Calcul littéral : développer et factoriser

1. Introduction et problématique

Tu veux acheter 7 stylos à un même prix x €. Le prix total des stylos s'écrit 7 × x, que l'on note plus simplement 7x. Maintenant, tu achètes aussi 7 cahiers à y € chacun. Tu peux calculer séparément : 7x + 7y. Mais tu peux aussi dire que tu prends 7 fois le groupe "un stylo et un cahier", donc écrire 7(x + y). Ces deux écritures représentent la même dépense. En calcul littéral, il est très utile de savoir passer d'une écriture à l'autre. Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit. Cette leçon explique ces deux gestes essentiels du programme de 4e.

2. Définition

En calcul littéral, on utilise des lettres pour représenter des nombres. Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres, comme 3x + 5, 2(a + b) ou (x + 2)(x + 3). Les lettres peuvent désigner des nombres inconnus, variables ou quelconques.

Par convention, on n'écrit pas toujours le signe × entre un nombre et une lettre, ou entre une lettre et une parenthèse. Ainsi, 3x signifie 3 × x, et 4(x + 2) signifie 4 × (x + 2). En revanche, entre deux nombres, on garde le signe × pour éviter les confusions : 3 × 2 = 6, alors que 32 est le nombre trente-deux.

Développer une expression, c'est supprimer des parenthèses en transformant un produit en somme ou en différence. Par exemple, 3(x + 2) se développe en 3x + 6. Factoriser une expression, c'est l'opération inverse : on transforme une somme ou une différence en produit. Par exemple, 3x + 6 se factorise en 3(x + 2).

Définition : développer consiste à écrire un produit sous forme de somme ou de différence ; factoriser consiste à écrire une somme ou une différence sous forme de produit en faisant apparaître un facteur commun.

3. Propriétés et théorèmes

La propriété fondamentale de cette leçon est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction. Elle permet de multiplier un nombre par une somme en multipliant chaque terme de la somme par ce nombre.

Théorème : pour tous nombres k, a et b, on a k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb.

Cette propriété se lit dans les deux sens. De gauche à droite, on développe : k(a + b) devient ka + kb. De droite à gauche, on factorise : ka + kb devient k(a + b), car k est un facteur commun.

Exemples : 5(x + 4) = 5x + 20 ; 7a - 7b = 7(a - b) ; -3(x - 2) = -3x + 6, car -3 × (-2) = +6.

On utilise aussi la double distributivité pour développer un produit de deux sommes. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la deuxième parenthèse.

Théorème : pour tous nombres a, b, c et d, on a (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Cette formule reste valable avec des signes moins, à condition de bien respecter les règles des signes. Par exemple, (x + 5)(x - 2) = x² - 2x + 5x - 10, puis on réduit : x² + 3x - 10.

Enfin, développer ne suffit pas toujours : il faut souvent réduire l'expression obtenue. Réduire signifie regrouper les termes semblables. Par exemple, 3x + 2x = 5x, mais 3x + 2 ne se réduit pas davantage car 3x et 2 ne sont pas des termes de même nature.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

On peut comprendre la distributivité avec une situation de prix. Supposons qu'un objet A coûte a euros et qu'un objet B coûte b euros. Si l'on achète k lots contenant chacun un objet A et un objet B, le prix d'un lot est a + b. Le prix total est donc k(a + b). Mais on peut aussi compter séparément : il y a k objets A, qui coûtent ensemble ka euros, et k objets B, qui coûtent ensemble kb euros. Le prix total est alors ka + kb. Comme il s'agit de la même situation, on obtient k(a + b) = ka + kb.

On peut aussi visualiser la double distributivité avec une aire. Imagine un rectangle dont la longueur est a + b et la largeur c + d. On découpe la longueur en deux morceaux a et b, et la largeur en deux morceaux c et d. Le grand rectangle est alors partagé en quatre petits rectangles : un rectangle d'aire ac, un d'aire ad, un d'aire bc et un d'aire bd. L'aire totale vaut donc ac + ad + bc + bd. Mais l'aire du grand rectangle vaut aussi (a + b)(c + d). On retrouve donc la formule (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir un calcul littéral, il faut d'abord reconnaître le sens du travail demandé : développer ou factoriser. Ensuite, on applique la bonne propriété et on vérifie que l'expression obtenue est bien équivalente à celle du départ.

1. Étape 1 : repérer la forme de l'expression. Si l'on voit un produit avec des parenthèses, comme 4(x + 3), on va souvent développer. Si l'on voit une somme avec un facteur commun, comme 4x + 12, on va souvent factoriser.
2. Étape 2 : appliquer la distributivité. Pour développer k(a + b), on multiplie k par chaque terme de la parenthèse. Pour factoriser ka + kb, on repère le facteur commun k et on l'écrit devant une parenthèse.
3. Étape 3 : réduire et vérifier. On regroupe les termes semblables, puis on peut tester avec une valeur simple, par exemple x = 1, pour contrôler que l'expression de départ et l'expression d'arrivée donnent le même résultat.

Une bonne habitude consiste à tracer mentalement deux flèches dans une distributivité simple : le facteur extérieur multiplie le premier terme de la parenthèse, puis le deuxième. Dans une double distributivité, il faut penser aux quatre produits.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : développer et réduire l'expression A = -4(2x - 3y + 1).

Rédaction modèle :

Étape 1 : On reconnaît un produit d'un nombre par une somme algébrique : -4(2x - 3y + 1). Il faut donc utiliser la distributivité simple.

Étape 2 : Le facteur -4 doit multiplier chaque terme de la parenthèse : 2x, -3y et 1.

Étape 3 : On effectue les produits en faisant attention aux signes : -4 × 2x = -8x ; -4 × (-3y) = +12y ; -4 × 1 = -4.

Étape 4 : Donc A = -4(2x - 3y + 1) = -8x + 12y - 4. L'expression est développée et réduite, car les termes -8x, 12y et -4 ne sont pas semblables.

Pour vérifier, on peut choisir x = 1 et y = 2. Expression de départ : -4(2 × 1 - 3 × 2 + 1) = -4(2 - 6 + 1) = -4 × (-3) = 12. Expression obtenue : -8 × 1 + 12 × 2 - 4 = -8 + 24 - 4 = 12. Les deux valeurs sont identiques.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : factoriser l'expression B = 6ab - 9ac.

Rédaction modèle :

Étape 1 : On observe les deux termes de l'expression : 6ab et 9ac. On cherche un facteur commun, c'est-à-dire un nombre ou une lettre qui apparaît dans les deux termes.

Étape 2 : Les coefficients 6 et 9 ont pour facteur commun 3. Les termes ab et ac ont aussi la lettre a en commun. Le facteur commun est donc 3a.

Étape 3 : On écrit 6ab = 3a × 2b et 9ac = 3a × 3c. Ainsi, B = 3a × 2b - 3a × 3c.

Étape 4 : On met 3a en facteur : B = 3a(2b - 3c). L'expression est factorisée.

On peut vérifier en redéveloppant : 3a(2b - 3c) = 3a × 2b - 3a × 3c = 6ab - 9ac. On retrouve bien l'expression de départ. Cette vérification est très importante, car une factorisation correcte doit redonner exactement l'expression initiale lorsqu'on la développe.

Attention : il ne faut pas ajouter de lettre qui n'existait pas dans le facteur commun. Par exemple, 3a est un facteur commun de 6ab et 9ac, mais 3ab ne l'est pas, car le deuxième terme 9ac ne contient pas la lettre b.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Léo achète n stylos à 2 € l'unité et n cahiers à 3 € l'unité. Exprimer sa dépense totale sous deux formes : une forme développée et une forme factorisée. Interpréter le résultat.

Résolution : Pour les stylos, Léo paie 2n euros, car il achète n stylos coûtant chacun 2 €. Pour les cahiers, il paie 3n euros. La dépense totale est donc 2n + 3n. C'est une forme développée : on voit séparément le prix des stylos et le prix des cahiers.

On peut réduire l'expression : 2n + 3n = 5n. Cela signifie que pour chaque ensemble composé d'un stylo et d'un cahier, Léo paie 2 + 3 = 5 €. Comme il achète n ensembles de ce type, la dépense totale peut aussi s'écrire n(2 + 3), c'est-à-dire 5n.

On a donc deux écritures équivalentes : 2n + 3n et n(2 + 3). La première met en évidence les deux catégories d'objets ; la seconde met en évidence le nombre de lots achetés. Selon le problème, l'une ou l'autre forme peut être plus lisible.

Si n = 4, par exemple, la forme développée donne 2 × 4 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20 €. La forme factorisée donne 4(2 + 3) = 4 × 5 = 20 €. Les deux méthodes donnent bien le même prix.

9. Erreurs classiques à éviter

Les erreurs en calcul littéral viennent souvent d'un oubli de multiplication, d'une mauvaise gestion des signes ou d'une confusion entre addition et multiplication. Voici les pièges les plus fréquents.

• Erreur : écrire 3(x + 2) = 3x + 2 — À faire : multiplier 3 par chaque terme de la parenthèse : 3(x + 2) = 3x + 6.
• Erreur : écrire -3(x - 2) = -3x - 6 — À faire : calculer soigneusement -3 × (-2) = +6, donc -3(x - 2) = -3x + 6.
• Erreur : factoriser 3x + 6 en 3x(x + 2) — À faire : repérer le facteur commun 3 seulement : 3x + 6 = 3(x + 2). On vérifie en développant.
• Erreur : développer (x + 2)(x + 3) en x² + 6 — À faire : effectuer les quatre produits : x × x, x × 3, 2 × x, 2 × 3. Donc (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
• Erreur : écrire 2x + 3x = 5x² ou 6x — À faire : comprendre que l'on additionne des termes semblables : 2x + 3x = 5x. En revanche, 2x × 3x = 6x².
• Erreur : supprimer les parenthèses après un signe moins sans changer les signes — À faire : se rappeler que -(x - 4) = -x + 4, car cela signifie -1 × (x - 4).

10. À retenir

• La formule centrale de distributivité est k(a + b) = ka + kb. Avec une différence : k(a - b) = ka - kb.
• Développer, c'est passer d'un produit à une somme ou une différence ; factoriser, c'est passer d'une somme ou d'une différence à un produit.
• Pour développer (a + b)(c + d), il faut faire quatre produits : ac, ad, bc et bd, puis réduire si possible.
• Le piège principal est l'oubli d'un terme ou d'un signe. Un facteur placé devant une parenthèse multiplie tous les termes de la parenthèse.
• Réduire une expression consiste à regrouper les termes semblables : 4x + 2x = 6x, mais 4x + 2 ne se réduit pas.
• Une factorisation se vérifie toujours en redéveloppant. Si l'on ne retrouve pas l'expression de départ, la factorisation est fausse.
• Le vocabulaire est important : une forme factorisée contient un produit ; une forme développée contient une somme ou une différence de termes.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — Pré-requis rapides sous forme de vrai ou faux pour revoir les bases du calcul littéral.
• Type 2 — Développements avec la distributivité simple, y compris avec des signes négatifs.
• Type 3 — Factorisations par recherche d'un facteur commun.
• Type 4 — Développements avec double distributivité du type (a + b)(c + d).
• Type 5 — Problèmes concrets où il faut choisir entre forme développée et forme factorisée.