Image et antécédents sur un graphique (3e) : cours et exercices corrigés
Supervision éditoriale : la rédaction de Maths collège
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L'image d'un nombre est le résultat que la fonction lui associe : on la lit sur l'axe vertical, celui des ordonnées. Un antécédent est un nombre de départ qui donne ce résultat : on le lit sur l'axe horizontal. Une image est unique, un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Sur la courbe, tu cherches l'antécédent de 2, tu trouves un point, tu écris ta réponse et tu perds quand même des points. Franchement, c'est l'erreur la plus courante : partir du mauvais axe, ou t'arrêter au premier résultat trouvé. On se calme, il suffit d'un trait guide horizontal bien tracé pour tout voir, et d'une rédaction propre en f(a) = b.
Image et antécédent, traduits en langage normal
Objectif : savoir lire une image et des antécédents sur une courbe sans hésiter sur l'axe. Trois prérequis suffisent. Tu repères un point dans un repère, tu distingues l'axe des abscisses (horizontal) de l'axe des ordonnées (vertical), et tu sais qu'une fonction f associe à un nombre x un nombre f(x).
Traduction en langage normal : l'image d'un nombre est le résultat que la fonction lui associe, et un antécédent est un nombre de départ qui donne ce résultat. Beaucoup d'élèves croient que ce sont deux mots pour la même chose, ou qu'on lit toujours sur l'axe horizontal. Faux dans les deux cas. L'égalité f(2) = 0 se lit « 0 est l'image de 2 » et aussi « 2 est un antécédent de 0 ». Même égalité, deux lectures.
| Critère | Image | Antécédent |
|---|---|---|
| Ce que c'est | Le résultat associé à un nombre | Un nombre de départ qui donne un résultat fixé |
| Départ ou arrivée | Nombre d'arrivée | Nombre de départ |
| Axe de lecture | Axe des ordonnées (vertical) | Axe des abscisses (horizontal) |
| Nombre de réponses | Une seule | Zéro, une ou plusieurs |
| Écriture avec f | b dans f(a) = b | a dans f(a) = b |
Côté programme, c'est le chapitre Lire les antécédents sur un graphique : le même geste que lire une image, mais en partant de l'axe vertical.
Lire une image puis un antécédent sur la courbe, étape par étape
Le piège classique : tu pars du mauvais axe. Un point s'écrit (abscisse ; ordonnée), donc le nombre de départ est toujours le premier, celui de l'axe horizontal. Pour une image, tu pars de là. Pour un antécédent, tu pars de l'axe vertical, et c'est là que tout le monde se plante le jour du contrôle.
- Écris sur ton brouillon ce que tu cherches : « image de 3 » ou « antécédents de -3 ».
- Place le nombre sur le bon axe : les abscisses pour une image, les ordonnées pour un antécédent.
- Trace au crayon un trait guide jusqu'à la courbe : vertical pour une image, horizontal pour un antécédent. Pour un antécédent, prolonge-le sur toute la largeur du graphique.
- Depuis chaque point d'intersection avec la courbe, trace un trait guide vers l'autre axe et lis la valeur.
- Rédige avec la notation f(a) = b, puis vérifie ton résultat en refaisant le trajet à l'envers.
Dernier détail : une valeur lue sur un graphique reste une lecture. Donne-la avec la précision du quadrillage : si un carreau vaut 0,5, tu peux écrire 2,5, pas 2,53. Et quand le trait horizontal passe à côté de la courbe, ne force rien : écris qu'il n'y a aucun antécédent.
Deux exemples résolus et le piège des antécédents multiples
Prends la courbe de f tracée de -3 à 3, en forme de U, avec un carreau par unité. Elle passe par (-3 ; 5), (-2 ; 0), (-1 ; -3), (0 ; -4), (1 ; -3), (2 ; 0) et (3 ; 5).
Exemple 1 (facile) : quelle est l'image de 3 ? Sur le brouillon, tu écris « image de 3 ». Tu places 3 sur l'axe des abscisses, tu montes en vertical jusqu'à la courbe, puis tu files en horizontal vers l'axe des ordonnées. Tu tombes sur 5. Rédaction : f(3) = 5. Pour vérifier, repars de 5 sur l'axe vertical : le trait horizontal rejoint bien le point d'abscisse 3.
Exemple 2 (le cas qui piège) : quels sont les antécédents de -3 ? Tu places -3 sur l'axe des ordonnées et tu traces un trait horizontal sur toute la largeur. Il coupe la courbe en deux points. L'erreur que tout le monde fait, c'est de s'arrêter au premier point trouvé. Depuis chacun, tu descends vers les abscisses : -1 et 1. Rédaction : f(-1) = -3 et f(1) = -3, donc les antécédents de -3 sont -1 et 1.
Les cas voisins se règlent avec le même trait. À -4, il ne touche le U qu'en un point : 0 est le seul antécédent, car f(0) = -4. À -5, il passe sous la courbe : aucun antécédent. Même logique avec une température au fil d'une journée : 10 °C peut être atteint le matin en montant, puis le soir en descendant. Verdict : un trait horizontal, tous les points touchés, tous les antécédents notés.
Huit exercices pour passer du facile au costaud
Trace tes traits guides au crayon sur ton brouillon. Sauf pour l'exercice 6, dessine la courbe de f : place les points (-3 ; 5), (-2 ; 0), (-1 ; -3), (0 ; -4), (1 ; -3), (2 ; 0) et (3 ; 5) avec un carreau par unité, puis relie-les en U. Rédige chaque réponse avec la notation f(a) = b.
Exercice 1 (niveau 1)
Complète avec la courbe de f : f(0) = ____ ; f(-2) = ____ ; l'image de 1 est ____.
Exercice 2 (niveau 1)
Donne tous les antécédents de 5 par f et rédige ta réponse avec des égalités f(a) = b.
Exercice 3 (niveau 1)
Vrai ou faux ? a) 2 est un antécédent de 0. b) -4 est l'image de 0. c) 5 est un antécédent de 3.
Exercice 4 (niveau 2)
Pour chacun des nombres 0, -4 et -6, écris combien d'antécédents il a par f.
Exercice 5 (niveau 2)
a) Transforme en notation f : « 1 a pour image -3 ». b) Traduis f(-2) = 0 en une phrase avec le mot « antécédent ». c) Complète à partir de f(3) = 5 : « 5 est l'image de ____ et ____ est un antécédent de ____ ».
Exercice 6 (niveau 2)
La température T (en °C) relevée de 6 h à 21 h passe par (6 ; 4), (9 ; 8), (12 ; 14), (15 ; 16), (18 ; 12) et (21 ; 8). Elle monte jusqu'à 15 h, puis redescend, sans jamais dépasser 16 °C. a) Quelle est la température à 12 h ? b) À quelles heures fait-il 8 °C ? c) Y a-t-il une heure où il fait 20 °C ? Justifie. Rédige a) et b) avec T(...) =...
Exercice 7 (niveau 3)
Lucas lit sur la courbe de f : « l'antécédent de -3 est 1 ». Explique son erreur et donne la bonne réponse.
Exercice 8 (niveau 3)
Donne un nombre k qui n'a aucun antécédent par f, un nombre qui en a exactement un et un nombre qui en a deux. Justifie avec la droite horizontale d'ordonnée k.
Correction
Exercice 1. f(0) = -4 ; f(-2) = 0 ; l'image de 1 est -3. Tu pars de l'abscisse et tu lis sur l'axe vertical.
Exercice 2. f(-3) = 5 et f(3) = 5, donc les antécédents de 5 sont -3 et 3. La droite horizontale d'ordonnée 5 touche la courbe aux deux extrémités.
Exercice 3. a) Vrai, car f(2) = 0. b) Vrai, car f(0) = -4. c) Faux : f(3) = 5, donc 5 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 5.
Exercice 4. Le nombre 0 a deux antécédents (-2 et 2). Le nombre -4 en a un seul (0), le bas du U. Le nombre -6 n'en a aucun, car la courbe ne descend jamais sous -4.
Exercice 5. a) f(1) = -3. b) « 0 est l'image de -2 » ou « -2 est un antécédent de 0 ». c) 5 est l'image de 3 et 3 est un antécédent de 5. Une égalité, toujours deux lectures.
Exercice 6. a) T(12) = 14, soit 14 °C. b) T(9) = 8 et T(21) = 8 : il fait 8 °C à 9 h et à 21 h. c) Non : la température ne dépasse jamais 16 °C, donc 20 n'a aucun antécédent.
Exercice 7. Lucas s'est arrêté au premier point. Il a raison pour f(1) = -3, mais f(-1) = -3 aussi. Les antécédents de -3 sont -1 et 1.
Exercice 8. Aucun antécédent : k = -5, car la droite d'ordonnée -5 passe sous la courbe. Un seul : k = -4, car f(0) = -4 et la droite ne touche le U qu'en un point. Deux : k = -3, avec f(-1) = -3 et f(1) = -3.
Retiens le geste : pour une image, tu pars de l'axe horizontal et tu lis sur l'axe vertical ; pour des antécédents, tu pars de l'axe vertical, tu traces un trait horizontal et tu notes tous les points qu'il touche. Rédige chaque réponse sous la forme f(a) = b. Télécharge le PDF, fais les exercices seul, puis compare avec la correction.
