Médiane d'une série statistique

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 4e, on relève les temps, en minutes, mis par 9 élèves pour résoudre une énigme mathématique : 12 ; 8 ; 15 ; 10 ; 9 ; 20 ; 11 ; 7 ; 13. Le professeur annonce : « Je voudrais connaître un temps central qui partage la classe en deux groupes : ceux qui ont mis moins de temps et ceux qui ont mis plus de temps. » Peut-on répondre en calculant seulement la moyenne ? Pas forcément. La moyenne donne un temps global, mais elle peut être influencée par une valeur très grande ou très petite. Ici, le temps 20 min peut tirer la moyenne vers le haut. Pour décrire le centre d’une série statistique, on utilise aussi un autre indicateur : la médiane.

La médiane est une notion importante du programme de mathématiques de 4e, dans le thème « Organisation et gestion de données ». Elle permet de résumer une série statistique en repérant une valeur centrale après avoir rangé les données. L’objectif de cette leçon est de savoir calculer la médiane d’une série brute ou déjà ordonnée, de distinguer le cas où l’effectif total est impair et le cas où il est pair, puis d’interpréter correctement le résultat dans une phrase.

Les mots-clés à maîtriser sont : série ordonnée, effectif total n, rang médian, valeur centrale et médiane. La routine à retenir est simple : je repère, j’applique, je vérifie.

2. Définition

Définition : La médiane d’une série statistique ordonnée est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif, ou presque lorsque l’effectif total est pair : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Pour chercher une médiane, on doit d’abord travailler avec une série ordonnée, c’est-à-dire une liste de valeurs rangées, le plus souvent dans l’ordre croissant. Par exemple, la série brute 12 ; 8 ; 15 ; 10 devient, une fois ordonnée : 8 ; 10 ; 12 ; 15.

L’effectif total, souvent noté n, est le nombre total de valeurs de la série. Si une série contient 7 nombres, alors n = 7. Si elle contient 12 nombres, alors n = 12.

La médiane ne se calcule pas toujours de la même façon. Il faut distinguer deux cas :

• si n est impair, il existe une seule valeur centrale ;
• si n est pair, il existe deux valeurs centrales, et la médiane est la moyenne de ces deux valeurs.

Le mot repère est donc médiane : elle se situe au milieu de la série ordonnée. Exemple : pour 7 valeurs ordonnées, la médiane est la 4e valeur car (7 + 1) ÷ 2 = 4. Pour 8 valeurs ordonnées, la médiane est la moyenne de la 4e et de la 5e valeur.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une série statistique ordonnée d’effectif total n, si n est impair, la médiane est la valeur de rang (n + 1) ÷ 2. Si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rang n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.

Cette règle permet de calculer la médiane de façon fiable, sans se contenter d’un repérage approximatif. Elle repose sur la position des valeurs dans la liste ordonnée.

Cas 1 : effectif impair. Si la série comporte 9 valeurs, alors n = 9. Le rang de la médiane est (9 + 1) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5. La médiane est donc la 5e valeur de la série ordonnée. Il y a alors 4 valeurs avant et 4 valeurs après.

Cas 2 : effectif pair. Si la série comporte 10 valeurs, il n’y a pas une valeur exactement au centre. Les deux valeurs centrales sont la 5e et la 6e, car 10 ÷ 2 = 5 et 5 + 1 = 6. La médiane est alors la moyenne de ces deux valeurs.

Attention : dans le cas pair, la médiane n’est pas toujours une valeur présente dans la série. Par exemple, pour la série ordonnée 4 ; 6 ; 8 ; 12, les deux valeurs centrales sont 6 et 8. La médiane vaut (6 + 8) ÷ 2 = 7. Or 7 n’apparaît pas dans la série.

4. Démonstration

On justifie la méthode en observant la place des valeurs dans une série ordonnée. Lorsque les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, chercher le centre revient à compter autant de valeurs d’un côté que de l’autre.

Supposons d’abord que l’effectif total soit impair. On peut écrire n = 2k + 1, où k est un nombre entier. Cela signifie qu’il y a un nombre impair de valeurs. Dans une série ordonnée, la valeur centrale est alors la (k + 1)e valeur : il y a k valeurs avant elle et k valeurs après elle. Or (n + 1) ÷ 2 = (2k + 1 + 1) ÷ 2 = (2k + 2) ÷ 2 = k + 1. La formule du rang médian est donc bien (n + 1) ÷ 2.

Par exemple, si n = 11, on a 11 = 2 × 5 + 1. Il y a 5 valeurs avant la médiane, 1 valeur centrale, puis 5 valeurs après. Le rang de la médiane est 6, ce qui correspond à (11 + 1) ÷ 2 = 6.

Supposons maintenant que l’effectif total soit pair. On peut écrire n = 2k. Il n’y a pas une seule valeur centrale, car la séparation se fait entre la ke valeur et la (k + 1)e valeur. Ces deux valeurs encadrent le centre de la série. Pour obtenir un nombre qui représente ce centre, on calcule leur moyenne. Les rangs sont donc n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.

Par exemple, si n = 12, les deux valeurs centrales sont la 6e et la 7e. La médiane est la moyenne de ces deux valeurs. Cette méthode garantit que 6 valeurs sont à gauche ou au niveau du centre et 6 valeurs sont à droite ou au niveau du centre.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’énoncé. Je regarde si les données sont déjà rangées. Si elles ne le sont pas, je commence par écrire une ligne intitulée « série ordonnée ».
2. Je range la série. Je classe toutes les valeurs dans l’ordre croissant, sans en oublier et sans en ajouter.
3. Je compte l’effectif total. Je note n, le nombre total de valeurs. Par exemple, si la série contient 13 valeurs, alors n = 13.
4. Je détermine si n est impair ou pair. Si n se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9, il est impair. Si n se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, il est pair.
5. Si n est impair, j’applique la formule. Le rang de la médiane est (n + 1) ÷ 2. Je prends la valeur située à ce rang dans la série ordonnée.
6. Si n est pair, je repère les deux valeurs centrales. Elles sont aux rangs n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1. Je calcule ensuite leur moyenne.
7. Je vérifie le partage. Je contrôle que la médiane sépare bien la série en deux parties de même effectif, ou qu’elle est placée entre les deux valeurs centrales dans le cas pair.
8. Je rédige une phrase d’interprétation. J’écris ce que signifie la médiane dans le contexte, avec l’unité si nécessaire.

Routine à mémoriser : 🔎 Je repère l’effectif total et l’ordre des données ; ✍️ j’applique la règle du cas impair ou pair ; ✅ je vérifie que le résultat a du sens.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la série ordonnée suivante, qui donne les notes sur 20 obtenues par 7 élèves à une interrogation :

6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18

La série est déjà rangée dans l’ordre croissant. On compte l’effectif total : il y a 7 valeurs, donc n = 7. Comme 7 est impair, il existe une seule valeur centrale. On calcule le rang de la médiane :

(n + 1) ÷ 2 = (7 + 1) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4.

La médiane est donc la 4e valeur de la série ordonnée. En comptant : 1re valeur : 6 ; 2e : 8 ; 3e : 9 ; 4e : 11. La médiane est donc 11.

Interprétation : une médiane de 11 signifie qu’au moins la moitié des élèves ont une note inférieure ou égale à 11, et qu’au moins la moitié des élèves ont une note supérieure ou égale à 11. Ici, 3 notes sont inférieures à 11 et 3 notes sont supérieures à 11. La note 11 est bien la valeur centrale.

On remarque que la médiane n’est pas forcément égale à la moyenne. La moyenne des notes serait obtenue en additionnant toutes les notes puis en divisant par 7. La médiane, elle, dépend de la position centrale dans la série ordonnée.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère la série brute suivante, représentant le nombre de livres lus pendant l’année par 8 élèves :

5 ; 2 ; 8 ; 4 ; 10 ; 3 ; 6 ; 7

Cette fois, la série n’est pas rangée. Il ne faut surtout pas chercher directement le « milieu » dans la liste brute. On commence par écrire la série ordonnée :

2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10

L’effectif total est n = 8. Comme 8 est pair, il n’y a pas une seule valeur centrale. Les deux valeurs centrales sont aux rangs :

n ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 et n ÷ 2 + 1 = 4 + 1 = 5.

On repère donc la 4e et la 5e valeurs de la série ordonnée. La 4e valeur est 5 et la 5e valeur est 6. La médiane est la moyenne de ces deux valeurs :

(5 + 6) ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5,5.

La médiane est donc 5,5 livres. Elle n’est pas une valeur de la série, mais elle représente le centre entre 5 et 6. On peut interpréter ainsi : la moitié des élèves a lu 5 livres ou moins, et l’autre moitié a lu 6 livres ou plus. La médiane se situe entre les deux groupes.

Cet exemple montre qu’une médiane peut être un nombre décimal, même si toutes les valeurs de la série sont des nombres entiers.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans un club de sport, on relève les âges de 11 adhérents inscrits à un entraînement :

14 ; 13 ; 16 ; 15 ; 14 ; 17 ; 18 ; 13 ; 15 ; 16 ; 40

On veut déterminer l’âge médian des adhérents. La série contient une valeur particulière, 40, qui est beaucoup plus grande que les autres. Cette valeur peut fortement influencer la moyenne, mais la médiane permet de repérer un âge central.

On range d’abord la série dans l’ordre croissant :

13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 40

On compte les valeurs : n = 11. Comme 11 est impair, on calcule le rang médian :

(11 + 1) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6.

La médiane est donc la 6e valeur. En comptant dans la série ordonnée, on obtient : 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 40.

L’âge médian est donc 15 ans. Cela signifie qu’au moins la moitié des adhérents ont 15 ans ou moins et qu’au moins la moitié ont 15 ans ou plus. Plus précisément, il y a 5 âges avant 15 et 5 âges après la valeur centrale.

Ce résultat est intéressant, car la présence de 40 ans n’empêche pas la médiane de représenter le centre de la majorité des données. Si l’on calculait la moyenne, elle serait plus élevée à cause de 40. La médiane est donc souvent utile quand une série contient une valeur très éloignée des autres.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : calculer la moyenne au lieu de la médiane — À faire : se rappeler que la moyenne utilise toutes les valeurs, tandis que la médiane utilise la ou les valeurs centrales après rangement.
• Erreur : chercher la médiane dans une série brute non rangée — À faire : écrire d’abord une ligne « série ordonnée » et classer les valeurs dans l’ordre croissant.
• Erreur : pour un effectif pair, prendre une seule valeur centrale — À faire : entourer les deux valeurs centrales, puis calculer leur moyenne.
• Erreur : se tromper de rang lorsque l’effectif est impair — À faire : utiliser la formule (n + 1) ÷ 2, puis compter lentement dans la série ordonnée.
• Erreur : oublier une valeur en rangeant la série — À faire : recompter l’effectif de la série ordonnée et vérifier qu’il est identique à celui de la série de départ.
• Erreur : donner seulement un nombre sans unité ni phrase — À faire : écrire une phrase du type : « La médiane signifie que... » et ajouter l’unité si la situation en comporte une.
• Erreur : croire que la médiane est toujours une valeur observée — À faire : retenir que, pour un effectif pair, la médiane peut être la moyenne de deux valeurs et ne pas apparaître dans la série.

10. À retenir

• La médiane est une valeur centrale d’une série statistique ordonnée.
• Avant de calculer une médiane, il faut toujours vérifier que la série est rangée dans l’ordre croissant.
• L’effectif total n est le nombre de valeurs de la série.
• Si n est impair, la médiane est la valeur de rang (n + 1) ÷ 2.
• Si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.
• Pour 7 valeurs ordonnées, la médiane est la 4e valeur car (7 + 1) ÷ 2 = 4.
• Pour 8 valeurs ordonnées, la médiane est la moyenne de la 4e et de la 5e valeur.
• La médiane peut ne pas être une valeur de la série lorsque l’effectif est pair.
• La médiane partage la série en deux groupes de même effectif, ou presque autour des deux valeurs centrales.
• La moyenne et la médiane sont deux indicateurs différents : la moyenne utilise toutes les valeurs, la médiane repère le centre de la série ordonnée.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche PDF d’exercices sur la médiane d’une série statistique en 4e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à calculer une médiane dans des situations variées, avec des séries brutes, des séries déjà ordonnées et des problèmes d’interprétation.

Types d’exercices proposés : Repérer la médiane dans une série ordonnée, Vrai ou faux ?, Remettre en ordre puis calculer, Compléter une méthode, Interpréter une médiane. Les exercices commencent par des séries courtes pour automatiser la méthode, puis proposent des contextes concrets : notes, tailles, âges, durées, prix ou distances.

Barème conseillé pour une question complète : série correctement rangée dans l’ordre croissant : 2 points ; effectif total correctement identifié : 2 points ; choix correct du cas impair ou pair : 2 points ; calcul de la médiane exact : 3 points ; interprétation claire avec l’unité si nécessaire : 1 point. Ce barème montre que la réponse ne se limite pas au résultat numérique : la méthode et le sens statistique sont aussi importants.

12. Questions fréquentes