Développement avec double distributivité (a+b)(c+d)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un professeur prépare une affiche rectangulaire. La longueur est composée de deux morceaux, par exemple x + 2, et la largeur de deux autres morceaux, par exemple x + 3. Pour calculer l’aire totale, on peut écrire directement le produit (x + 2)(x + 3). Mais cette forme avec parenthèses n’est pas toujours la plus pratique : pour comparer des expressions, résoudre un problème ou calculer plus vite, on a souvent besoin de l’écrire sans parenthèses.

En classe de 4e, dans le cadre du calcul littéral, on apprend à développer une expression, c’est-à-dire à transformer un produit en une somme. Ici, il s’agit d’un cas important : le produit de deux sommes, appelé souvent double distributivité. L’objectif est de savoir passer de la forme factorisée (a + b)(c + d) à la forme développée ac + ad + bc + bd, puis de réduire l’expression obtenue lorsque certains termes sont semblables.

Par exemple, développer (x + 2)(x + 3) ne signifie pas seulement multiplier x par x. Il faut aussi multiplier x par 3, 2 par x et 2 par 3. On obtient alors x² + 3x + 2x + 6, puis on réduit les termes semblables : x² + 5x + 6.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment développer correctement une expression de la forme (a + b)(c + d), sans oublier de produit, puis comment réduire le résultat obtenu ?

2. Définition

Définition : Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en une somme ou une différence, en utilisant les règles de distributivité. Dans le cas d’un produit de deux parenthèses de la forme (a + b)(c + d), on parle de double distributivité car chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse.

La formule à connaître est :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Cette égalité signifie que le terme a est multiplié par c puis par d, et que le terme b est aussi multiplié par c puis par d. On obtient donc quatre produits partiels.

Dans une expression comme (x + 2)(x + 3), les deux parenthèses sont appelées des binômes, car chacune contient deux termes. Développer le produit de deux binômes revient à calculer les quatre produits possibles :

• x × x = x² ;
• x × 3 = 3x ;
• 2 × x = 2x ;
• 2 × 3 = 6.

On écrit donc : (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Après le développement, on effectue souvent une deuxième étape : réduire. Réduire une expression consiste à regrouper les termes semblables, c’est-à-dire les termes de même nature. Par exemple, 3x et 5x sont semblables, donc 3x + 5x = 8x. En revanche, x², x et les nombres seuls ne sont pas semblables entre eux.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres relatifs ou expressions littérales a, b, c et d, on a : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Cette propriété est appelée double distributivité.

Cette propriété repose sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. En 4e, on utilise déjà la distributivité simple :

k(a + b) = ka + kb

La double distributivité revient à appliquer cette règle deux fois. On distribue d’abord une parenthèse sur l’autre, puis on distribue chaque terme. Il faut retenir que le résultat contient en général quatre produits avant réduction.

La formule reste valable avec des soustractions, à condition de considérer les termes avec leur signe. Par exemple :

(x - 4)(x + 5) peut se lire (x + (-4))(x + 5). Les quatre produits sont alors :

• x × x = x² ;
• x × 5 = 5x ;
• (-4) × x = -4x ;
• (-4) × 5 = -20.

Donc (x - 4)(x + 5) = x² + 5x - 4x - 20 = x² + x - 20.

Les règles de signes sont donc indispensables :

• plus × plus = plus ;
• plus × moins = moins ;
• moins × plus = moins ;
• moins × moins = plus.

Enfin, il est important de distinguer les étapes : développer donne une somme de produits, tandis que réduire simplifie cette somme en regroupant les termes semblables.

4. Démonstration

On veut démontrer la formule :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

On part du membre de gauche : (a + b)(c + d). On peut considérer que (a + b) est un facteur qui multiplie toute la parenthèse (c + d). On applique alors la distributivité simple :

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d

On développe maintenant chaque produit en utilisant encore la distributivité :

(a + b)c = ac + bc

et

(a + b)d = ad + bd

Donc :

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Comme l’addition est commutative, on peut réordonner les termes :

ac + bc + ad + bd = ac + ad + bc + bd

On obtient bien :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

On peut aussi comprendre cette démonstration avec un tableau de distributivité. On place les termes de la première parenthèse en ligne, et ceux de la seconde parenthèse en colonne :

×	c	d
a	ac	ad
b	bc	bd

Les quatre cases du tableau correspondent aux quatre produits à écrire. Ce tableau est une méthode très efficace pour ne rien oublier, surtout lorsqu’il y a des signes négatifs ou des coefficients.

5. Méthode pas à pas

Pour développer puis réduire une expression de la forme (a + b)(c + d), on peut suivre une routine simple : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère les deux parenthèses. Je vérifie que l’expression est bien un produit de deux binômes, par exemple (x + 2)(x + 3).
2. Je repère les deux termes de chaque parenthèse. Dans (x + 2)(x + 3), la première parenthèse contient x et 2, la deuxième contient x et 3.
3. J’écris les quatre produits partiels. Je multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième : x × x, x × 3, 2 × x, 2 × 3.
4. Je calcule chaque produit. On obtient x², 3x, 2x et 6.
5. J’écris la forme développée. (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6.
6. Je regroupe les termes semblables. Ici, 3x et 2x sont semblables.
7. Je réduis. 3x + 2x = 5x, donc (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
8. Je vérifie les signes. Si un terme est négatif, je garde son signe avec lui et j’applique les règles de signes.

Le mot-repère utile est tableau. Pour (x + 2)(x + 3), on peut construire mentalement un tableau à 4 cases : x × x = x², x × 3 = 3x, 2 × x = 2x, 2 × 3 = 6. Puis on additionne les quatre résultats et on réduit : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Développer puis réduire :

A = (x + 4)(x + 7)

On reconnaît un produit de deux binômes. On applique la double distributivité :

A = x × x + x × 7 + 4 × x + 4 × 7

On calcule chaque produit :

A = x² + 7x + 4x + 28

On réduit les termes semblables. Les termes 7x et 4x sont de même nature, donc on peut les additionner :

7x + 4x = 11x

Donc :

A = x² + 11x + 28

La forme développée réduite de (x + 4)(x + 7) est donc x² + 11x + 28.

Vérification rapide : il y a bien quatre produits avant réduction : x², 7x, 4x, 28. Aucun produit n’a été oublié. Les termes semblables ont été regroupés. Le résultat final est écrit dans l’ordre habituel : le terme en x², puis le terme en x, puis le nombre.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère l’expression développée :

B = x² + 9x + 20

On veut reconnaître si elle peut provenir du développement d’un produit de deux binômes simples du type (x + a)(x + b). Cet exemple est appelé ici « cas inverse » car on part d’une forme développée pour retrouver la logique de la double distributivité.

Si :

(x + a)(x + b) = x² + ax + bx + ab

alors, après réduction :

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Dans x² + 9x + 20, il faut donc chercher deux nombres dont :

• la somme est 9 ;
• le produit est 20.

Les nombres 4 et 5 conviennent, car 4 + 5 = 9 et 4 × 5 = 20.

On peut donc écrire :

x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

Pour vérifier, on développe :

(x + 4)(x + 5) = x × x + x × 5 + 4 × x + 4 × 5

(x + 4)(x + 5) = x² + 5x + 4x + 20

(x + 4)(x + 5) = x² + 9x + 20

La vérification confirme le résultat. En 4e, l’objectif principal est surtout de savoir développer, mais ce raisonnement inverse aide à mieux comprendre le rôle des quatre produits et de la réduction.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un terrain rectangulaire a une longueur de x + 6 mètres et une largeur de x + 2 mètres. On veut exprimer son aire en fonction de x, sous forme développée réduite.

On sait que l’aire d’un rectangle se calcule avec la formule :

Aire = longueur × largeur

Donc :

A = (x + 6)(x + 2)

On développe par double distributivité :

A = x × x + x × 2 + 6 × x + 6 × 2

On calcule les produits :

A = x² + 2x + 6x + 12

On réduit les termes semblables :

2x + 6x = 8x

Donc :

A = x² + 8x + 12

L’aire du terrain est donc x² + 8x + 12 mètres carrés.

On peut interpréter ce résultat avec un découpage géométrique. Le rectangle de dimensions x + 6 et x + 2 peut être partagé en quatre rectangles :

• un carré de côté x, d’aire x² ;
• un rectangle de dimensions x et 2, d’aire 2x ;
• un rectangle de dimensions 6 et x, d’aire 6x ;
• un rectangle de dimensions 6 et 2, d’aire 12.

La somme des quatre aires donne bien x² + 2x + 6x + 12, puis x² + 8x + 12. Cette interprétation montre pourquoi il y a exactement quatre produits.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : distribuer seulement le premier terme, par exemple écrire (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2. — À faire : utiliser un tableau à 4 cases pour visualiser les quatre produits.
• Erreur : oublier le produit des deux seconds termes, par exemple oublier 2 × 3. — À faire : entourer les quatre multiplications avant de réduire.
• Erreur : se tromper dans les signes avec une soustraction, par exemple écrire (x - 4)(x + 5) = x² + 5x + 4x - 20. — À faire : garder le signe avec le terme concerné : -4 est le terme entier.
• Erreur : additionner des termes qui ne sont pas semblables, par exemple écrire x² + 5x = 6x². — À faire : surligner les termes en x², les termes en x et les nombres avec trois couleurs différentes.
• Erreur : s’arrêter après les quatre produits, sans réduire. — À faire : ajouter une étape obligatoire : développer, regrouper, réduire.
• Erreur : croire que (x + 3)(x + 3) vaut seulement x² + 9. — À faire : écrire les quatre produits : x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9.

10. À retenir

• La double distributivité permet de développer un produit de deux parenthèses.
• La formule essentielle est : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
• Avec deux binômes, on obtient toujours quatre produits partiels avant réduction.
• Développer consiste à enlever les parenthèses en effectuant les produits.
• Réduire consiste à regrouper les termes semblables, par exemple 3x + 5x = 8x.
• Les termes x², x et les nombres seuls ne sont pas semblables entre eux.
• En présence d’un signe moins, il faut garder le signe avec le terme : dans (x - 2), le deuxième terme est -2.
• Le tableau de distributivité est un outil efficace pour éviter les oublis.
• Une bonne présentation suit souvent l’ordre : terme en x², terme en x, constante.
• La routine utile est : Je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF : Développement avec double distributivité en 4e.

Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement à développer puis réduire des expressions de la forme (a + b)(c + d). Ils correspondent aux attendus du programme de cycle 4 : pratiquer le calcul littéral, utiliser la distributivité, produire une expression équivalente et contrôler la cohérence d’un résultat.

Aperçu des types d’exercices :

• Compléter les tableaux de distributivité : les élèves remplissent les quatre cases correspondant aux produits partiels.
• Développer puis réduire : par exemple (x + 5)(x + 2), (x - 3)(x + 4) ou (2x + 1)(x + 6).
• Remettre les produits partiels dans l’ordre : l’objectif est de reconnaître les quatre produits et de les organiser clairement.
• Écrire directement la forme développée réduite : l’élève automatise les étapes tout en conservant la rigueur.
• Vrai ou faux ? Corriger si besoin : l’élève repère les erreurs fréquentes, notamment les oublis de produits et les erreurs de signes.

Barème possible sur 20 points :

• Identification des deux binômes : 2 points ;
• Écriture des quatre produits partiels : 6 points ;
• Application correcte des règles de signes : 4 points ;
• Réduction des termes semblables : 5 points ;
• Présentation claire et vérification : 3 points.

12. Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de double distributivité ?

On parle de double distributivité parce que chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse. Il ne suffit pas de distribuer un seul terme : il faut obtenir les quatre produits ac, ad, bc et bd.

Combien de produits faut-il obtenir avec (a+b)(c+d) ?

Il faut obtenir quatre produits : ac, ad, bc et bd. Ces quatre produits correspondent aux quatre cases d’un tableau de distributivité.

Quelle est la différence entre développer et réduire ?

Développer consiste à enlever les parenthèses en effectuant les produits. Réduire consiste ensuite à regrouper les termes semblables. Par exemple, x² + 3x + 2x + 6 se réduit en x² + 5x + 6.

Comment éviter d’oublier un produit ?

On peut utiliser un tableau à 4 cases ou tracer des flèches entre chaque terme des deux parenthèses. La méthode consiste à vérifier que le premier terme a bien été multiplié par les deux termes de l’autre parenthèse, puis que le second terme l’a été aussi.

Que faire s’il y a un signe moins dans une parenthèse ?

Il faut garder le signe avec le terme concerné, puis appliquer les règles de signes lors des multiplications. Par exemple, dans (x - 3)(x + 2), le terme -3 doit être multiplié par x puis par 2.