Équations du premier degré : x + a = b et ax = b

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au CDI, un professeur achète plusieurs cahiers identiques pour préparer un atelier. Il sait que le total payé est de 24 €. Chaque cahier coûte 3 €. Combien de cahiers a-t-il achetés ? On peut essayer mentalement : 3 × 8 = 24, donc il y a 8 cahiers. Mais en mathématiques, on veut apprendre à écrire et à résoudre ce type de question avec une méthode sûre, qui fonctionne aussi lorsque les nombres sont plus difficiles.

On note souvent l’inconnue par la lettre x. Dans le problème précédent, si x désigne le nombre de cahiers, on écrit : 3x = 24. Cette écriture signifie 3 × x = 24. Résoudre l’équation, c’est trouver la valeur de x qui rend l’égalité vraie.

En classe de 4e, on apprend à résoudre des équations simples du premier degré à une inconnue, en particulier deux formes importantes : x + a = b et ax = b. La première est une équation additive : on ajoute un nombre à l’inconnue. La seconde est une équation multiplicative : l’inconnue est multipliée par un nombre.

L’objectif de cette leçon est de savoir reconnaître la forme de l’équation, choisir l’opération inverse, résoudre correctement, puis vérifier la solution dans l’équation de départ. La vérification est une étape essentielle : elle permet de repérer une erreur de signe, une confusion entre addition et multiplication, ou une opération faite d’un seul côté de l’égalité.

2. Définition

Définition : Une équation est une égalité qui contient au moins une inconnue. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Une telle valeur s’appelle une solution de l’équation.

Dans cette leçon, l’inconnue est généralement notée x. Par exemple, x + 5 = 17 est une équation. Le nombre 12 est une solution car, si on remplace x par 12, on obtient 12 + 5 = 17, ce qui est vrai.

On étudie surtout deux formes :

• x + a = b : l’inconnue x est augmentée d’un nombre a. Pour isoler x, on utilise l’opération inverse de l’addition, c’est-à-dire la soustraction. Si le nombre ajouté est négatif, cela revient à ajouter son opposé.
• ax = b : l’inconnue x est multipliée par un nombre a. Pour isoler x, on utilise l’opération inverse de la multiplication, c’est-à-dire la division, à condition que a ≠ 0.

Le mot repère est équation. Une routine simple peut guider la résolution : Écrire : x + 5 = 17, Isoler l’inconnue : x = 17 - 5, Calculer : x = 12, puis Vérifier : 12 + 5 = 17, donc 12 est solution.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : On ne change pas les solutions d’une équation si l’on ajoute, soustrait, multiplie ou divise les deux membres par un même nombre, avec la condition que l’on ne divise jamais par 0.

Une équation est une égalité. On peut la comparer à une balance équilibrée : le membre de gauche et le membre de droite ont la même valeur. Si l’on ajoute le même nombre des deux côtés, l’équilibre reste vrai. Si l’on retire le même nombre des deux côtés, l’équilibre reste vrai. Si l’on multiplie ou divise les deux côtés par le même nombre non nul, l’équilibre est également conservé.

Pour une équation de la forme x + a = b, on soustrait a aux deux membres :

x + a = b
x + a - a = b - a
x = b - a

Donc la solution est x = b - a.

Pour une équation de la forme ax = b, avec a ≠ 0, on divise les deux membres par a :

ax = b
ax ÷ a = b ÷ a
x = b ÷ a

Donc la solution est x = b ÷ a. Il faut bien comprendre que ax signifie a × x, et non a + x.

4. Démonstration

La méthode repose sur le principe d’équilibre de l’égalité. Si deux quantités sont égales, alors toute transformation identique effectuée sur les deux membres conserve l’égalité. C’est ce qui permet d’isoler l’inconnue sans changer la solution.

Considérons d’abord l’équation x + a = b. On cherche à obtenir x seul. Le nombre a est ajouté à x. Pour annuler l’ajout de a, on soustrait a. Mais pour conserver l’égalité, il faut soustraire a aux deux membres :

x + a = b

x + a - a = b - a

Or a - a = 0, donc le membre de gauche devient :

x + 0 = b - a

Donc :

x = b - a

On a bien isolé l’inconnue. La solution obtenue est le nombre b - a.

Considérons maintenant l’équation ax = b, avec a ≠ 0. Le nombre a multiplie x. Pour annuler une multiplication par a, on divise par a. On divise donc les deux membres par a :

ax = b

ax ÷ a = b ÷ a

Comme ax ÷ a = x lorsque a ≠ 0, on obtient :

x = b ÷ a

La condition a ≠ 0 est indispensable car la division par 0 est impossible. En 4e, dans les équations du type ax = b, on vérifie donc que le coefficient de x n’est pas nul avant de diviser.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la forme de l’équation. Je regarde si l’équation ressemble à x + a = b ou à ax = b. Par exemple, x + 6 = 14 est additive, tandis que 5x = 20 est multiplicative.
2. Je repère l’opération qui gêne x. Dans x + 6 = 14, le +6 gêne l’inconnue. Dans 5x = 20, le ×5 gêne l’inconnue.
3. J’utilise l’opération inverse. Pour annuler une addition, je soustrais. Pour annuler une soustraction, j’ajoute. Pour annuler une multiplication, je divise. Pour annuler une division, je multiplie, même si cette dernière forme n’est pas le cœur de la leçon.
4. Je fais la même opération des deux côtés. Une équation est comme une balance : on ne transforme pas seulement le membre de gauche ou seulement le membre de droite.
5. Je calcule la valeur de x. J’obtiens une écriture du type x = nombre. C’est la solution proposée.
6. Je vérifie dans l’équation de départ. Je remplace x par la valeur trouvée. Si le membre de gauche et le membre de droite sont égaux, la solution est correcte.
7. Je conclus par une phrase. J’écris par exemple : La solution de l’équation est 8 ou 8 est solution de l’équation.

Routine à mémoriser : 🔎 Je repère, 🧮 J’applique, ✅ Je vérifie. Cette routine évite les erreurs les plus fréquentes et aide à présenter clairement la résolution.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Résolvons l’équation additive suivante :

x + 5 = 17

Étape 1 : repérer la forme. L’équation est de la forme x + a = b. Ici, a = 5 et b = 17. Le nombre 5 est ajouté à x.

Étape 2 : appliquer l’opération inverse. Pour annuler +5, on fait -5 des deux côtés :

x + 5 - 5 = 17 - 5

x = 12

Étape 3 : vérifier. On remplace x par 12 dans l’équation de départ :

12 + 5 = 17

Le membre de gauche vaut 17, comme le membre de droite. L’égalité est vraie.

Conclusion : la solution de l’équation x + 5 = 17 est 12.

On peut retenir que résoudre une équation additive revient à chercher le nombre auquel on ajoute 5 pour obtenir 17. La résolution écrite permet de justifier le raisonnement et de l’appliquer même avec des nombres relatifs, par exemple x + (-4) = 9.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Résolvons maintenant une équation multiplicative :

-3x = 15

Étape 1 : repérer la forme. L’équation est de la forme ax = b. Ici, a = -3 et b = 15. Cela signifie :

-3 × x = 15

Il ne faut pas confondre -3x avec x - 3. Dans -3x, l’inconnue est multipliée par -3.

Étape 2 : appliquer l’opération inverse. Pour annuler la multiplication par -3, on divise les deux membres par -3 :

x = 15 ÷ (-3)

En utilisant la règle des signes, un nombre positif divisé par un nombre négatif donne un résultat négatif :

x = -5

Étape 3 : vérifier. On remplace x par -5 dans l’équation de départ :

-3 × (-5) = 15

Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc :

15 = 15

L’égalité est vraie.

Conclusion : la solution de l’équation -3x = 15 est -5.

Cet exemple montre l’importance de bien écrire l’étape de division : x = 15 ÷ (-3). Elle évite d’oublier le signe négatif et rappelle que l’opération inverse d’une multiplication est une division.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un élève prépare une sortie scolaire. Après avoir payé 7 € pour le transport, il lui reste 18 €. Quelle somme avait-il au départ ?

Étape 1 : choisir l’inconnue. On note x la somme d’argent, en euros, que l’élève avait au départ.

Étape 2 : traduire la situation par une équation. Il avait x euros, puis il a payé 7 €. Il lui reste donc x - 7 euros. On sait que cela vaut 18 € :

x - 7 = 18

Cette équation peut être vue comme une équation additive, car soustraire 7 revient à ajouter -7 :

x + (-7) = 18

Étape 3 : isoler l’inconnue. Pour annuler -7, on ajoute 7 aux deux membres :

x - 7 + 7 = 18 + 7

x = 25

Étape 4 : vérifier. Si l’élève avait 25 €, après avoir payé 7 €, il lui reste :

25 - 7 = 18

C’est bien la somme restante indiquée dans l’énoncé.

Conclusion : l’élève avait 25 € au départ.

Autre situation de type multiplicatif : une place de cinéma coûte 6 €. Un groupe paie 42 €. Si x désigne le nombre de places, on écrit 6x = 42, donc x = 42 ÷ 6 = 7. La vérification donne 6 × 7 = 42, donc il y avait 7 places.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire x + 5 = 12 donc x = 12 + 5. — À faire : verbaliser l’opération inverse : pour annuler +5, je fais -5. On obtient x = 12 - 5 = 7.
• Erreur : résoudre 4x = 20 par x = 20 - 4. — À faire : rappeler que 4x signifie 4 × x. L’opération inverse est donc la division : x = 20 ÷ 4 = 5.
• Erreur : oublier le signe négatif dans -3x = 15. — À faire : écrire l’étape complète : x = 15 ÷ (-3), puis utiliser la règle des signes pour obtenir x = -5.
• Erreur : trouver une valeur de x mais ne pas vérifier. — À faire : remplacer systématiquement x par la valeur trouvée dans l’équation de départ. La vérification confirme ou corrige la réponse.
• Erreur : transformer seulement un membre de l’égalité. — À faire : utiliser l’image de la balance : on fait la même opération des deux côtés pour conserver l’égalité.
• Erreur : écrire une conclusion sans préciser la solution. — À faire : terminer par une phrase claire, par exemple : La solution est x = 9 ou 9 est solution de l’équation.

10. À retenir

• Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée x.
• Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
• Résoudre une équation, c’est isoler l’inconnue pour obtenir une écriture du type x = nombre.
• Pour résoudre x + a = b, on soustrait a aux deux membres : x = b - a.
• Pour résoudre ax = b, avec a ≠ 0, on divise les deux membres par a : x = b ÷ a.
• L’écriture ax signifie a × x. Elle ne signifie pas a + x.
• On doit toujours faire la même opération sur les deux membres de l’égalité.
• La vérification consiste à remplacer x par la valeur trouvée dans l’équation de départ.
• La routine efficace est : Je repère, j’applique, je vérifie.
• Une présentation claire aide à éviter les erreurs : équation de départ, opération inverse, calcul, vérification, conclusion.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Équations du premier degré : x + a = b et ax = b — 4e » pour s’entraîner à résoudre, vérifier et rédiger les étapes. Le document peut contenir une partie exercices, une partie corrigé et un barème sur 20 points.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter le tableau de résolution : reconnaître l’équation, indiquer l’opération inverse, calculer la solution et vérifier.
• Choisir l’opération inverse : associer chaque équation à l’action correcte : ajouter, soustraire ou diviser.
• Remettre la solution dans l’ordre : replacer les étapes mélangées d’une résolution, de l’équation de départ jusqu’à la conclusion.
• Résoudre des équations multiplicatives : traiter des équations comme 7x = 42, -5x = 30 ou 0,5x = 4.
• Écrire puis résoudre : traduire une situation simple par une équation, puis calculer et vérifier la solution.

Exemple de barème possible sur 20 points : identifier la forme de l’équation et l’opération inverse, 4 points ; résoudre correctement les équations additives, 4 points ; résoudre correctement les équations multiplicatives, 4 points ; traduire une situation simple par une équation, 4 points ; présenter une vérification claire de la solution, 4 points.

12. Questions fréquentes