L’addition des puissances en 4e-3e se calcule pas à pas
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L’addition des puissances consiste à calculer chaque puissance séparément, puis à additionner les résultats obtenus. On n’additionne pas les exposants dans une somme : 2³+2⁴=8+16=24, alors que les exposants s’additionnent seulement dans un produit de puissances de même base.
Tu écris 2³+2⁴=2⁷ ? C’est l’erreur la plus fréquente quand les puissances arrivent dans les calculs. Pour additionner des puissances, commence par repérer le signe de l’opération : $+$ n’a pas la même règle que ×. Une somme demande de calculer les valeurs, puis de les additionner. Un produit de puissances de même base permet, lui, d’additionner les exposants. Avec quelques exemples courts et des exercices progressifs, tu vas apprendre à distinguer ces cas sans te tromper.
Addition des puissances : la règle à retenir
On n’additionne pas les exposants dans une addition. Jamais. Pour calculer une somme de puissances, tu calcules chaque puissance séparément, puis tu additionnes les résultats : 2³+2⁴=8+16=24. Ici, 3 et 4 restent des exposants, mais ils ne se combinent pas. Le piège classique consiste à écrire 2³+2⁴=2⁷, alors que cette règle appartient à la multiplication : 2³× 2⁴=2⁷, car les deux puissances ont la même base.
Le vocabulaire aide beaucoup. Dans 2³, 2 est la base, 3 est l’exposant, et 2³ est une puissance. Une addition donne une somme ; une multiplication donne un produit. Même quand les deux termes se ressemblent, comme 2³+2³, tu obtiens $8+8=16$, donc 2× 2³=2⁴, mais pas 2⁶. En 4e-3e, cette distinction revient souvent dans les révisions du brevet de mathématiques, notamment dans les repères publiés par L’Etudiant pour 2026 : additionner des puissances et additionner des exposants sont deux gestes différents.
Quand additionner les puissances, et quand additionner les exposants ?
Le signe entre les puissances décide de la règle. Quand additionner les puissances ? Dans une somme, tu calcules chaque puissance puis tu additionnes les valeurs : 3²+3⁴ se traite terme par terme, et non comme 3⁶. Piège classique. Selon le rappel de Lumni sur les priorités opératoires, les puissances se calculent avant les additions et les soustractions ; en 4e-3e, cela évite de confondre une somme avec un produit. À l’inverse, on additionne les exposants seulement pour multiplier des puissances de même base : 3²×3⁴=3²⁺⁴=3⁶. Si la base change, cette règle ne s’applique plus.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | a^(m)+aⁿ ne devient pas a^(m+n) | 2³+2³=8+8=16 |
| Soustraction | a^(m)-aⁿ se calcule valeur par valeur | 5²-5¹=25-5=20 |
| Multiplication | a^(m)× aⁿ=a^(m+n) | 4²×4³=4⁵ |
| Division de puissance | a^(m)÷ aⁿ=a^(m-n), avec a≠0 | 7⁵÷7²=7³ |
| Puissance de puissance | (a^(m))ⁿ=a^(m× n) | (10²)³=10⁶ |
Méthode en 4 étapes pour faire un calcul avec des puissances
Pour calculer une addition des puissances, repère l’opération principale, calcule chaque puissance séparément, respecte les priorités de calcul, puis additionne ou soustrais les résultats. Piège classique au collège : additionner les exposants alors qu’il faut souvent faire le calcul de puissance avant.
- Repère les puissances dans l’expression numérique, par exemple 5²+2³.
- Calcule chaque puissance seule : 5²=25 et 2³=8.
- Effectue ensuite l’opération principale : additionne 25 et 8, puis écris la somme obtenue.
- Si une multiplication de puissances de même base apparaît, applique la règle des exposants seulement à ce moment-là.
Avec 10³+10², tu calcules chaque puissance de 10 séparément avant d’additionner : les exposants ne s’additionnent pas. Même logique pour une addition de puissance de 2 : 2⁴+2⁴=16+16=32. Plus rapide : 2⁴+2⁴=2× 2⁴=32. Cette factorisation est optionnelle en 4e-3e, mais elle aide à comprendre les expressions littérales. Beaucoup veulent écrire 2⁸. Non. 2⁴× 2⁴ vaudrait 2⁸, pas 2⁴+2⁴. Pour savoir comment faire des calculs avec des puissances, garde ce réflexe : calculer deux puissances séparément avant d’additionner.
Cas pièges : 2³+2³ n’est pas 2⁶
En 4e, face à 2³+2³, beaucoup écrivent trop vite 2⁶. Piège normal. Le calcul demandé est une addition : 2³+2³=8+8=16. En revanche, 2³×2³=2⁶, car la règle des exposants additionnés concerne la multiplication de puissances de même base. Pour additionner des puissances, remplace-les par leur valeur quand tu hésites : 10²+10³ se calcule puissance par puissance, pas comme 10⁵. Avec une expression littérale, x²+x²=2x² : c’est une addition de puissance de $x$, pas une puissance de puissance.
| Diagnostic | Réponse attendue | Erreur fréquente |
|---|---|---|
| 2³+2³ | 16 | exposant additionné : 2⁶ |
| 10²+10³ | calcul terme par terme | base confondue ou calcul mental trop rapide |
| x²+x² | 2x² | écriture fausse : x⁴ |
Ta grille de correction tient en quatre questions : le signe est-il $+$, $-$ ou × ? La priorité a-t-elle été respectée ? La base est-elle identique ? Le calcul numérique est-il vérifié ? Cette méthode aide aussi à soustraire des puissances : 5²-5²=25-25=0. Les erreurs puissances diminuent dès que tu développes mentalement le calcul, surtout pour « 2 puissance 3 plus 2 puissance 3 ».
Addition des puissances de 10 : exemples utiles au collège
Les exposants ne s’additionnent jamais dans une somme. Pour une addition des puissances de 10, calcule chaque terme ou transforme-le en nombre décimal avant d’additionner : 10³+10² se traite comme une somme de deux valeurs distinctes, et non comme 10⁵. Règle pratique : 10ⁿ donne 1 suivi de $n$ zéros quand $n$ est positif ; une puissance négative comme 10⁻³ donne un nombre décimal, ici 0,001, exemple aussi présenté dans des supports de cours sur les puissances. C’est plus visuel. En 4e-3e, cette méthode évite la confusion avec la multiplication, où 10³×10²=10⁵.
La notation scientifique rend certains calculs plus rapides quand les puissances sont identiques : 3×10⁴+2×10⁴=5×10⁴, car on additionne seulement les coefficients 3 et 2. Attention au piège. Dans 10⁴+10², les puissances de 10 ne sont pas les mêmes ; tu dois convertir chaque puissance puis additionner les valeurs obtenues, ou convertir sous un même format si le calcul le demande. Pour un exercice addition de puissance de 10, vérifie donc toujours si les exposants sont identiques avant de regrouper. Les ressources pédagogiques de l’ENT Collège Loiret sur les opérations avec les puissances de 10 reprennent justement ce type de distinction utile au collège.
Le résumé utile
Avant de calculer, regarde toujours le signe entre les puissances. Si tu vois $+$, calcule chaque puissance puis additionne les résultats. Si tu vois × avec la même base, tu peux additionner les exposants. Refais les exercices en cachant la correction, puis vérifie chaque étape : base, exposant, opération, résultat.
Voir le corrigé
- 2³+2⁴=24. On calcule d’abord 2³=8 et 2⁴=16, puis on additionne les deux valeurs ; on n’écrit donc pas 2⁷.
- 2³+2³=16. Les deux termes sont identiques, donc on additionne 8+8 ; 2⁶ correspondrait au produit 2³×2³, pas à la somme.
- 5²-5¹=20. La puissance est prioritaire : on calcule 5²=25 et 5¹=5, puis on effectue la soustraction.
- 4²×4³=4⁵. Ici, c’est une multiplication de puissances de même base : c’est seulement dans ce cas que les exposants s’additionnent.
- 2⁴+2⁴=32. On peut calculer 16+16 ou factoriser sous la forme 2×2⁴ ; dans les deux cas, ce n’est pas 2⁸.
- x²+x²=2x². On additionne deux termes semblables : le coefficient devient 2, mais l’exposant de x ne change pas.
- 3×10⁴+2×10⁴=5×10⁴. Les puissances de 10 sont identiques, donc on additionne les coefficients 3 et 2, tout en conservant 10⁴.
Dernière révision : 01/07/2026
