Nombres premiers : reconnaître et décomposer

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 4e, on veut ranger 84 jetons en paquets tous identiques, sans reste. On peut faire 2 paquets de 42, 3 paquets de 28, 4 paquets de 21, 6 paquets de 14, 7 paquets de 12, etc. Le nombre 84 se « partage » donc de nombreuses façons. Mais avec 13 jetons, les seules organisations possibles sont 1 paquet de 13 ou 13 paquets de 1 : il n’existe pas de partage intermédiaire. Cette différence conduit à une notion essentielle en arithmétique : les nombres premiers.

En classe de 4e, on apprend à reconnaître un nombre premier, à distinguer un nombre premier d’un nombre composé, puis à décomposer un entier en produit de facteurs premiers. Cette compétence est utile pour travailler sur les diviseurs, les multiples, les fractions, les simplifications, les problèmes de partage, et plus tard le calcul littéral ou les probabilités.

La question centrale de cette leçon est donc : comment savoir si un entier est premier, et comment écrire un entier comme produit de nombres premiers ? Pour répondre, on utilisera la définition, les critères de divisibilité, le crible d’Ératosthène et une méthode organisée de décomposition.

2. Définition

Définition : Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Par exemple, 13 est un nombre premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13. On peut écrire : 13 = 1 × 13, et il n’existe pas d’autre produit de deux entiers positifs donnant 13.

Un nombre qui possède plus de deux diviseurs positifs est appelé nombre composé. Par exemple, 12 est un nombre composé car il a plusieurs diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. On peut aussi remarquer que 12 = 3 × 4 ou 12 = 2 × 6, donc 12 se partage autrement qu’en 1 groupe ou en lui-même.

Attention : 1 n’est pas un nombre premier. Il n’a qu’un seul diviseur positif, qui est 1. Or un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs. De même, 0 n’est pas premier, car il possède une infinité de diviseurs dans les entiers non nuls : tout entier non nul divise 0.

Décomposer un entier en facteurs premiers signifie écrire cet entier sous forme d’un produit dont tous les facteurs sont des nombres premiers. Par exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Les nombres 2, 3 et 5 sont les « briques » premières de 60.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Tout entier supérieur ou égal à 2 est soit un nombre premier, soit peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est unique, à l’ordre des facteurs près.

Dire que la décomposition est unique signifie que l’on peut changer l’ordre des facteurs, mais pas les facteurs eux-mêmes. Par exemple, 84 = 2 × 2 × 3 × 7. On peut aussi écrire 84 = 3 × 2 × 7 × 2, mais les facteurs premiers restent les mêmes : deux facteurs 2, un facteur 3 et un facteur 7. On note souvent 84 = 2² × 3 × 7.

Quelques propriétés importantes permettent de reconnaître rapidement certains nombres non premiers :

• Tout nombre pair supérieur à 2 n’est pas premier, car il est divisible par 2.
• Un nombre entier supérieur à 5 qui se termine par 0 ou 5 n’est pas premier, car il est divisible par 5.
• Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3 ; s’il est supérieur à 3, il n’est donc pas premier.
• Pour tester si un nombre est premier, il suffit de chercher des diviseurs premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.

Exemple : pour savoir si 97 est premier, on calcule que √97 est un peu inférieur à 10. Il suffit donc de tester les nombres premiers 2, 3, 5 et 7. Le nombre 97 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. Donc 97 est premier.

Le crible d’Ératosthène est une méthode ancienne et efficace pour trouver les nombres premiers jusqu’à une limite donnée. On écrit tous les entiers à partir de 2, puis on barre les multiples de 2, puis les multiples de 3, puis les multiples de 5, puis les multiples de 7, etc. Les nombres non barrés sont les nombres premiers.

4. Démonstration

On démontre ici l’idée suivante : pour vérifier qu’un entier n est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à √n.

Supposons que n ne soit pas premier. Alors n est composé, donc il existe deux entiers a et b, différents de 1 et de n, tels que n = a × b. On peut choisir a ≤ b. Si a était strictement supérieur à √n, alors b serait aussi strictement supérieur à √n puisque b ≥ a. On aurait alors a × b > √n × √n, donc a × b > n, ce qui est impossible puisque a × b = n.

Donc, si n est composé, il possède forcément un diviseur a inférieur ou égal à √n. Cela signifie que si l’on a testé tous les diviseurs possibles jusqu’à √n et que l’on n’en trouve aucun, alors n ne peut pas être composé. Il est donc premier.

En pratique, on ne teste pas tous les nombres un par un : on teste seulement les nombres premiers, car si un nombre est divisible par un nombre composé, il est aussi divisible par un de ses facteurs premiers. Par exemple, si un nombre est divisible par 12, alors il est divisible par 2 ou par 3. Tester 12 n’est donc pas nécessaire si l’on a déjà testé 2 et 3.

Cette démonstration justifie une méthode de travail rigoureuse : pour reconnaître un nombre premier, on ne se contente pas de dire qu’il « semble » difficile à diviser. On vérifie avec une liste organisée de petits nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc., jusqu’à la racine carrée du nombre étudié.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le type de question. On me demande soit de reconnaître si un nombre est premier, soit de décomposer un nombre en facteurs premiers, soit de retrouver un nombre à partir de sa décomposition.
2. Je cherche les divisions évidentes. Je teste les critères de divisibilité : par 2 si le nombre est pair, par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3, par 5 si le nombre se termine par 0 ou 5, puis éventuellement par 7, 11, 13.
3. Pour reconnaître un nombre premier, je limite les tests. Je calcule ou j’estime √n. Je teste seulement les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à √n. Si aucun ne convient, le nombre est premier.
4. Pour décomposer, je divise progressivement. Je commence par 2 autant de fois que possible, puis par 3, puis par 5, puis par 7, puis par 11, etc. Je continue jusqu’à obtenir 1 ou jusqu’à n’avoir que des facteurs premiers.
5. J’écris la décomposition proprement. Je présente le résultat sous forme de produit de facteurs premiers. Si un facteur se répète, je peux utiliser une puissance : 2 × 2 × 2 = 2³.
6. Je vérifie. Je multiplie tous les facteurs obtenus pour retrouver le nombre de départ. Cette vérification permet de repérer un facteur oublié ou une erreur de calcul.

Routine utile : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les diviseurs possibles, j’applique la division par des nombres premiers dans l’ordre, puis je vérifie en recomposant le nombre.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Question : le nombre 89 est-il premier ?

On veut savoir si 89 possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. On teste donc les petits diviseurs premiers. On estime d’abord √89. Comme 9² = 81 et 10² = 100, on sait que √89 est compris entre 9 et 10. Il suffit donc de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à 9 : 2, 3, 5 et 7.

89 n’est pas divisible par 2 car il est impair. La somme de ses chiffres vaut 8 + 9 = 17, qui n’est pas divisible par 3, donc 89 n’est pas divisible par 3. Il ne se termine ni par 0 ni par 5, donc il n’est pas divisible par 5. Enfin, 7 × 12 = 84 et 7 × 13 = 91, donc 89 n’est pas divisible par 7.

Aucun diviseur premier inférieur ou égal à √89 n’a été trouvé. On peut donc conclure que 89 est un nombre premier.

La phrase de conclusion doit être précise : 89 est premier car il n’est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5 et 7, qui sont les seuls à tester jusqu’à √89.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Question : décomposer 180 en produit de facteurs premiers.

On commence par les petits nombres premiers dans l’ordre. 180 est pair, donc on divise par 2 : 180 = 2 × 90. Le nombre 90 est encore pair, donc on recommence : 90 = 2 × 45. On a donc déjà 180 = 2 × 2 × 45.

Le nombre 45 n’est pas pair. On teste 3 : la somme de ses chiffres est 4 + 5 = 9, divisible par 3. Donc 45 = 3 × 15. Puis 15 = 3 × 5. Les nombres 3 et 5 sont premiers.

On obtient alors : 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. En utilisant les puissances, on écrit : 180 = 2² × 3² × 5.

Vérification : 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 36 × 5 = 180. La décomposition est correcte.

Il ne faut pas s’arrêter à une écriture comme 180 = 2 × 90 ou 180 = 4 × 45, car 90, 4 et 45 ne sont pas tous premiers. Une décomposition en facteurs premiers doit contenir uniquement des nombres premiers.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Problème : un professeur dispose de 84 cartes identiques. Il veut former des paquets tous identiques, sans carte restante. Il souhaite comprendre toutes les « briques » multiplicatives de 84 pour organiser les paquets. Décomposer 84 en facteurs premiers, puis donner quelques regroupements possibles.

On décompose 84. Comme 84 est pair, on divise par 2 : 84 = 2 × 42. Le nombre 42 est encore pair : 42 = 2 × 21. Ensuite, 21 est divisible par 3 : 21 = 3 × 7. Les nombres 2, 3 et 7 sont premiers.

Donc : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.

Cette décomposition permet de retrouver plusieurs façons de former des paquets. Par exemple, 84 = 2 × 42, donc on peut faire 2 paquets de 42 cartes. On peut aussi regrouper les facteurs différemment : 84 = 3 × 28, donc 3 paquets de 28 cartes ; 84 = 4 × 21, donc 4 paquets de 21 cartes ; 84 = 6 × 14, donc 6 paquets de 14 cartes ; 84 = 7 × 12, donc 7 paquets de 12 cartes.

La décomposition en facteurs premiers aide donc à comprendre tous les diviseurs d’un nombre. Elle sert à organiser les partages, à simplifier des fractions et à résoudre des problèmes où l’on cherche des groupes identiques.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Affirmer que 1 est un nombre premier. — À faire : Revenir à la définition : un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs. Le nombre 1 n’en a qu’un, donc il n’est pas premier.
• Erreur : Penser que tous les nombres impairs sont premiers. — À faire : Donner des contre-exemples : 9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7, 25 = 5². Ces nombres sont impairs mais composés.
• Erreur : S’arrêter trop tôt dans une décomposition, par exemple écrire 84 = 2 × 6 × 7. — À faire : Vérifier que chaque facteur est premier. Ici, 6 n’est pas premier, donc on continue : 6 = 2 × 3.
• Erreur : Oublier un facteur dans un arbre de décomposition. — À faire : Remultiplier les facteurs obtenus pour retrouver le nombre de départ. Si le produit ne convient pas, il manque un facteur ou un calcul est faux.
• Erreur : Tester des diviseurs au hasard. — À faire : Utiliser une méthode structurée : tester 2, puis 3, puis 5, puis 7, puis 11, puis 13 si nécessaire.
• Erreur : Confondre facteur et diviseur. — À faire : Se rappeler que dans 84 = 2 × 42, les nombres 2 et 42 sont des facteurs, et ils sont aussi des diviseurs de 84.

10. À retenir

• Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
• Un nombre composé est un entier qui possède plus de deux diviseurs positifs.
• Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif.
• Le nombre 2 est premier : c’est le seul nombre premier pair.
• Pour reconnaître un nombre premier, on teste les diviseurs premiers jusqu’à la racine carrée du nombre.
• Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
• Décomposer un entier en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers.
• Exemple fondamental : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
• La décomposition en facteurs premiers est unique, à l’ordre des facteurs près.
• Une bonne vérification consiste à multiplier tous les facteurs pour retrouver le nombre initial.

11. Exercices d'application

Pour s’entraîner, on peut télécharger une fiche PDF d’exercices sur les nombres premiers en 4e, le crible d’Ératosthène, les diviseurs et la décomposition en produit de facteurs premiers : Télécharger le PDF d’exercices.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Reconnaître les nombres premiers : parmi une liste d’entiers, entourer ceux qui sont premiers et justifier avec les diviseurs.
• Vrai ou faux ? Décider si des affirmations comme « tous les nombres impairs sont premiers » ou « 2 est le seul nombre premier pair » sont correctes.
• Recomposer un nombre : calculer un produit donné sous forme de facteurs premiers, par exemple 2³ × 3 × 5.
• Décomposer en facteurs premiers : transformer des entiers comme 72, 90, 126, 150 ou 210 en produits de nombres premiers.
• Choisir la bonne méthode : utiliser les critères de divisibilité, un arbre de décomposition ou une suite de divisions.

Un barème possible sur 20 points peut valoriser : 4 points pour l’utilisation correcte de la définition d’un nombre premier, 4 points pour la reconnaissance des nombres premiers et non premiers avec justification, 4 points pour les critères de divisibilité, 6 points pour les décompositions exactes, et 2 points pour la présentation, la vérification et le vocabulaire mathématique.

12. Questions fréquentes