Les homothéties en 3e : cours et exercices corrigés

Une homothétie agrandit ou réduit une figure sans changer sa forme : à partir d'un centre O et d'un rapport k, chaque point M devient M' aligné avec O, avec OM' = |k| × OM.

Trois pièges : rapport à l'envers, signe oublié, aire multipliée par k au lieu de k au carré. On se calme.

Une homothétie, c'est un agrandissement ou une réduction à partir d'un centre

Le centre est le point d'où on tire la figure ; k dit de combien. L'homothétie agrandit si |k| dépasse 1, réduit si |k| est entre 0 et 1. Si k est négatif, M' passe de l'autre côté de O, et k = -1 donne la symétrie centrale. Franchement, négatif ne réduit pas.

Trouver le centre et le rapport, puis construire l'image d'une figure

Prends O(0 ; 0), A(1 ; 1), B(3 ; 1), C(1 ; 3) et k = 2 :

1. Trace la demi-droite [OA) (de l'autre côté si k est négatif).
2. Place A' tel qu'OA' = |k| × OA : A'(2 ; 2).
3. Idem : B'(6 ; 2), C'(2 ; 6).
4. Relie A', B', C'.

Pour l'inverse, prolonge (AA') et (BB') : elles se coupent en O. Le rapport vaut OA' ÷ OA, négatif si O est entre A et A'. Piège : diviser départ par image.

Longueurs, aires, angles : ce que l'homothétie change et ce qu'elle garde

Les longueurs sont multipliées par |k| ; les angles, les alignements et le parallélisme sont conservés. L'aire se multiplie par k au carré, pas par k : avec k = 3, elle est multipliée par 9.

Exercices

1. Avec k = 3 et AB = 2 cm, calcule A'B'.
2. Place O(0 ; 0), A(1 ; 1), B(3 ; 1), C(1 ; 3), puis construis A'B'C', image d'ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
3. Même triangle, même centre, rapport -2. Donne A', B', C'.
4. O, A et A' alignés, A et A' du même côté de O, avec OA = 2 cm et OA' = 6 cm. Rapport ?
5. Un triangle d'aire 2 cm² est agrandi avec k = 3. Aire de l'image ?
6. A(1 ; 1) et B(3 ; 1) ont pour images A'(3 ; 3) et B'(9 ; 3). Trouve le centre et le rapport.

Correction

1. A'B' = 3 × 2 = 6 cm.
2. A'(2 ; 2), B'(6 ; 2), C'(2 ; 6) : coordonnées multipliées par 2.
3. A'(-2 ; -2), B'(-6 ; -2), C'(-2 ; -6) : de l'autre côté de O.
4. k = OA' ÷ OA = 6 ÷ 2 = 3, positif (même côté de O).
5. 3² × 2 = 18 cm².
6. (AA') et (BB') se coupent en O(0 ; 0). A'(3 ; 3) = 3 × A(1 ; 1), donc k = 3. Contrôle avec B : 3 × 3 = 9.

Fais les exercices sans regarder la correction, puis vérifie. Une erreur qui revient ? Refais l'exercice demain.

Les questions fréquentes

Comment trouver le centre et le rapport d'une homothétie ?

Prolonge deux droites reliant un point à son image : elles se coupent en O. Divise OM' par OM, avec un signe moins si O est entre M et M'.

Qu'est-ce qu'une homothétie et quel est son principe ?

Transformation définie par un centre O et un rapport k : OM' = |k| × OM, avec M' aligné sur O et M. La forme reste identique.

Comment faire une homothétie ?

Depuis O, trace la demi-droite de chaque sommet, reporte la longueur multipliée par |k|, relie les images et vérifie une longueur.