, et l’aire vaut 36 cm². On a bien 36 = 2² × 9.

Pour le niveau 3^e, cette idée sur les aires fait partie des prolongements utiles, surtout quand on travaille les figures semblables. Les volumes, eux, relèvent plutôt de la culture mathématique : dans l’espace, un coefficient d’agrandissement de valeur absolue |k| multiplie les volumes par |k|³. Ce n’est pas le cœur du programme de 3^e, mais c’est une suite logique très élégante.

Pour travailler cette idée, tu peux aussi consulter les cours sur les aires et volumes en 3^e.

Construction de l’image d’un point et d’une figure selon le rapport k

Construire l’image d’un point si k > 1

Supposons une homothétie de centre O et de rapport k = 2. On veut construire l’image A’ d’un point A.

1. On trace la droite (OA).
2. Comme k > 0, A’ sera sur la même demi-droite que A à partir de O.
3. Comme |k| = 2, on place A’ de sorte que OA’ = 2 × OA.

Le point image est donc plus loin du centre que le point de départ. C’est un agrandissement.

Construire l’image d’un point si 0 < k < 1

Prenons maintenant k = 0,5. Cette fois, on réduit la figure.

1. On trace la droite (OA).
2. Comme k > 0, le point A’ reste du même côté que A par rapport à O.
3. Comme |k| = 0,5, on place A’ tel que OA’ = 0,5 × OA.

Autrement dit, A’ est entre O et A. C’est souvent le cas qui paraît le plus simple, mais beaucoup d’élèves placent encore le point trop loin. Une astuce mentale marche bien : “si je réduis, je me rapproche du centre”.

Construire l’image d’un point si k < 0

Voici le cas qui fait hésiter le plus souvent. Prenons k = -2.

1. On trace la droite (OA).
2. Comme k < 0, le point image A’ se place sur la demi-droite opposée à celle de A.
3. Comme |k| = 2, on impose OA’ = 2 × OA.

Le signe “moins” ne change pas la longueur. Il change le côté. C’est tout. Ce détail, très simple une fois compris, débloque une grande partie des exercices.

Méthode pas à pas pour construire l’image d’un point

Petit fait amusant : quand k = -1, on ne fait rien d’autre qu’une symétrie centrale. Beaucoup d’élèves pensent que c’est un nouveau chapitre, alors que c’est juste un cas particulier d’homothétie.

Construire l’image d’un segment

Pour construire l’image d’un segment [AB], on commence par construire A’ puis B’. Ensuite, on relie A’ à B’. Le segment image est [A’B’].

La longueur est multipliée par |k|. Si AB = 4 cm et k = 1,5, alors A’B’ = 6 cm. Cette idée paraît mécanique, mais elle permet de vérifier très vite si une construction est cohérente.

Construire l’image d’un triangle

Pour un triangle ABC, même principe : on construit A’, B’ et C’, puis on relie les trois points.

Le triangle A’B’C’ est semblable au triangle ABC. Les angles sont conservés, les côtés sont multipliés par |k|. Si le rapport est négatif, la figure se retrouve de l’autre côté du centre, ce qui surprend souvent la première fois. Sur une copie, c’est justement ce genre de détail qui fait la différence entre un dessin juste et un dessin “presque juste”.

Homothétie 3e : agrandissement ou réduction ?

Le point à bien voir : pour savoir s’il s’agit d’un agrandissement ou d’une réduction, on regarde la valeur absolue du rapport. Le signe sert à la position. La taille, elle, dépend de |k|.

Lien entre homothétie et théorème de Thalès

Cette partie est centrale en 3^e. Quand une figure est l’image d’une autre par homothétie, on retrouve exactement les rapports de longueurs qui apparaissent dans le théorème de Thalès. Ce n’est pas une coïncidence : les deux notions racontent la même géométrie sous deux angles différents.

Configuration type à reconnaître

Imagine un triangle OAB. On place un point A’ sur la droite (OA) et un point B’ sur la droite (OB), de telle sorte que (A’B’) soit parallèle à (AB).

Dans cette configuration, le triangle OA’B’ est l’image du triangle OAB par une homothétie de centre O. Le rapport vaut :

k = \(\dfrac{OA'}{OA}\) = \(\dfrac{OB'}{OB}\) = \(\dfrac{A'B'}{AB}\)

Le schéma mental à garder en tête est simple : un même centre, des points alignés avec ce centre, et des côtés correspondants parallèles. Si tu vois ça sur une figure, pense immédiatement à Thalès et à l’homothétie.

Pourquoi Thalès apparaît naturellement

C’est exactement la structure du théorème de Thalès. La différence, c’est qu’avec l’homothétie, on interprète ce rapport comme un rapport de transformation. Dit autrement : Thalès mesure, l’homothétie transforme.

Un fait peu connu mais très parlant : dans certains manuels anciens, l’homothétie était présentée bien après Thalès, presque comme une conséquence “élégante” du théorème. Aujourd’hui, on les fait dialoguer beaucoup plus tôt, et c’est une bonne idée.

Exemple chiffré avec Thalès

Pour t’entraîner davantage sur cette configuration, tu peux compléter avec les exercices sur Thalès en 3^e.

Exemples corrigés d’homothétie en 3e

Exemple 1 — Image d’un point avec un rapport positif

Exemple 2 — Image d’un point avec un rapport négatif

Exemple 3 — Image d’un triangle

Exemple 4 — Aire d’une figure

Exercices type brevet sur l’homothétie

Si tu veux un entraînement plus large, tu peux prolonger avec les exercices d’homothétie niveau 3^e et les annales type brevet en maths.

Erreurs fréquentes en homothétie

Une erreur classique au brevet consiste à lire trop vite k = -0,5 et à répondre “agrandissement” parce qu’on a vu le signe moins. Or ici, la figure est de l’autre côté, oui, mais elle est surtout deux fois plus petite.

Résumé : les points clés à retenir

FAQ sur l’homothétie en 3e

Comment savoir si c’est un agrandissement ou une réduction ?

Il faut regarder |k|. Si |k| > 1, c’est un agrandissement. Si |k| < 1, c’est une réduction. Le signe ne sert pas à savoir si la figure grandit ou rétrécit.

Comment placer A’ dans une homothétie ?

Trace la droite (OA), regarde le signe de k pour choisir le côté, puis multiplie OA par |k| pour placer A’ à la bonne distance.

Que signifie un rapport négatif ?

Un rapport négatif signifie que l’image se place de l’autre côté du centre. La forme est conservée, mais la figure est “renvoyée” par rapport au centre. Quand k = -1, on obtient une symétrie centrale.

Pourquoi utilise-t-on |k| pour les longueurs ?

Parce qu’une longueur est toujours positive. Le signe de k sert à indiquer la position de l’image, pas une distance négative.

Quel est le lien entre homothétie et Thalès ?

Dans une configuration avec un centre commun et des droites parallèles, les rapports de longueurs donnés par Thalès correspondent au rapport de l’homothétie. Les deux chapitres sont donc très proches.

Les volumes sont-ils au programme de 3e ?

Pas vraiment sous l’angle de l’homothétie. Au programme, on travaille surtout les longueurs, les figures planes, les agrandissements, les réductions et le lien avec Thalès. Le facteur |k|³ pour les volumes relève surtout d’un prolongement culturel.

Pour finir ce cours complet sur l’homothétie en 3e

Si tu retiens une seule méthode, prends celle-ci : droite passant par le centre, côté donné par le signe de k, distance donnée par |k|. Avec ça, tu sais déjà construire l’image d’un point, d’un segment ou d’un triangle.

Le reste suit naturellement : les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k², les droites deviennent parallèles quand elles ne passent pas par le centre, et les figures obtenues sont semblables à la figure de départ. C’est précisément ce qui rend le chapitre si utile en 3^e, surtout pour relier transformations, agrandissements, réductions et théorème de Thalès.

Pour consolider ce cours complet d’homothétie 3^e, le plus efficace reste d’enchaîner avec des exercices corrigés sur l’homothétie, puis de revoir au besoin le cours sur Thalès et les agrandissements et réductions. C’est souvent à ce moment-là que tout devient limpide.