Comment utiliser la formule des probabilités totales en première
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La formule des probabilités totales calcule la probabilité d’un événement en additionnant les probabilités des cas incompatibles qui y conduisent. Si A1, A2,..., An forment une partition, alors P(B)=Σ P(Ai)P(B|Ai) ; on l’utilise surtout pour lire un arbre pondéré ou comparer plusieurs sous-populations.
Sur un arbre pondéré, le même événement peut apparaître au bout de plusieurs branches, et c’est là que beaucoup d’élèves se trompent. Pour trouver la bonne probabilité, repère d’abord des cas qui ne se recouvrent pas et qui couvrent toute la situation. Ensuite, calcule chaque chemin avec la règle du produit, puis additionne les résultats obtenus pour l’événement cherché. Si tu confonds encore “probabilité conditionnelle” et “probabilité totale”, travaille sur des exemples simples : machine A ou B, trajet en bus ou à pied, test positif selon deux groupes. Tu verras vite quand additionner et quand multiplier.
Points clés
Objectif, prérequis et énoncé
Niveau : Première Cycle : cycle terminal Matière : mathématiques Domaine : probabilités
Tu n’as pas besoin d’un long cours pour démarrer. La formule des probabilités totales sert à trouver une même probabilité en réunissant plusieurs cas ; elle devient très claire dès que tu lis un arbre pondéré et que tu repères une partition. Version rapide : tu découpes tout en cas séparés, puis tu additionnes les probabilités obtenues. C’est la bonne méthode quand plusieurs chemins mènent au même événement. PDF à imprimer, calcul posé, correction lisible : tout commence ici.
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Prénom : ______ Date : ______
Je sais repérer une partition, lire un arbre pondéré et calculer une probabilité totale. Prérequis : connaître un événement ; comprendre la probabilité conditionnelle ; utiliser le produit sur un chemin. Dans la théorie des probabilités, des cas incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps, et des cas exhaustifs couvrent toute la situation ; on parle aussi de système complet d’événements. Si A_1, A_2, ldots, A_n forment une partition, alors $P(B)=sum_i=1^n P(A_i)P(Bmid A_i).$ Autrement dit, tu calcules la part de $B$ dans chaque cas, puis tu additionnes.
Ce qu'il faut savoir : vocabulaire, notations et arbre pondéré
Pour appliquer la formule des probabilités totales sans te tromper, distingue bien événement, intersection, union et probabilité conditionnelle. L’arbre pondéré sert à lire des chemins : on multiplie sur une branche, puis on additionne les branches favorables qui mènent au même résultat.
Un événement est un résultat ou un groupe de résultats. Une partition est une famille d’événements incompatibles deux à deux et exhaustifs : un seul peut arriver, mais l’un d’eux arrive forcément. La probabilité conditionnelle P(Bmid A) signifie « probabilité de $B$ si $A$ est réalisé ». L’intersection A cap B veut dire « $A$ et $B$ en même temps ». L’union A cup B veut dire « $A$ ou $B$, ou les deux ». Attention : la probabilité union n’est pas toujours une simple somme.
| Notation | Lecture | Sens | Erreur fréquente |
|---|---|---|---|
| $P(A)$ | probabilité de $A$ | $A$ arrive | la confondre avec P(Bmid A) |
| P(Bmid A) | probabilité de $B$ sachant $A$ | on se place dans le cas $A$ | oublier la condition |
| P(A cap B) | probabilité de $A$ et $B$ | même chemin dans l’arbre | additionner au lieu de multiplier |
| P(A cup B) | probabilité de $A$ ou $B$ | au moins un des deux | écrire $P(A)+P(B)$ sans retirer P(A cap B) |
Méthode pas à pas pour calculer une probabilité totale
70% d’une production vient d’une machine A. En Première maths, la méthode reste la même : repère les cas, vérifie la partition, multiplie chaque chemin, puis additionne. Sur un arbre de probabilité, ou dans un tableau, tu peux calculer une probabilité totale vite et proprement.
- Repère les cas possibles : A, B, ou davantage.
- Vérifie qu’ils forment une partition : un seul cas à la fois, et tous les cas sont couverts.
- Calcule chaque chemin par une multiplication, par exemple P(Acap D)=P(A)times P_A(D).
- Additionne les chemins qui mènent à l’événement cherché.
Exemple résolu 1. A fabrique 70% des pièces et B 30%. Le taux de défaut vaut 2% chez A et 5% chez B. $P(D)=0,7times0,02+0,3times0,05=0,029.$ Donc $P(D)=2{,}9\,\%$. Chaque branche donne sa part de pièces défectueuses, puis on additionne.
Exemple résolu 2. On choisit un dé normal avec 0,5, un dé truqué avec 0,3 ou un autre dé truqué avec 0,2. Les probabilités d’obtenir 6 sont frac16, frac13 et frac12. $$P(6)=0{,}5\times\frac{1}{6}+0{,}3\times\frac{1}{3}+0{,}2\times\frac{1}{2}=\frac{17}{60}.$$ Même idée, trois cas. En théorie des probabilités, ce découpage aide aussi à comprendre Monty Hall.
Exercices progressifs à imprimer
Rappel. Si B_1,dots, B_n forment une partition de Omega, la probabilité totale s’écrit $P(A)=sum_i=1^nP(B_i)P(Amid B_i).$ Sur un arbre pondéré, multiplie sur chaque branche menant à $A$, puis additionne. En Première, suis la progression : repère, complète, calcule, justifie.
Exercice 1 ⭐
Complète : ☐ B_1cap B_2=varnothing ☐ B_1cup B_2=Omega ☐ B_1=B_2
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Réponse : coche les deux premières cases. Une partition couvre tout, sans recouvrement.
Exercice 2 ⭐
Complète : P(A)=P(B)P(Amid B)+dotstimesdots
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P(A)=P(B)P(Amid B)+P(bar B)P(Amid bar B). Il manque l’autre branche.
Exercice 3 ⭐
Recopie puis complète : $P(B)=0,4$, P(bar B)=0,6, P(Amid B)=0,7, P(Amid bar B)=0,2. Alors P(Acap B)=dots et P(Acap bar B)=dots
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0,28 et 0,12. On multiplie le long de chaque branche.
Exercice 4 ⭐⭐
Calcule : P(A)=dots
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$P(A)=0,28+0,12=0,40$. On additionne les branches qui mènent à $A$.
Exercice 5 ⭐⭐
Calcule $P(A)$.
| B_1 | B_2 | B_3 |
|---|---|---|
| P(B_1)=0,2 P(Amid B_1)=0,1 | P(B_2)=0,5 P(Amid B_2)=0,6 | P(B_3)=0,3 P(Amid B_3)=0,8 |
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P(A)=0,2times0,1+0,5times0,6+0,3times0,8=0,56. Trois branches, donc trois produits.
Exercice 6 ⭐⭐
Justifie puis calcule : 60% vont en bus, 40% à vélo. En retard : 0,10 en bus, 0,04 à vélo. P(R)=dots
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P(R)=0,6times0,10+0,4times0,04=0,076. La partition est bus/vélo.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Choisis la bonne écriture de $P(A)$ : ☐ P(Acup B) ☐ $P(B)+P(A)$ ☐ P(B)P(Amid B)+P(bar B)P(Amid bar B)
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Troisième case. Les deux autres confondent union et probabilité totale.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Défi bonus : trouve $x$ si $P(B)=0,2$, P(Amid bar B)=0,4, P(Amid B)=x et $P(A)=0,5$.
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0,5=0,2x+0,8times0,4, donc $x=0,9$. Tu isoles l’inconnue.
Correction détaillée et à retenir
Corrige avec trois gestes simples : repère une partition complète, multiplie les probabilités le long d’un chemin, puis additionne seulement les chemins qui réalisent l’événement demandé. C’est la base. Si un arbre est mal lu ou si les cas ne couvrent pas tout, la correction détaillée devient fausse, même avec un calcul juste.
Exercice 1 — $P(B)=0,38$. Tu calcules 0,3times0,8+0,7times0,2.
Exercice 2 — $A$ et overlineA. Ces deux événements sont incompatibles et couvrent tous les cas.
Exercice 3 — $P(B)=0,29$. Tu additionnes P(A_1)P(Bmid A_1)+P(A_2)P(Bmid A_2)+P(A_3)P(Bmid A_3).
Exercice 4 — P(overlineB)=0,62. Tu utilises le complémentaire : $1-0,38$.
Exercice 5 — P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B). Une probabilité union n’est pas une probabilité totale.
Exercice 6 — Faux. Additionner des conditionnelles seules, comme P(Bmid A)+P(Bmid overlineA), fait partie des erreurs fréquentes.
Exercice 7 — $x=0,425$. Tu résous l’équation 0,5=0,2times0,8+0,8times x.
Exercice 8 — P(Amid B)=frac1219. C’est une ouverture vers le théorème de Bayes, donc vers la formule de Bayes.
$P(B)=sum_i=1^nP(A_i)P(Bmid A_i)$ si $(A_1,\dots, A_n)$ forme une partition. Cas simple : $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$. Vérifie toujours la partition, n’additionne jamais des conditionnelles brutes, et ne confonds pas P(Acup B) avec une probabilité totale.
Pour réussir, garde toujours le même réflexe : écrire la partition, calculer les produits sur chaque branche utile, puis additionner. Dès qu’un événement peut arriver par plusieurs chemins exclusifs, pense aux probabilités totales. Refais les exemples sans regarder la solution, puis enchaîne avec les exercices du plus simple au plus délicat. Si une erreur apparaît, vérifie d’abord le choix des cas et la lecture de la probabilité conditionnelle.
Dernière mise à jour : 15.06.2026
