Multiplication et division de fractions

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une recette pour 6 personnes, il faut 3/4 de litre de jus de fruit. Pour préparer seulement 2/3 de la recette, quelle quantité de jus faut-il ? Puis, si l’on dispose de 5/6 de litre de jus et que chaque verre contient 1/8 de litre, combien de verres peut-on remplir ? Ces deux questions font intervenir des fractions, mais pas la même opération. Dans la première, on prend une fraction d’une quantité : on effectue une multiplication de fractions. Dans la seconde, on cherche combien de fois une quantité est contenue dans une autre : on effectue une division de fractions.

En classe de 4e, conformément aux attendus du cycle 4, on apprend à calculer avec des nombres rationnels, à choisir la bonne opération, à gérer les signes et à simplifier les résultats. Les fractions sont des écritures de quotients. Elles permettent de représenter des parts, des rapports, des proportions, des vitesses, des échelles ou encore des probabilités. Savoir les multiplier et les diviser est donc indispensable pour résoudre des problèmes numériques et concrets.

La difficulté principale n’est pas seulement de connaître une formule. Il faut comprendre ce que signifie l’opération, repérer le numérateur et le dénominateur, transformer correctement une division en multiplication par l’inverse, vérifier que l’on ne divise jamais par zéro, puis simplifier le résultat. On utilisera la routine suivante : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère l’opération et les signes ; j’applique la règle adaptée ; je vérifie la simplification, le signe et la cohérence du résultat.

2. Définition

Définition : Une fraction est une écriture de la forme a/b, où a et b sont des nombres, avec b ≠ 0. Le nombre a est le numérateur et le nombre b est le dénominateur. Multiplier deux fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a/b × c/d = (a × c)/(b × d), avec b ≠ 0 et d ≠ 0. Diviser par une fraction non nulle consiste à multiplier par son inverse : a/b ÷ c/d = a/b × d/c, avec b ≠ 0, d ≠ 0 et c ≠ 0.

Le mot repère important est inverse. On peut le découper ainsi : in-ver-se. L’inverse de 3/7 est 7/3, car on échange le numérateur et le dénominateur. Attention : seule une fraction non nulle possède un inverse. Ainsi, 0 n’a pas d’inverse, car on ne peut pas diviser par 0.

Dans l’écriture a/b, il faut toujours vérifier que le dénominateur n’est pas nul. Dans une division comme a/b ÷ c/d, la fraction c/d est le diviseur. Elle doit être non nulle. Si c = 0, alors c/d = 0, et la division est impossible. Cette condition est essentielle, même si elle est parfois oubliée dans les calculs simples.

La règle de multiplication peut se retenir par la phrase : numérateur avec numérateur, dénominateur avec dénominateur. La règle de division peut se retenir par : diviser = multiplier par l’inverse. Ces deux automatismes doivent toujours être accompagnés d’une vérification du signe et d’une simplification.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres a, b, c et d avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a : a/b × c/d = (a × c)/(b × d). Si de plus c ≠ 0, alors a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c).

Ces propriétés permettent de calculer efficacement avec des fractions. Elles s’appliquent aussi aux fractions négatives, à condition de respecter les règles de signes des nombres relatifs. Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

On peut également utiliser la simplification. Simplifier une fraction, c’est diviser son numérateur et son dénominateur par un même facteur non nul. Par exemple, 18/24 = 3/4, car on divise 18 et 24 par 6. Dans un produit de fractions, il est souvent plus rapide de simplifier avant de multiplier. On parle parfois de simplification croisée : on simplifie un numérateur avec un dénominateur, même s’ils ne sont pas dans la même fraction.

Exemple : 6/35 × 14/9. On peut simplifier 14 et 35 par 7, ce qui donne 2 et 5. On peut simplifier 6 et 9 par 3, ce qui donne 2 et 3. Le calcul devient 2/5 × 2/3 = 4/15. Cette méthode évite de calculer 84/315 puis de chercher une grande simplification.

Les propriétés de multiplication sont compatibles avec les propriétés usuelles : la multiplication est commutative et associative. Ainsi, on peut modifier l’ordre des facteurs dans un produit de fractions. En revanche, la division n’est pas commutative : 2/3 ÷ 5/4 n’est pas égal à 5/4 ÷ 2/3. Il faut donc bien identifier la fraction qui suit le symbole ÷ : c’est elle que l’on inverse.

4. Démonstration

On peut justifier la règle de multiplication à partir du sens de la fraction comme quotient. Écrire a/b signifie a ÷ b, avec b ≠ 0. Multiplier a/b par c/d revient à multiplier deux quotients. Pour obtenir le résultat, on regroupe les facteurs du numérateur et ceux du dénominateur : a/b × c/d = (a × c)/(b × d). Cette règle est cohérente avec les exemples de partage : prendre 2/3 de 3/5 d’une quantité revient à découper l’unité selon les deux dénominateurs et à compter les parts correspondantes.

Illustrons avec une aire. On prend un rectangle représentant l’unité. On en garde 3/5 dans un sens, puis 2/3 de cette partie dans l’autre sens. Le rectangle est alors partagé en 5 × 3 = 15 petites zones égales. Les zones sélectionnées sont 3 × 2 = 6. La fraction obtenue est donc 6/15, soit 2/5. Cela correspond bien à 3/5 × 2/3 = 6/15 = 2/5.

Pour la division, on utilise la notion d’inverse. Deux nombres non nuls sont inverses si leur produit vaut 1. Par exemple, 4/7 × 7/4 = 28/28 = 1. Diviser par un nombre non nul revient à chercher le facteur qui donne le dividende. Or multiplier par l’inverse produit exactement le même effet. Ainsi, diviser par c/d revient à multiplier par d/c, à condition que c/d soit non nul.

On vérifie par le calcul : si x = a/b ÷ c/d, alors x × c/d = a/b. Pour isoler x, on multiplie par d/c, l’inverse de c/d. On obtient x = a/b × d/c. Cette transformation explique pourquoi on inverse seulement la seconde fraction, celle qui est le diviseur. Inverser la première fraction changerait le problème et donnerait en général un résultat faux.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’opération. Si le symbole est ×, j’utilise la règle de multiplication. Si le symbole est ÷ ou si l’énoncé demande « combien de fois », je pense à la division.
2. Je repère les signes. Avant de calculer, je détermine si le résultat sera positif ou négatif. Deux signes identiques donnent un résultat positif ; deux signes différents donnent un résultat négatif.
3. Pour une multiplication, j’écris la formule. a/b × c/d = (a × c)/(b × d). Je multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
4. Pour une division, je transforme. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. J’inverse uniquement la fraction qui suit le symbole ÷. Je vérifie que le diviseur n’est pas nul.
5. Je simplifie avant si possible. Je cherche des facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur. Cela rend les calculs plus courts et limite les erreurs.
6. Je calcule. Après les simplifications, je multiplie les nombres restants au numérateur et au dénominateur.
7. Je simplifie après si nécessaire. Le résultat final doit être donné sous forme de fraction simplifiée, sauf consigne contraire.
8. Je vérifie la cohérence. Je contrôle le signe, l’ordre de grandeur et l’absence de division par zéro.

Cette méthode correspond à la routine : 🔎 Je repère l’opération et les signes ; ✍️ J’applique la règle adaptée ; ✅ Je vérifie la simplification, le signe et les conditions de calcul. Elle doit devenir automatique, mais sans être mécanique : chaque étape a un sens.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculer et simplifier : 5/12 × 8/15.

On reconnaît une multiplication de fractions. On applique la règle : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. On peut écrire directement : 5/12 × 8/15 = (5 × 8)/(12 × 15).

Avant de multiplier, on cherche des simplifications croisées. Le nombre 5 se simplifie avec 15 : 5 ÷ 5 = 1 et 15 ÷ 5 = 3. Le nombre 8 se simplifie avec 12 : 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 4 = 3. Le calcul devient donc 1/3 × 2/3.

On multiplie : 1 × 2 = 2 et 3 × 3 = 9. Le résultat est 2/9. Cette fraction est déjà simplifiée, car 2 et 9 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

On peut vérifier en calculant sans simplifier d’abord : 5/12 × 8/15 = 40/180. En simplifiant 40/180 par 20, on obtient 2/9. Les deux méthodes donnent le même résultat, mais la simplification avant multiplication évite de manipuler des nombres plus grands.

Réponse : 5/12 × 8/15 = 2/9.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Calculer et simplifier : −7/10 ÷ 14/25.

On reconnaît une division de fractions. La règle est : diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse. La fraction qui suit le symbole ÷ est 14/25. Son inverse est 25/14. On transforme donc le calcul :

−7/10 ÷ 14/25 = −7/10 × 25/14.

On détermine d’abord le signe. Une fraction négative multipliée par une fraction positive donne un résultat négatif. Le résultat final sera donc négatif.

On simplifie avant de multiplier. Le nombre 25 se simplifie avec 10 par 5 : 25 ÷ 5 = 5 et 10 ÷ 5 = 2. Le nombre 7 se simplifie avec 14 par 7 : 7 ÷ 7 = 1 et 14 ÷ 7 = 2. Le calcul devient donc −1/2 × 5/2.

On multiplie les numérateurs : −1 × 5 = −5. On multiplie les dénominateurs : 2 × 2 = 4. Le résultat est −5/4. Cette fraction est simplifiée. On peut aussi l’écrire −1,25 en écriture décimale, mais l’écriture fractionnaire exacte est −5/4.

Réponse : −7/10 ÷ 14/25 = −5/4.

L’erreur classique serait d’inverser la première fraction et d’écrire −10/7 × 14/25. Ce calcul ne correspond pas à la division demandée. Il faut toujours inverser le diviseur, c’est-à-dire la fraction placée après le symbole ÷.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un agriculteur possède un terrain. Il utilise 3/5 de ce terrain pour cultiver des légumes. Parmi cette partie, 2/7 est réservé aux tomates. Quelle fraction du terrain total est réservée aux tomates ?

Le mot important est « parmi cette partie ». On cherche une fraction d’une fraction : 2/7 de 3/5. Cela correspond à une multiplication. On écrit donc : 2/7 × 3/5.

On applique la règle : 2/7 × 3/5 = (2 × 3)/(7 × 5) = 6/35. La fraction 6/35 est simplifiée, car 6 et 35 n’ont pas de facteur commun autre que 1.

Réponse : 6/35 du terrain total est réservé aux tomates.

Deuxième question : avec 6/35 du terrain pour les tomates, l’agriculteur découpe cette surface en parcelles de 1/70 du terrain total. Combien de parcelles peut-il faire ?

On cherche combien de fois 1/70 est contenu dans 6/35. Il s’agit d’une division : 6/35 ÷ 1/70. On transforme en multiplication par l’inverse : 6/35 × 70/1.

On simplifie : 70 ÷ 35 = 2. Le calcul devient 6 × 2 = 12. Donc 6/35 ÷ 1/70 = 12. L’agriculteur peut faire 12 parcelles.

Ce problème montre le lien entre le sens des opérations et les règles de calcul. Multiplier des fractions permet de prendre une partie d’une partie. Diviser des fractions permet de chercher un nombre de parts, de lots ou de groupes.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, par exemple écrire 3/4 ÷ 2/5 = 3 ÷ 2 / 4 ÷ 5. — À faire : Reformuler : diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse, donc 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2.
• Erreur : Inverser la première fraction au lieu de la seconde. — À faire : Encadrer la fraction qui suit le symbole ÷ : c’est le diviseur, et c’est elle que l’on inverse.
• Erreur : Oublier de simplifier le résultat final. — À faire : Chercher les facteurs communs avant et après le calcul. Utiliser les simplifications croisées quand c’est possible.
• Erreur : Se tromper dans le signe du résultat. — À faire : Déterminer le signe avant de calculer les valeurs numériques. Deux signes identiques donnent + ; deux signes différents donnent −.
• Erreur : Donner un inverse à 0 ou diviser par une fraction nulle. — À faire : Vérifier la condition de division : le diviseur doit être non nul. Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
• Erreur : Additionner ou soustraire les numérateurs et les dénominateurs dans une multiplication. — À faire : Distinguer les règles : pour multiplier, on multiplie ; pour additionner, il faut d’abord mettre au même dénominateur.

Ces erreurs proviennent souvent d’une application trop rapide des règles. Pour les éviter, il faut écrire au moins une ligne de transformation. Une division doit faire apparaître clairement la multiplication par l’inverse. Une multiplication doit faire apparaître les éventuelles simplifications. La présentation du calcul aide à contrôler la démarche.

10. À retenir

• Une fraction a/b représente un quotient, avec b ≠ 0.
• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a/b × c/d = (a × c)/(b × d).
• Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse : a/b ÷ c/d = a/b × d/c.
• L’inverse de c/d est d/c, à condition que c/d ≠ 0.
• On n’inverse jamais la première fraction dans une division : on inverse seulement le diviseur.
• Il est conseillé de simplifier avant de multiplier pour éviter de grands nombres.
• Le résultat final doit être simplifié lorsque c’est possible.
• Les règles de signes restent valables avec les fractions : même signe donne un résultat positif ; signes différents donnent un résultat négatif.
• On ne divise jamais par 0 et 0 n’a pas d’inverse.
• La routine efficace est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

En résumé, la multiplication de fractions est directe : numérateur avec numérateur, dénominateur avec dénominateur. La division demande une transformation préalable : on remplace la division par une multiplication par l’inverse. Dans les deux cas, la simplification et la gestion des signes sont indispensables pour obtenir un résultat correct.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Multiplication et division de fractions — 4e » au format PDF : multiplication-division-fractions-4e.pdf.

La fiche d’exercices peut proposer plusieurs types d’activités progressives. Dans « Compléter le tableau », l’élève calcule des produits et des quotients de fractions, puis simplifie les résultats. Dans « Vrai ou faux ? », il doit repérer des égalités correctes ou incorrectes, par exemple vérifier si 2/3 ÷ 5/7 = 2/3 × 7/5. Dans « Associer chaque calcul à son résultat », il entraîne la reconnaissance rapide de calculs équivalents.

L’activité « Traduire puis calculer » demande de transformer des phrases en opérations : « prendre les 3/4 des 8/9 d’une quantité » correspond à 3/4 × 8/9 ; « combien de morceaux de 1/6 peut-on faire avec 5/3 ? » correspond à 5/3 ÷ 1/6. Enfin, « Calculs enchaînés » permet de travailler la priorité des opérations et la présentation des étapes.

Pour évaluer une production, on peut utiliser le barème suivant : reconnaître l’opération à effectuer et transformer une division en multiplication par l’inverse : 4 points ; multiplier correctement les numérateurs et les dénominateurs : 4 points ; simplifier les fractions obtenues : 5 points ; gérer correctement les signes : 3 points ; présenter une démarche lisible et vérifier la cohérence du résultat : 4 points. Ce barème valorise autant la méthode que le résultat final.

12. Questions fréquentes