Puissances en 3e : approfondissement et écriture scientifique

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, les puissances sont partout dans les calculs scientifiques, les conversions d’unités, les ordres de grandeur et les sujets de brevet. Elles permettent d’écrire simplement des nombres très grands, comme la distance Terre-Soleil, ou très petits, comme la taille d’une bactérie. Par exemple, écrire 342 000 sous la forme 3,42 × 10⁵ permet de lire rapidement son ordre de grandeur et de le comparer à d’autres valeurs.

La difficulté principale est de choisir la bonne règle au bon moment. On n’utilise pas la même méthode pour calculer 10⁶ × 10³, 10⁶ ÷ 10³, (10⁶)³ ou 3,2 × 10⁻⁴. Une erreur fréquente consiste à additionner les exposants dans une somme, par exemple écrire à tort 3⁵ + 3² = 3⁷. Cette égalité est fausse, car les règles sur les exposants concernent les produits, les quotients et les puissances de puissances, pas les additions ordinaires.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment calculer efficacement avec les puissances, écrire un nombre en écriture scientifique et interpréter correctement un résultat dans un contexte de brevet ? L’objectif est de maîtriser les règles de puissances en 3e, de savoir utiliser l’écriture scientifique 3e dans des calculs, de déterminer un ordre de grandeur et de manipuler les préfixes SI comme kilo, méga, milli ou micro.

2. Définition

Définition : Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul. La puissance aⁿ est le produit de n facteurs tous égaux à a. Ainsi, aⁿ = a × a × ... × a, avec n facteurs. Le nombre a s’appelle la base et le nombre n s’appelle l’exposant.

Par exemple, 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. De même, 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. Les puissances de 10 sont particulièrement utiles car elles déplacent la virgule dans l’écriture décimale : multiplier par 10³ revient à multiplier par 1000.

On adopte aussi les conventions suivantes, indispensables en 3e : pour tout nombre non nul a, a⁰ = 1 ; pour tout entier positif n, a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Par exemple, 10⁻² = 1 ÷ 10² = 1 ÷ 100 = 0,01.

Définition : L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est une écriture de la forme a × 10ⁿ, où n est un entier relatif et où le coefficient a vérifie 1 ≤ a < 10.

Par exemple, 3,42 × 10⁵ est une écriture scientifique car 3,42 est compris entre 1 et 10. On lit aussi que 10⁵ indique un déplacement de la virgule de 5 rangs vers la droite : 3,42 × 10⁵ = 342 000.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres relatifs non nuls a et b, et pour tous entiers relatifs m et n, les règles de puissances suivantes sont valables lorsqu’elles ont un sens : a^m × aⁿ = a^m+n ; a^m ÷ aⁿ = a^m−n ; (a^m)ⁿ = a^m×n ; (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.

Ces règles doivent être connues avec leur nom. Le produit de puissances de même base correspond à a^m × aⁿ = a^m+n. Le quotient de puissances de même base correspond à a^m ÷ aⁿ = a^m−n, avec a ≠ 0. La puissance d’une puissance correspond à (a^m)ⁿ = a^m×n. Enfin, l’exposant négatif correspond à a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ.

Pour les puissances de 10, ces propriétés deviennent très efficaces : 10⁴ × 10⁷ = 10¹¹, 10⁸ ÷ 10³ = 10⁵, (10²)⁶ = 10¹². Elles permettent ensuite de calculer avec des écritures scientifiques, par exemple 2 × 10⁵ × 3 × 10⁴ = 6 × 10⁹.

4. Démonstration

Les règles de puissances viennent directement de la définition d’une puissance comme produit de facteurs identiques. Montrons d’abord la règle du produit. Si m et n sont deux entiers positifs, alors a^m contient m facteurs égaux à a, et aⁿ contient n facteurs égaux à a. Leur produit contient donc m + n facteurs égaux à a. Ainsi, a^m × aⁿ = a^m+n.

Pour le quotient, supposons a ≠ 0 et m ≥ n. Dans a^m ÷ aⁿ, on peut simplifier n facteurs égaux à a au numérateur et au dénominateur. Il reste alors m − n facteurs égaux à a. On obtient a^m−n. Cette règle est ensuite prolongée aux exposants négatifs pour garder une cohérence. Par exemple, 10² ÷ 10⁵ = 10²⁻⁵ = 10⁻³, et cela vaut bien 100 ÷ 100 000 = 0,001.

Pour la puissance d’une puissance, on élève déjà a^m à la puissance n. Cela signifie que l’on multiplie n fois le même facteur a^m. Chaque facteur contient m facteurs égaux à a. Au total, on a donc m × n facteurs égaux à a. Ainsi, (a^m)ⁿ = a^m×n.

L’écriture scientifique repose sur le fait qu’en déplaçant la virgule d’un nombre décimal, on compense ce déplacement par une puissance de 10. Si l’on transforme 342 000 en 3,42, on a déplacé la virgule de 5 rangs vers la gauche ; il faut donc multiplier par 10⁵. Ainsi, 342 000 = 3,42 × 10⁵.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’identifie la forme du calcul : produit de puissances, quotient de puissances, puissance d’une puissance, exposant négatif, écriture scientifique ou conversion avec puissance de 10. Je vérifie aussi si les bases sont identiques.
2. J’applique la règle adaptée. Pour un produit de même base, j’additionne les exposants. Pour un quotient de même base, je soustrais les exposants. Pour une puissance d’une puissance, je multiplie les exposants. Pour un exposant négatif, je passe à l’inverse.
3. Je traite séparément les coefficients et les puissances de 10. Dans un calcul scientifique comme 4 × 10⁷ × 2 × 10⁻³, je calcule 4 × 2 puis 10⁷ × 10⁻³.
4. Je normalise l’écriture scientifique. Le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 et 10. Si j’obtiens 32 × 10⁵, j’écris 3,2 × 10⁶. Si j’obtiens 0,45 × 10⁸, j’écris 4,5 × 10⁷.
5. Je vérifie le signe de l’exposant. Un exposant positif correspond souvent à un grand nombre ; un exposant négatif correspond à un nombre proche de 0. Par exemple, 10⁻³ = 0,001.
6. Je contrôle l’ordre de grandeur. Je me demande si le résultat est cohérent avec le problème. Une distance astronomique ne devrait pas devenir minuscule, et une masse de cellule ne devrait pas devenir énorme.

La routine à retenir est : je repère / j’applique / je vérifie. Je repère la structure, j’applique la propriété correcte, puis je vérifie la normalisation, le signe de l’exposant et le sens du résultat.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculons et simplifions l’expression suivante : A = 5³ × 5⁴ ÷ 5².

On remarque que toutes les puissances ont la même base 5. On peut donc utiliser les règles de produit et de quotient de puissances de même base. Pour le produit, on additionne les exposants : 5³ × 5⁴ = 5³⁺⁴ = 5⁷. Ensuite, on divise par 5², donc on soustrait les exposants : 5⁷ ÷ 5² = 5⁷⁻² = 5⁵.

On obtient donc A = 5⁵. Si l’on veut la valeur décimale, 5⁵ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125.

Il est aussi possible de regrouper directement les exposants : A = 5³⁺⁴⁻² = 5⁵. Cette méthode est rapide, mais elle suppose de bien savoir quand on additionne et quand on soustrait. On additionne dans un produit ; on soustrait dans un quotient.

Attention : on ne pourrait pas simplifier de la même manière une expression comme 5³ + 5⁴. Dans une somme, il faut d’abord calculer les valeurs ou factoriser si c’est utile, mais on n’additionne pas les exposants.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On donne le nombre B = 0,000 072. Écrivons-le en écriture scientifique.

On cherche une écriture de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10. Dans 0,000 072, le premier chiffre non nul est 7. Le coefficient sera donc 7,2, car 7,2 est compris entre 1 et 10.

Pour passer de 7,2 à 0,000 072, il faut déplacer la virgule de 5 rangs vers la gauche : 7,2 → 0,72 → 0,072 → 0,0072 → 0,00072 → 0,000072. Déplacer la virgule vers la gauche correspond à multiplier par une puissance négative de 10. On obtient donc B = 7,2 × 10⁻⁵.

Vérifions : 10⁻⁵ = 0,00001, donc 7,2 × 10⁻⁵ = 7,2 × 0,00001 = 0,000072. Le résultat est cohérent, car le nombre de départ est très petit : l’exposant doit être négatif.

Inversement, si l’on donne C = 6,45 × 10⁴, on peut retrouver l’écriture décimale. L’exposant 4 indique un déplacement de la virgule de 4 rangs vers la droite : 6,45 × 10⁴ = 64 500. L’exposant positif rend le nombre plus grand.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un laboratoire observe une bactérie dont la longueur est environ 2,5 × 10⁻⁶ m. On aligne 8 × 10⁵ bactéries identiques bout à bout. Quelle longueur totale obtient-on, en mètres, puis en centimètres ?

La longueur totale est le produit du nombre de bactéries par la longueur d’une bactérie :

L = (8 × 10⁵) × (2,5 × 10⁻⁶).

On calcule séparément les coefficients et les puissances de 10. Pour les coefficients : 8 × 2,5 = 20. Pour les puissances de 10 : 10⁵ × 10⁻⁶ = 10⁵⁺⁽⁻⁶⁾ = 10⁻¹. Donc L = 20 × 10⁻¹ m.

Or 20 × 10⁻¹ = 2 × 10¹ × 10⁻¹ = 2 × 10⁰ = 2. La longueur totale est donc 2 m.

En centimètres, on utilise 1 m = 100 cm = 10² cm. Ainsi, 2 m = 2 × 10² cm = 200 cm.

Ce problème illustre l’intérêt du calcul scientifique : sans les puissances, les nombres 0,0000025 et 800 000 seraient moins pratiques à manipuler. Les puissances permettent de calculer rapidement, tout en gardant le sens du résultat. Ici, beaucoup de très petites longueurs peuvent produire une longueur totale visible à l’échelle humaine.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire 3⁵ + 3² = 3⁷. — À faire : se rappeler que l’on additionne les exposants seulement dans un produit de puissances de même base ; comparer les valeurs numériques : 243 + 9 n’est pas égal à 2187.
• Erreur : écrire 10⁶ ÷ 10² = 10³. — À faire : appliquer la règle du quotient : 10⁶ ÷ 10² = 10⁶⁻² = 10⁴.
• Erreur : donner 45,6 × 10⁶ comme écriture scientifique. — À faire : vérifier que le coefficient est compris entre 1 et 10 ; ici, il faut écrire 4,56 × 10⁷.
• Erreur : inverser le déplacement de la virgule avec un exposant négatif. — À faire : utiliser des repères : 10⁻¹ = 0,1 ; 10⁻² = 0,01 ; 10⁻³ = 0,001.
• Erreur : oublier de renormaliser un résultat après un calcul. — À faire : ajouter une étape obligatoire : vérifier que le coefficient final est compris entre 1 et 10.
• Erreur : confondre (2³)⁴ et 2³⁺⁴. — À faire : reconnaître une puissance d’une puissance et multiplier les exposants : (2³)⁴ = 2¹².

10. À retenir

• Une puissance aⁿ représente un produit de n facteurs égaux à a, lorsque n est un entier positif.
• Pour un produit de puissances de même base : a^m × aⁿ = a^m+n.
• Pour un quotient de puissances de même base : a^m ÷ aⁿ = a^m−n, avec a ≠ 0.
• Pour une puissance d’une puissance : (a^m)ⁿ = a^m×n.
• Un exposant négatif signifie que l’on prend l’inverse : a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ.
• Une écriture scientifique est de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
• Dans 3,42 × 10⁵, 3,42 est compris entre 1 et 10, et 10⁵ indique que 3,42 × 10⁵ = 342 000.
• Les puissances de 10 servent à exprimer des ordres de grandeur, à effectuer des conversions et à utiliser les préfixes SI : kilo = 10³, méga = 10⁶, milli = 10⁻³, micro = 10⁻⁶.

11. Exercices d'application

Un entraînement complet est disponible en PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les puissances et l’écriture scientifique en 3e. Les exercices proposés permettent de réviser les règles de puissances, de travailler l’écriture scientifique 3e et de préparer les calculs scientifiques attendus au brevet.

Aperçu des types d’exercices : compléter les règles de puissances ; répondre à des questions vrai ou faux ; recomposer une écriture scientifique à partir d’un nombre décimal ; encoder un calcul scientifique en séparant coefficients et puissances de 10 ; résoudre une situation type brevet avec ordre de grandeur et interprétation.

Pour s’autoévaluer, on peut utiliser le barème suivant sur 20 points : application correcte des règles de puissances, 4 points ; écriture scientifique correctement normalisée, 4 points ; calculs avec puissances de 10 justes, 4 points ; justification et étapes de calcul lisibles, 4 points ; interprétation correcte dans les problèmes, 4 points. Une réponse correcte ne se limite donc pas au résultat final : les étapes, la méthode et le sens du résultat comptent aussi.

12. Questions fréquentes