Inéquations du premier degré : introduction

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un parc d’attractions propose une attraction accessible seulement aux enfants mesurant au moins 1,40 m. Léo mesure x m. Comment écrire en langage mathématique la condition pour que Léo puisse monter dans l’attraction ? On peut écrire : x ≥ 1,40. Cette écriture ne donne pas une seule valeur possible pour x : elle décrit toutes les tailles acceptées, comme 1,40 m, 1,45 m, 1,52 m, etc. En revanche, 1,35 m ne convient pas.

En classe de 4e, on connaît déjà les équations simples, par exemple x + 3 = 10, dont on cherche la ou les valeurs exactes qui rendent l’égalité vraie. Avec les inéquations, on ne cherche pas seulement une valeur : on cherche souvent un ensemble de valeurs. Une inéquation permet de traduire des phrases comme « plus petit que », « plus grand que », « au plus », « au moins », « inférieur ou égal à » ou « supérieur ou égal à ».

Dans cette leçon, on découvre les inéquations simples du premier degré, comme x < 5, x ≥ 3 ou x + 2 ≤ 9. L’objectif est double : savoir lire et résoudre ces inéquations simples, puis représenter leurs solutions sur une droite graduée. On apprendra aussi à distinguer les inégalités strictes, qui n’incluent pas la valeur frontière, et les inégalités larges, qui l’incluent.

2. Définition

Définition : Une inéquation est une phrase mathématique contenant une inconnue et un signe d’inégalité. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent cette inégalité vraie. Ces valeurs forment l’ensemble des solutions.

Les principaux signes d’inégalité sont :

• < signifie « est strictement inférieur à » ou « est plus petit que » ;
• > signifie « est strictement supérieur à » ou « est plus grand que » ;
• ≤ signifie « est inférieur ou égal à » ;
• ≥ signifie « est supérieur ou égal à ».

Les écritures x < a et x > a sont des inégalités strictes : la valeur frontière a n’est pas solution. Les écritures x ≤ a et x ≥ a sont des inégalités larges : la valeur frontière a est solution.

Par exemple, dans x ≥ 3, on lit : « x est plus grand ou égal à 3 ». Les nombres 3, 4, 5, 10 ou 100 conviennent. Le nombre 2 ne convient pas. On peut retenir le mot-repère suivant : x ≥ 3, c’est « x est plus grand ou égal à 3 : par exemple 3, 4 et 5 conviennent, mais 2 ne convient pas ».

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres d’une inégalité, alors on obtient une inégalité équivalente : l’ensemble des solutions ne change pas.

Ce résultat est fondamental pour résoudre les premières inéquations du premier degré en 4e. Il ressemble à la propriété utilisée pour les équations : on a le droit d’effectuer la même opération des deux côtés, à condition de la faire correctement.

Par exemple, pour résoudre x + 4 < 9, on soustrait 4 aux deux membres :

x + 4 − 4 < 9 − 4, donc x < 5.

Les solutions sont donc tous les nombres strictement inférieurs à 5. Le nombre 4 convient, le nombre 0 convient, le nombre −2 convient, mais le nombre 5 ne convient pas car l’inégalité est stricte.

Attention : dans cette introduction, on utilise surtout des additions et des soustractions. Lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre positif, le sens de l’inégalité ne change pas. Lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faudra inverser le sens de l’inégalité ; ce point sera étudié plus tard et ne doit pas être confondu avec les méthodes de base vues ici.

4. Démonstration

On veut comprendre pourquoi on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d’une inégalité. Prenons une inégalité vraie : 2 < 5. Si on ajoute 3 de chaque côté, on obtient 2 + 3 < 5 + 3, c’est-à-dire 5 < 8, qui est encore vrai. Si on soustrait 4 de chaque côté, on obtient 2 − 4 < 5 − 4, donc −2 < 1, ce qui est encore vrai.

Sur une droite graduée, ajouter un même nombre à deux valeurs revient à les déplacer toutes les deux de la même distance dans le même sens. Leur ordre ne change pas. Si un nombre est placé à gauche d’un autre, alors après un même déplacement, il reste à gauche de cet autre nombre.

De même, soustraire un même nombre revient à déplacer les deux valeurs dans l’autre sens, mais toujours de la même distance. L’ordre reste conservé. C’est pourquoi, si a < b, alors a + c < b + c et a − c < b − c, quel que soit le nombre c.

Cette idée justifie la résolution d’inéquations comme x − 6 ≥ 2. On ajoute 6 aux deux membres, car cela permet d’isoler x : x − 6 + 6 ≥ 2 + 6, donc x ≥ 8. Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 8.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le signe d’inégalité. Je lis la phrase mathématique : x < a signifie « x est plus petit que a », x ≥ b signifie « x est plus grand ou égal à b ».
2. Je repère le type d’inégalité. Si le signe est < ou >, l’inégalité est stricte : la valeur frontière n’est pas solution. Si le signe est ≤ ou ≥, l’inégalité est large : la valeur frontière est solution.
3. J’isole x. Pour une inéquation simple comme x + a < b ou x − a ≥ b, j’effectue la même addition ou la même soustraction des deux côtés, comme dans une équation.
4. J’écris l’ensemble des solutions. Par exemple, si j’obtiens x ≤ 7, les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 7.
5. Je vérifie avec une valeur simple. Je teste un nombre qui devrait convenir et un nombre qui ne devrait pas convenir.
6. Je représente sur une droite graduée. Pour < ou >, je place un point ouvert sur la valeur frontière. Pour ≤ ou ≥, je place un point fermé. Je colorie vers la gauche pour les nombres plus petits, et vers la droite pour les nombres plus grands.

On peut retenir la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le signe et le sens. J’applique la même opération aux deux membres pour isoler x. Je vérifie avec une valeur et je représente l’ensemble des solutions sur une droite graduée.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Résoudre et représenter l’inéquation : x < 4.

Ici, l’inconnue x est déjà isolée. On lit : « x est strictement inférieur à 4 ». Les solutions sont tous les nombres plus petits que 4. Par exemple, 3 est solution, 0 est solution, −5 est solution, 3,9 est solution. En revanche, 4 n’est pas solution car le signe est strict. Les nombres 5 et 10 ne sont pas solutions non plus, car ils sont plus grands que 4.

Sur une droite graduée, on place la valeur 4. Comme l’inégalité est stricte, on utilise un point ouvert en 4. Puis on colorie la partie située à gauche de 4, car les nombres plus petits que 4 sont placés à gauche sur la droite graduée.

On peut écrire la réponse sous la forme : les solutions sont les nombres x tels que x < 4. En 4e, il est important de savoir expliquer la réponse avec une phrase, et pas seulement de donner une écriture mathématique. La phrase permet de vérifier que le sens de l’inégalité est bien compris.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On cherche une inéquation dont la représentation sur une droite graduée est la suivante : un point fermé en 2 et une partie coloriée vers la droite. Quelle inéquation correspond à cette représentation ?

On analyse d’abord le point. Il est fermé, donc la valeur frontière 2 est incluse dans les solutions. Le signe doit donc être ≤ ou ≥. Ensuite, on observe le sens du coloriage. La partie coloriée est vers la droite, donc on garde les nombres plus grands que 2. Le signe est donc ≥.

L’inéquation représentée est : x ≥ 2.

On vérifie avec quelques valeurs. Le nombre 2 est bien solution, car 2 est supérieur ou égal à 2. Le nombre 5 est solution, car 5 ≥ 2. Le nombre 1 n’est pas solution, car 1 n’est pas supérieur ou égal à 2. La représentation correspond donc bien à l’inéquation x ≥ 2.

Ce type d’exercice est utile, car il oblige à faire le lien entre l’écriture mathématique et la droite graduée. Il faut toujours regarder deux informations : le point est-il ouvert ou fermé ? La partie coloriée va-t-elle vers la gauche ou vers la droite ?

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un cinéma propose un tarif réduit aux spectateurs qui ont au plus 14 ans. On note x l’âge d’un spectateur. Écrire une inéquation traduisant la condition pour bénéficier du tarif réduit, puis représenter les solutions.

L’expression « au plus 14 ans » signifie que l’âge peut être 14 ans ou moins. On inclut donc la valeur 14. L’inéquation est : x ≤ 14.

Les solutions sont tous les âges inférieurs ou égaux à 14. Par exemple, 10 ans, 12 ans et 14 ans conviennent. En revanche, 15 ans ne convient pas. Il ne faut pas écrire x < 14, car cela exclurait un spectateur de 14 ans, alors que la phrase « au plus 14 ans » l’inclut.

Sur une droite graduée, on place 14. Comme le signe est ≤, on utilise un point fermé en 14. Puis on colorie vers la gauche, car les nombres inférieurs à 14 sont placés à gauche sur la droite graduée.

On peut aussi rencontrer l’expression « au moins 14 ans ». Dans ce cas, cela signifie 14 ans ou plus, donc on écrirait x ≥ 14. Les mots « au plus » et « au moins » sont donc à connaître avec précision.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Confondre < et >. — À faire : verbaliser la phrase : x < 5 signifie « x est plus petit que 5 », puis tester avec des nombres simples comme 4 et 6.
• Erreur : Inclure la valeur frontière avec un signe strict. — À faire : comparer x < 3 et x ≤ 3. Dans le premier cas, 3 n’est pas solution ; dans le second, 3 est solution.
• Erreur : Colorier dans le mauvais sens sur la droite graduée. — À faire : retenir que les nombres plus petits sont à gauche et les nombres plus grands sont à droite.
• Erreur : Se tromper en isolant x dans une inéquation comme x + 4 < 10. — À faire : effectuer la même opération des deux côtés : ici, on soustrait 4 aux deux membres, donc x < 6.
• Erreur : Utiliser toujours un point fermé sur la droite graduée. — À faire : associer point ouvert à < ou >, et point fermé à ≤ ou ≥.

Une bonne habitude consiste à tester la valeur frontière. Si elle vérifie l’inégalité, le point doit être fermé. Si elle ne vérifie pas l’inégalité, le point doit être ouvert.

10. À retenir

• Une inéquation est une phrase mathématique avec une inconnue et un signe d’inégalité.
• Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.
• x < a signifie que x est strictement inférieur à a : a n’est pas solution.
• x > a signifie que x est strictement supérieur à a : a n’est pas solution.
• x ≤ a signifie que x est inférieur ou égal à a : a est solution.
• x ≥ a signifie que x est supérieur ou égal à a : a est solution.
• Sur une droite graduée, un point ouvert correspond aux signes < et >.
• Sur une droite graduée, un point fermé correspond aux signes ≤ et ≥.
• Pour les inéquations simples avec addition ou soustraction, on effectue la même opération des deux côtés.
• Avant de répondre, on vérifie toujours avec une valeur solution et une valeur non solution.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Inéquations du premier degré : introduction (4e) » avec énoncés, droite graduée à compléter et corrigé détaillé.

La fiche propose plusieurs types d’exercices progressifs. Dans une première partie, il faut lire les signes d’inégalité et associer chaque écriture à une phrase : « plus petit que », « plus grand que », « au plus », « au moins ». Dans une deuxième partie, il faut dire si une valeur donnée est solution ou non d’une inéquation, par exemple tester 3 dans x ≥ 3 ou 5 dans x < 5.

On trouve ensuite des exercices de traduction : transformer une phrase en inégalité, par exemple « x est inférieur ou égal à 8 » ou « l’âge est au moins 12 ans ». Une autre série demande de résoudre des inéquations simples comme x + 5 ≤ 11, x − 3 > 4 ou x + 2 ≥ 9. Enfin, des exercices de représentation permettent de placer un point ouvert ou fermé sur une droite graduée et de colorier dans le bon sens.

Barème possible sur 20 points : lecture et compréhension des signes d’inégalité, 4 points ; identification correcte de valeurs solutions ou non solutions, 4 points ; traduction de phrases en inégalités, 4 points ; résolution d’inéquations simples, 5 points ; représentation correcte sur une droite graduée, 3 points.

12. Questions fréquentes