Le nombre d'or dans la nature : le vérifier avec la calculatrice
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Le nombre d'or, noté φ, vaut environ 1,618 : c'est le rapport entre une grande longueur et une petite quand la somme des deux est à la grande ce que la grande est à la petite. Dans la nature, on le retrouve surtout dans les spirales du tournesol et de la pomme de pin.
Un tournesol compte souvent 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre. Ces deux nombres se suivent dans la suite de Fibonacci, et leur quotient tombe tout près de 1,618. Franchement, tu peux le vérifier toi-même avec ta calculatrice. On se calme sur les légendes : ici, tu calcules, tu comptes, tu compares, et tu sépares ce qui se mesure de ce qui est exagéré.
Le nombre d'or, c'est quoi en vrai ?
Prénom : ____________________ Date : ____________________
Objectif de la fiche : vérifier le nombre d'or à la calculatrice, compter des spirales sur une photo et savoir ce qui se mesure vraiment dans la nature. Prérequis : diviser deux nombres, arrondir au millième, et savoir que la racine carrée de 5 vaut environ 2,236.
Le nombre d'or n'est pas une formule magique cachée derrière tout ce qui est joli. C'est un rapport entre deux longueurs. Traduction : tu coupes un segment en une grande part et une petite part, de sorte que grande ÷ petite donne le même résultat que (grande + petite) ÷ grande. Ce résultat, noté φ (phi), vaut environ 1,618. Écrit proprement, c'est le nombre positif qui devient son propre carré quand on lui ajoute 1 : φ = (1 + √5) ÷ 2 et φ² = φ + 1. Contrôle : 1,618² ≈ 2,618 et 1,618 + 1 = 2,618. Le piège classique : écrire φ = 1,618 avec un signe égal, alors que 1,618 est une valeur arrondie. Euclide, dans ses Éléments, est le premier à avoir décrit cette division d'un segment, et la Renaissance l'a baptisée divine proportion.
Fibonacci et 1,618 : vérifie-le toi-même avec ta calculatrice
Prends ton brouillon et écris 1 ; 1. Chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents : 1 + 1 = 2 ; 1 + 2 = 3 ; 2 + 3 = 5 ; 3 + 5 = 8, et ainsi de suite. C'est la suite de Fibonacci, du surnom de Léonard de Pise. La méthode : tu prends deux termes consécutifs, tu divises le grand par le petit, tu arrondis au millième, puis tu compares à 1,618.
| Rang | Terme | Terme précédent | Quotient (arrondi au millième) |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 1,5 |
| 5 | 5 | 3 | 1,667 |
| 6 | 8 | 5 | 1,6 |
| 7 | 13 | 8 | 1,625 |
| 8 | 21 | 13 | 1,615 |
| 9 | 34 | 21 | 1,619 |
Regarde la dernière colonne : les valeurs oscillent, tantôt au-dessus de 1,618 (1,667 puis 1,625), tantôt en dessous (1,6 puis 1,615), et l'écart se resserre. C'est là que tout le monde se plante : croire que le quotient tombe exactement sur 1,618. Il s'en approche, il ne l'atteint jamais.
Exemple résolu : calculer 55 ÷ 34. D'abord, 55 = 21 + 34, donc ce sont bien deux termes consécutifs. Ensuite, 55 ÷ 34 = 1,6176…, soit 1,618 au millième. Ce quotient est une excellente approximation du nombre d'or, mais ce n'est pas le nombre d'or lui-même.
Tournesol, pomme de pin, nautile : ce qui est vrai et ce qui est exagéré
L'erreur que tout le monde fait : répéter que le nombre d'or est partout dans la nature. Ce qui se vérifie, c'est un comptage. Les spirales des graines de tournesol, des écailles de pomme de pin et de certains chardons (55 et 34 spires, par exemple) donnent des nombres de Fibonacci, même si ces nombres varient d'une plante à l'autre. Les proportions du corps ou la coquille du nautile, c'est autre chose : selon l'endroit où tu poses la règle, tu trouves ce que tu veux.
Pourquoi ces nombres ? La phyllotaxie désigne la façon dont une plante place ses feuilles ou ses graines. Chaque nouvel élément pousse décalé du précédent selon l'angle d'or, ce qui l'empêche de gêner ses voisins, et des spirales apparaissent. Ça sert à décrire comment une plante occupe la place disponible, pas à prédire sa forme.
- Choisis le centre de la photo ou du dessin et marque-le d'un point.
- Compte les spirales qui tournent dans un sens, en coloriant chacune.
- Compte celles qui tournent dans l'autre sens.
- Vérifie que les deux nombres se suivent dans la suite de Fibonacci.
Exemple résolu : une photo montre 21 spirales dans un sens et 34 dans l'autre. Ces deux nombres se suivent dans 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34, donc le comptage est cohérent, et 34 ÷ 21 ≈ 1,619, tout près de 1,618.
Exercices progressifs pour t'entraîner avant le contrôle
Fais les exercices dans l'ordre, avec ta calculatrice et ton brouillon. Les étoiles indiquent la difficulté. Arrondis au millième dès que l'énoncé le demande, et vérifie ton résultat avant de regarder la correction.
Exercice 1 (niveau 1)
Complète la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; ____ ; ____ ; 21 ; ____.
Exercice 2 (niveau 1)
Calcule 8 ÷ 5 puis 13 ÷ 8. Donne chaque résultat arrondi au millième.
Exercice 3 (niveau 1)
Vrai ou faux ? a) À partir du troisième terme, chaque terme est la somme des deux précédents. b) 1,618 est une valeur approchée du nombre d'or. c) Le quotient 8 ÷ 5 est plus grand que 1,618.
Exercice 4 (niveau 2)
Écris les trois termes qui suivent 34. Puis calcule 89 ÷ 55 et 144 ÷ 89, arrondis au millième.
Exercice 5 (niveau 2)
Trois photos donnent ces comptages de spirales : (8 ; 13), (13 ; 20) et (21 ; 34). Entoure les comptages formés de deux termes consécutifs de Fibonacci. Pour l'autre, propose le comptage probablement attendu.
Exercice 6 (niveau 2)
Un rectangle d'or a une largeur de 10 cm. Sa longueur vaut environ 1,618 fois sa largeur. Calcule cette longueur, puis arrondis-la au millimètre.
Exercice 7 (niveau 3)
Avec √5 ≈ 2,236, calcule φ = (1 + √5) ÷ 2, puis φ² et φ + 1, arrondis au millième. Que constates-tu ?
Exercice 8 (niveau 3)
Un camarade affirme que le quotient de deux termes consécutifs de Fibonacci est égal au nombre d'or. Utilise 8 ÷ 5 ; 13 ÷ 8 et 21 ÷ 13 pour le corriger en deux phrases. Explique ensuite pourquoi un comptage de spirales est plus fiable qu'une mesure sur un corps humain.
Correction
Exercice 1 : 8 ; 13 et 34. Chaque terme est la somme des deux précédents : 3 + 5 = 8 ; 5 + 8 = 13 ; 13 + 21 = 34.
Exercice 2 : 8 ÷ 5 = 1,6 (soit 1,600) et 13 ÷ 8 = 1,625. Le second est plus proche de 1,618.
Exercice 3 : a) vrai, à partir du troisième terme (les deux premiers valent 1 et 1). b) vrai, 1,618 est une valeur arrondie de φ (φ a une infinité de décimales). c) faux, car 8 ÷ 5 = 1,6 est plus petit que 1,618.
Exercice 4 : 55 ; 89 et 144. Ensuite 89 ÷ 55 ≈ 1,618 et 144 ÷ 89 ≈ 1,618. À l'arrondi près, on retombe sur 1,618, mais ces quotients restent des approximations.
Exercice 5 : (8 ; 13) et (21 ; 34) conviennent. Dans (13 ; 20), 20 n'est pas un terme de la suite : on attendait sans doute (13 ; 21), avec une spirale oubliée au comptage.
Exercice 6 : 10 × 1,618 = 16,18 cm, soit 16,2 cm au millimètre près.
Exercice 7 : φ = (1 + 2,236) ÷ 2 = 1,618. Ensuite φ² ≈ 2,618 et φ + 1 = 2,618. Les deux résultats sont égaux, ce qui vérifie la propriété φ² = φ + 1.
Exercice 8 : 8 ÷ 5 = 1,6 ; 13 ÷ 8 = 1,625 et 21 ÷ 13 ≈ 1,615. Ces quotients encadrent 1,618 sans jamais le valoir exactement. Un comptage donne un nombre entier que chacun peut refaire, alors qu'une mesure du corps dépend de l'endroit où l'on pose la règle.
Tu sais maintenant que le nombre d'or est un rapport de longueurs, que les quotients de Fibonacci s'en approchent et que certaines plantes en offrent une trace mesurable. Remplis ton prénom et ta date, fais les 8 exercices sans regarder la correction, puis compare.
Vos questions
Pourquoi appelle-t-on le nombre d'or la divine proportion ?
Le nom vient des savants et des artistes de la Renaissance, qui voyaient dans ce rapport une harmonie presque sacrée. C'est une appellation poétique, pas une propriété mathématique de plus : le nombre reste un rapport de longueurs d'environ 1,618.
Quel est le symbole du nombre d'or ?
On le note avec la lettre grecque φ, qui se lit « phi ». Tu croiseras parfois la majuscule Φ selon les manuels. Comme 1,618 est une valeur arrondie, on écrit φ ≈ 1,618.
Où trouver le nombre d'or dans la nature ?
Dans les spirales de graines du tournesol, les écailles de la pomme de pin et certains chardons, qui comptent par exemple 55 et 34 spires. Pour le corps humain ou le nautile, les mesures sont trop discutables pour conclure.
Qui a découvert le nombre d'or ?
Aucun découvreur unique ni aucune date ne s'imposent. Euclide est le premier à avoir décrit la division d'un segment selon cette proportion. La suite de Fibonacci porte, elle, le surnom de Léonard de Pise.
Comment construire avec le nombre d'or ?
Pour un rectangle d'or, multiplie la largeur par 1,618 : 10 cm de largeur donnent environ 16,2 cm de longueur. Pour partager un segment de 10 cm, la grande part mesure 10 ÷ 1,618 ≈ 6,18 cm et la petite environ 3,82 cm.
