Factorisation avec facteur commun

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on rencontre souvent des expressions littérales qui paraissent différentes, mais qui représentent en réalité le même calcul. Par exemple, pour calculer rapidement 7 × 18 + 7 × 2, on peut remarquer que le nombre 7 apparaît dans les deux produits. Au lieu de faire deux multiplications puis une addition, on peut écrire 7 × (18 + 2), donc 7 × 20 = 140. Cette transformation utilise l’idée de facteur commun.

En classe de 4e, la factorisation permet de transformer une somme ou une différence en produit. C’est une compétence importante du calcul littéral : elle sert à simplifier des expressions, à reconnaître des formes équivalentes, à résoudre certains problèmes et, plus tard, à résoudre des équations. Factoriser, c’est donc apprendre à voir une expression autrement.

La difficulté principale est de repérer ce qui est commun à tous les termes. Dans 4x + 12, les deux termes sont 4x et 12. Ils contiennent tous les deux le facteur 4. On peut donc écrire : 4x + 12 = 4(x + 3). Le mot repère est factoriser, que l’on peut découper en syllabes : fac-to-ri-ser. Il signifie ici : écrire sous forme d’un produit de facteurs.

2. Définition

Définition : Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Lorsqu’un même facteur apparaît dans plusieurs termes, on peut le mettre en facteur. La forme générale est : ka + kb = k(a + b). Le facteur k est appelé facteur commun.

Dans l’égalité ka + kb = k(a + b), les deux termes de départ sont ka et kb. Ils contiennent tous les deux le facteur k. On peut donc écrire ce facteur une seule fois devant une parenthèse. Dans la parenthèse, on place ce qui reste : a pour le premier terme et b pour le second terme.

On peut aussi factoriser une différence : ka - kb = k(a - b). Le signe - doit être conservé dans la parenthèse. Par exemple : 5x - 15 = 5(x - 3), car 5 × x = 5x et 5 × 3 = 15.

Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou un produit. Par exemple, dans 6x + 9, le facteur commun numérique est 3. Dans ax + ay, le facteur commun est a. Dans 4xy + 8xz, un facteur commun est 4x.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres relatifs ou expressions k, a et b, on a : ka + kb = k(a + b) et ka - kb = k(a - b). Cette propriété est la distributivité utilisée dans le sens de la factorisation.

La factorisation avec facteur commun repose sur la propriété de distributivité. En développement, on utilise : k(a + b) = ka + kb. En factorisation, on lit cette égalité dans l’autre sens : ka + kb = k(a + b). Développer et factoriser sont donc deux transformations inverses.

Il faut bien distinguer les deux sens. Développer transforme un produit en somme : 2(x + 3) = 2x + 6. Factoriser transforme une somme en produit : 2x + 6 = 2(x + 3). Dans une expression factorisée, on voit une multiplication entre un facteur commun et une parenthèse.

Lorsqu’on factorise, plusieurs facteurs communs peuvent parfois être possibles. Par exemple, 6x + 12 peut s’écrire 2(3x + 6), mais aussi 6(x + 2). Les deux écritures sont correctes, car leur développement redonne l’expression de départ. Cependant, on préfère généralement choisir le plus grand facteur commun pour obtenir une expression plus simple : ici, 6(x + 2).

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi ka + kb = k(a + b), on peut raisonner à partir d’un calcul numérique. Imaginons que k = 4, a = 7 et b = 3. Alors ka + kb = 4 × 7 + 4 × 3. On calcule : 28 + 12 = 40. De l’autre côté, k(a + b) = 4(7 + 3). On calcule : 4 × 10 = 40. Les deux formes donnent le même résultat.

Ce n’est pas un hasard. Dans ka + kb, on additionne a fois le nombre k et b fois le nombre k. Au total, on a donc a + b fois le nombre k. Cela s’écrit k(a + b). La factorisation consiste à regrouper les deux quantités qui possèdent le même facteur.

On peut aussi vérifier la propriété par développement. Si on part de la forme factorisée k(a + b), la distributivité donne k × a + k × b, c’est-à-dire ka + kb. Ainsi, si le développement de l’expression factorisée redonne l’expression initiale, la factorisation est correcte.

Cette démonstration montre l’importance de la vérification. Après avoir factorisé, on peut toujours redévelopper mentalement ou par écrit. Par exemple, si l’on propose 4x + 12 = 4(x + 3), on vérifie : 4(x + 3) = 4x + 4 × 3 = 4x + 12. L’égalité est donc vraie.

5. Méthode pas à pas

1. 🔎 Je repère : je cherche ce qui est commun à tous les termes de l’expression. Ce peut être un nombre, une lettre ou un produit. Dans 8x + 20, les deux termes sont divisibles par 4.
2. Je sépare les termes : je repère clairement chaque terme de la somme ou de la différence. Dans 8x + 20, les termes sont 8x et 20. Dans 9a - 6, les termes sont 9a et 6, avec un signe moins entre les deux.
3. Je choisis le facteur commun : si plusieurs facteurs sont possibles, je choisis de préférence le plus grand facteur commun. Pour 8x + 20, on peut prendre 4, car 8x = 4 × 2x et 20 = 4 × 5.
4. ✍️ J’applique : j’écris le facteur commun devant une parenthèse. Puis je complète la parenthèse avec ce qui reste dans chaque terme. Ainsi, 8x + 20 = 4(2x + 5).
5. Je conserve les signes : si l’expression contient une soustraction, je garde le signe dans la parenthèse. Par exemple : 10y - 15 = 5(2y - 3).
6. ✅ Je vérifie : je redéveloppe pour contrôler. 4(2x + 5) = 8x + 20. On retrouve bien l’expression de départ.

La routine à retenir est donc : Je repère / J’applique / Je vérifie. Cette routine évite les erreurs les plus fréquentes, notamment oublier de diviser tous les termes par le facteur commun ou perdre un signe moins.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut factoriser l’expression 4x + 12.

Étape 1 : repérer les termes. Les deux termes sont 4x et 12. On cherche un facteur commun à ces deux termes.

Étape 2 : trouver le facteur commun. Le nombre 4 est présent dans 4x, car 4x = 4 × x. Il est aussi présent dans 12, car 12 = 4 × 3. Le facteur commun est donc 4.

Étape 3 : écrire la forme factorisée. On écrit 4 devant une parenthèse. Dans la parenthèse, on écrit ce qui reste après avoir retiré le facteur 4 de chaque terme. Pour 4x, il reste x. Pour 12, il reste 3. Donc : 4x + 12 = 4(x + 3).

Étape 4 : vérifier. On développe : 4(x + 3) = 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12. On retrouve l’expression de départ, donc la factorisation est correcte.

Attention à ne pas écrire 4x + 12 = 4(x + 12). En effet, 4(x + 12) = 4x + 48, ce qui n’est pas l’expression de départ. Quand on met 4 en facteur, on doit diviser chaque terme par 4 pour remplir la parenthèse.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On donne l’expression factorisée 3(2a + 5). On veut retrouver l’expression développée, puis comprendre comment revenir à la factorisation.

Développement. On distribue 3 à chaque terme de la parenthèse : 3(2a + 5) = 3 × 2a + 3 × 5 = 6a + 15. La forme développée est donc 6a + 15.

Retour à la factorisation. Si l’on part maintenant de 6a + 15, on cherche un facteur commun. Le nombre 3 divise 6a et 15. On écrit : 6a = 3 × 2a et 15 = 3 × 5. Donc 6a + 15 = 3(2a + 5).

Cet exemple montre que développer et factoriser sont des opérations inverses. Dans un sens, on passe de 3(2a + 5) à 6a + 15. Dans l’autre sens, on passe de 6a + 15 à 3(2a + 5).

On peut aussi choisir un facteur commun non maximal. Par exemple, dans 6a + 15, le facteur commun 1 existe toujours, mais il n’est pas intéressant. Le facteur 3 est plus utile, car il simplifie vraiment l’expression. En 4e, on cherche une factorisation correcte, et quand c’est possible, on choisit le plus grand facteur commun.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un club de sport achète des lots pour ses adhérents. Chaque lot contient un tee-shirt à x euros et une gourde à 6 euros. Le club achète 12 lots. On veut exprimer le coût total de deux façons différentes.

Première méthode : calculer séparément. Le prix des 12 tee-shirts est 12x. Le prix des 12 gourdes est 12 × 6 = 72. Le coût total est donc 12x + 72.

Deuxième méthode : utiliser le prix d’un lot. Un lot coûte x + 6 euros. Pour 12 lots, le prix total est 12(x + 6).

Les deux expressions représentent la même situation. On a donc : 12x + 72 = 12(x + 6). Ici, on a factorisé l’expression 12x + 72 en mettant 12 en facteur. Cela signifie que le nombre 12 est commun aux deux termes : 12x et 72.

Cette situation concrète montre l’intérêt de la factorisation. L’expression 12x + 72 met en évidence les dépenses séparées : les tee-shirts et les gourdes. L’expression 12(x + 6) met en évidence les 12 lots identiques. Selon la question posée, une forme peut être plus pratique que l’autre.

Par exemple, si x = 9, alors la forme factorisée permet de calculer rapidement : 12(9 + 6) = 12 × 15 = 180. La factorisation rend donc certains calculs plus simples.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire 4a + 12 = 4(a + 12) — À faire : diviser chaque terme par le facteur commun. Comme 12 ÷ 4 = 3, on doit écrire 4a + 12 = 4(a + 3).
• Erreur : oublier un terme dans la parenthèse — À faire : vérifier qu’il y a un reste dans la parenthèse pour chaque terme initial. Pour deux termes au départ, il doit y avoir deux termes dans la parenthèse.
• Erreur : confondre factoriser et développer — À faire : retenir que factoriser transforme une somme en produit, tandis que développer transforme un produit en somme.
• Erreur : perdre le signe moins — À faire : conserver le signe dans la parenthèse. Par exemple, 5a - 10 = 5(a - 2), car 5(a - 2) = 5a - 10.
• Erreur : choisir un facteur commun trop petit et s’arrêter trop tôt — À faire : accepter une factorisation correcte, puis chercher si le facteur peut être agrandi. Par exemple, 6x + 12 = 2(3x + 6) est correct, mais 6(x + 2) est plus réduit.
• Erreur : mettre en facteur une lettre qui n’est pas présente dans tous les termes — À faire : vérifier que le facteur choisi apparaît dans chaque terme. Dans 3x + 6, on ne peut pas mettre x en facteur, car 6 ne contient pas x.

10. À retenir

• Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en produit.
• La formule essentielle est : ka + kb = k(a + b).
• Avec une différence, on utilise : ka - kb = k(a - b).
• Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou un produit.
• Pour factoriser, on cherche ce qui est commun à tous les termes.
• On écrit le facteur commun devant une parenthèse, puis on complète avec ce qui reste.
• Il faut conserver les signes + et - dans la parenthèse.
• Pour vérifier une factorisation, on développe l’expression obtenue.
• Développer et factoriser sont deux transformations inverses.
• Quand c’est possible, on choisit le plus grand facteur commun pour obtenir une expression plus simple.

La phrase à mémoriser est : je repère le facteur commun, je le mets devant la parenthèse, puis je vérifie en redéveloppant. En notation imprimée, on retient : ka + kb = k(a + b). En vocabulaire, l’expression importante est : FACTEUR COMMUN.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Factorisation avec facteur commun en 4e. Le fichier peut contenir des exercices progressifs pour s’entraîner à repérer, factoriser et vérifier une expression simple.

Aperçu des types d’exercices proposés : Repérer le facteur commun, Choisir la bonne factorisation, Factoriser pas à pas, Écrire la forme factorisée, Vérifier une factorisation. Les premiers exercices peuvent demander d’entourer le facteur commun dans des expressions comme 5x + 10, 7a - 14 ou 3x + 3y. Les exercices suivants demandent d’écrire directement une forme factorisée.

Exemples d’exercices d’application : factoriser 6x + 18, 9a - 12, 5x + 5y, 8m - 16, 12t + 20. Pour chacun, il faut d’abord identifier le facteur commun, puis écrire la parenthèse, puis vérifier par développement.

Barème possible pour un devoir ou une correction : 4 points pour le repérage du facteur commun, 4 points pour l’écriture correcte de la parenthèse, 3 points pour la gestion correcte des signes + et -, 3 points pour la vérification par développement, et 2 points pour une présentation claire avec un vocabulaire adapté.

12. Questions fréquentes