Comparer fractions et relatifs : techniques rapides

1. Introduction et problématique

Comparer deux nombres, c’est décider lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux. En classe de 3e, cette compétence doit être rapide et fiable, car elle intervient dans de nombreux chapitres : calcul littéral, équations, fonctions, probabilités, géométrie avec des longueurs, pourcentages, statistiques ou encore résolution de problèmes. On doit notamment savoir comparer des nombres relatifs, des fractions positives ou négatives, et choisir la méthode la plus efficace selon la forme des nombres.

Situation-problème : dans un jeu de stratégie, trois joueurs perdent une partie de leurs points. Inès perd les trois quarts de ses points, donc son score varie de -3/4. Sami perd les deux tiers de ses points, donc son score varie de -2/3. Lina perd 0,7 de ses points, donc son score varie de -0,7. Qui a subi la plus grande perte ? Pour répondre, il ne suffit pas de regarder les nombres comme s’ils étaient positifs. Il faut comparer des fractions et des nombres relatifs en tenant compte du signe. Par exemple, -3/4 et -2/3 sont deux nombres négatifs : celui qui a la plus grande valeur absolue est en réalité le plus petit.

Le mot repère est Comparer, que l’on peut découper en syllabes : Com-pa-rer. La routine utile est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les signes, les dénominateurs et les numérateurs. J’applique la technique adaptée : même dénominateur, même numérateur, produit en croix, valeur décimale ou valeur absolue. Je vérifie le sens de l’inégalité, surtout lorsque les nombres sont négatifs.

2. Définition

Définition : Comparer deux nombres, c’est établir une relation d’ordre entre eux à l’aide des symboles <, > ou =. Écrire a < b signifie que a est plus petit que b. Écrire a > b signifie que a est plus grand que b. Écrire a = b signifie que a et b représentent le même nombre.

Une fraction est un quotient de deux nombres. Si b ≠ 0, la fraction a/b représente le nombre qui, multiplié par b, donne a. En 3e, on compare souvent des fractions de la forme a/b et c/d, avec b et d non nuls. Pour éviter les erreurs, on choisit généralement des dénominateurs positifs. Si un dénominateur est négatif, on peut déplacer le signe moins : par exemple 3/(-5) = -3/5 et (-3)/(-5) = 3/5.

Un nombre relatif est un nombre positif, négatif ou nul. Sa valeur absolue est sa distance à 0 sur la droite graduée. Par exemple, la valeur absolue de -7 est 7, et celle de 4 est 4. On la note parfois | -7 | = 7. La valeur absolue est toujours positive ou nulle. Elle aide à comparer les nombres négatifs : entre deux nombres négatifs, celui qui est le plus loin de 0 est le plus petit.

Les écritures repères sont : a/b ? c/d pour une comparaison de fractions, ad ? bc pour le produit en croix, et -a < -b si a > b pour la comparaison de deux opposés.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si b et d sont deux nombres strictement positifs, alors comparer a/b et c/d revient à comparer les produits a × d et c × b. Ainsi, a/b < c/d si et seulement si a × d < c × b.

Cette propriété s’appelle souvent la comparaison par produit en croix. Elle est très utile lorsque les fractions n’ont ni le même dénominateur ni le même numérateur. Elle évite de calculer des valeurs décimales parfois longues ou approximatives. Par exemple, pour comparer 7/11 et 5/8, on compare 7 × 8 = 56 et 5 × 11 = 55. Comme 56 > 55, on obtient 7/11 > 5/8.

Voici les propriétés principales à connaître :

• Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 8/13 > 5/13.
• Si deux fractions positives ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur : 4/7 > 4/9.
• Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif : 2/5 > -10.
• 0 est plus grand que tout nombre négatif et plus petit que tout nombre positif : -3 < 0 < 4.
• Entre deux nombres négatifs, l’ordre est inversé par rapport aux valeurs absolues : si 7 > 3, alors -7 < -3.

Ces règles doivent être utilisées avec précision. En particulier, la règle du même numérateur fonctionne directement pour des fractions positives. Pour des fractions négatives, il faut revenir aux valeurs absolues ou utiliser une méthode générale comme le produit en croix avec des dénominateurs positifs.

4. Démonstration

Justifions la méthode du produit en croix dans le cas où les dénominateurs b et d sont strictement positifs. On veut comparer a/b et c/d. Comme b > 0 et d > 0, le produit b × d est lui aussi strictement positif. Multiplier les deux nombres par un même nombre positif conserve le sens de l’inégalité.

Supposons que a/b < c/d. On multiplie les deux membres par b × d. On obtient :

(a/b) × b × d < (c/d) × b × d.

À gauche, le facteur b se simplifie : (a/b) × b × d = a × d. À droite, le facteur d se simplifie : (c/d) × b × d = c × b. On obtient donc a × d < c × b. Ainsi, si a/b < c/d, alors a × d < c × b.

Réciproquement, si a × d < c × b, on peut diviser les deux membres par b × d, qui est positif. Le sens de l’inégalité ne change pas. On obtient a/b < c/d. Les deux comparaisons sont donc équivalentes.

Cette démonstration explique aussi pourquoi il faut faire attention au signe du nombre par lequel on multiplie ou divise. Multiplier une inégalité par un nombre positif conserve son sens. Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens. C’est la raison pour laquelle, en comparaison de fractions, on préfère placer les signes négatifs au numérateur et garder les dénominateurs positifs.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les signes. Si l’un des nombres est positif et l’autre négatif, la comparaison est immédiate : le positif est plus grand. Si les deux sont négatifs, je pense aux valeurs absolues.
2. Je vérifie les dénominateurs. Si les fractions ont le même dénominateur positif, je compare seulement les numérateurs.
3. Je vérifie les numérateurs. Si les fractions sont positives et ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
4. J’utilise le produit en croix si nécessaire. Pour comparer a/b et c/d avec b et d positifs, je compare a × d et c × b.
5. Je peux utiliser l’écriture décimale si elle est simple. Par exemple, 3/4 = 0,75 et 7/10 = 0,7, donc 3/4 > 7/10. Mais si la division est longue ou périodique, le produit en croix est plus sûr.
6. Je conclus avec le bon symbole. J’écris <, > ou =, puis je rédige une justification courte : « car les dénominateurs sont égaux » ou « car les produits en croix donnent… ».
7. Je vérifie le sens de l’inégalité. Cette étape est indispensable avec les nombres négatifs : si 3/4 > 2/3, alors -3/4 < -2/3.

La routine complète est donc : 🔎 Je repère les signes et la forme des nombres ; ⚙️ J’applique la technique adaptée ; ✅ Je vérifie que l’inégalité obtenue est cohérente avec la droite graduée ou les valeurs absolues.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Comparer 11/17 et 8/17.

Les deux fractions ont le même dénominateur, 17. Ce dénominateur est positif. On compare donc uniquement les numérateurs : 11 et 8. Comme 11 > 8, on obtient :

11/17 > 8/17.

La justification attendue est courte mais précise : les dénominateurs sont égaux et positifs, donc la fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande.

Comparer maintenant 5/6 et 5/9.

Les deux fractions sont positives et ont le même numérateur, 5. Le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée. Des sixièmes sont plus grands que des neuvièmes, car on découpe l’unité en moins de parts. Donc :

5/6 > 5/9.

Cette méthode est rapide, mais elle doit être utilisée dans le bon contexte. Elle fonctionne directement pour des fractions positives de même numérateur. Si les fractions étaient négatives, il faudrait raisonner plus prudemment. Par exemple, -5/6 et -5/9 sont les opposés de 5/6 et 5/9. Comme 5/6 > 5/9, alors -5/6 < -5/9.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Comparer -3/4 et -2/3.

Les deux nombres sont négatifs. On compare d’abord leurs valeurs absolues : 3/4 et 2/3. Les dénominateurs sont différents et les numérateurs aussi. On utilise donc le produit en croix :

3 × 3 = 9 et 4 × 2 = 8.

Comme 9 > 8, on a 3/4 > 2/3. Cela signifie que 3/4 est plus éloigné de 0 que 2/3. Donc son opposé, -3/4, est plus petit que -2/3 :

-3/4 < -2/3.

C’est un cas typique où beaucoup d’erreurs apparaissent. Il ne faut pas conclure trop vite que -3/4 est plus grand parce que 3/4 est plus grand. Quand on passe aux opposés, l’ordre s’inverse. On peut le vérifier sur une droite graduée : -0,75 est à gauche de -0,666…, donc -0,75 est plus petit.

Autre exemple : comparer -7 et -3. Les valeurs absolues sont 7 et 3. Comme 7 > 3, le nombre -7 est plus loin de 0 vers la gauche. Donc -7 < -3.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans une course d’orientation, trois équipes reçoivent des pénalités sur leur score final. L’équipe A reçoit une pénalité de -5/8 point, l’équipe B reçoit une pénalité de -0,6 point et l’équipe C reçoit une pénalité de -13/20 point. On veut classer ces pénalités de la moins sévère à la plus sévère.

Les trois nombres sont négatifs. La pénalité la moins sévère est donc celle dont la valeur absolue est la plus petite. Comparons les valeurs absolues :

Équipe A : 5/8. Équipe B : 0,6 = 6/10 = 3/5. Équipe C : 13/20.

On peut mettre au même dénominateur 40 ou utiliser des conversions simples. Calculons :

5/8 = 25/40 ; 3/5 = 24/40 ; 13/20 = 26/40.

On compare alors 24/40, 25/40 et 26/40. On a :

24/40 < 25/40 < 26/40.

Donc, pour les valeurs absolues :

3/5 < 5/8 < 13/20.

En revenant aux pénalités négatives, l’ordre est inversé pour classer les nombres eux-mêmes :

-13/20 < -5/8 < -0,6.

Mais la question demandait de classer les pénalités de la moins sévère à la plus sévère. La moins sévère est celle qui est la plus proche de 0 : -0,6. Puis vient -5/8, puis -13/20. Réponse : équipe B, équipe A, équipe C.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire -8 > -5 — À faire : revenir à la droite graduée : plus on va à gauche, plus le nombre est petit, donc -8 < -5.
• Erreur : comparer seulement les dénominateurs de deux fractions quelconques — À faire : vérifier d’abord si les numérateurs sont égaux et si les fractions sont positives ; sinon, utiliser un dénominateur commun ou le produit en croix.
• Erreur : conclure que -3/4 > -2/3 parce que 3/4 > 2/3 — À faire : comparer les valeurs absolues puis inverser l’ordre pour les opposés.
• Erreur : poser le produit en croix dans le mauvais sens — À faire : écrire les fractions sous la forme a/b et c/d, puis comparer a × d et c × b.
• Erreur : donner seulement un symbole sans justification — À faire : ajouter une phrase courte : « car les dénominateurs sont égaux » ou « car 7 × 8 = 56 et 5 × 11 = 55 ».
• Erreur : utiliser une valeur décimale arrondie pour conclure — À faire : utiliser le produit en croix si la division ne tombe pas exactement.

10. À retenir

• Comparer deux nombres, c’est choisir entre <, > et =.
• Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif.
• Entre deux nombres négatifs, celui qui a la plus grande valeur absolue est le plus petit.
• Si deux fractions ont le même dénominateur positif, on compare les numérateurs.
• Si deux fractions positives ont le même numérateur, la plus grande a le plus petit dénominateur.
• Pour comparer a/b et c/d avec b et d positifs, on compare a × d et c × b.
• Le produit en croix est souvent plus sûr qu’une écriture décimale arrondie.
• Avec des fractions négatives, il faut contrôler le sens de l’inégalité en fin de calcul.
• Une bonne justification est courte, exacte et utilise le vocabulaire mathématique : dénominateur, numérateur, produit en croix, valeur absolue, opposé.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : comparer fractions et relatifs en 3e. Le fichier propose des exercices progressifs pour automatiser les techniques rapides et apprendre à justifier correctement chaque comparaison.

Aperçu des types d’exercices proposés : Comparer dans un tableau, avec des paires de nombres à compléter par <, > ou = ; Vrai ou faux ?, pour repérer les erreurs de raisonnement ; Choisir la bonne technique, afin de décider entre même dénominateur, même numérateur, produit en croix ou valeur décimale ; Encoder les signes, pour travailler les nombres négatifs ; Comparer et justifier, avec une phrase mathématique complète.

Barème possible sur 20 points : comparaisons simples de relatifs, 4 points ; comparaisons de fractions de même dénominateur ou même numérateur, 4 points ; utilisation correcte du produit en croix, 5 points ; gestion correcte des fractions négatives, 4 points ; justifications claires et vocabulaire mathématique, 3 points. Pour réussir, il faut non seulement trouver le bon signe, mais aussi expliquer la méthode utilisée.

12. Questions fréquentes