Multiplication et division de nombres relatifs

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans un ascenseur de chantier, on descend de 3 étages à chaque minute. Si le mouvement dure 5 minutes, quelle est la variation totale d’étage ? On peut traduire cette situation par le calcul 5 × (-3), car chaque minute correspond à une variation de -3. Le résultat est -15 : l’ascenseur descend de 15 étages. Mais si l’on décrit la situation en disant que l’on “retire” 5 fois une descente de 3 étages, on rencontre un calcul comme (-5) × (-3), qui donne +15. Ce résultat peut surprendre : pourquoi le produit de deux nombres négatifs est-il positif ?

En classe de 4e, conformément aux attendus du cycle 4 du BO 2018, on apprend à multiplier et à diviser des nombres relatifs. Un nombre relatif possède un signe, positif ou négatif, et une distance à zéro, c’est-à-dire sa valeur numérique sans le signe. Pour réussir les calculs, il faut donc savoir traiter séparément le signe du résultat et sa distance à zéro.

L’objectif de cette leçon est d’automatiser la règle des signes pour les produits et les quotients de nombres relatifs. Les expressions à connaître sont : (+a) × (+b) = +ab, (-a) × (-b) = +ab, (+a) × (-b) = -ab, et a ÷ b avec b ≠ 0. Le mot-repère est signes : mêmes signes, résultat positif ; signes différents, résultat négatif.

2. Définition

Définition : Multiplier ou diviser deux nombres relatifs consiste à déterminer d’abord le signe du résultat, puis à multiplier ou diviser leurs distances à zéro. Pour une division, le diviseur ne doit jamais être égal à 0 : dans l’écriture a ÷ b, on doit avoir b ≠ 0.

Un produit est le résultat d’une multiplication. Par exemple, dans (-6) × (+4), les nombres -6 et +4 sont les facteurs, et le résultat est le produit. Un quotient est le résultat d’une division. Par exemple, dans (-18) ÷ (+3), le résultat est le quotient.

La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre positif qui indique son éloignement de 0 sur une droite graduée. La distance à zéro de -7 est 7 ; la distance à zéro de +7 est aussi 7. Ainsi, -7 et +7 ont la même distance à zéro, mais ils n’ont pas le même signe.

Dans cette leçon, on distingue donc toujours deux étapes : le signe et la valeur numérique. Par exemple, pour calculer (-8) × (-5), on observe d’abord que les deux facteurs ont le même signe : le résultat sera positif. Ensuite, on calcule 8 × 5 = 40. Donc (-8) × (-5) = +40, que l’on peut aussi écrire 40.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs non nuls, si les deux nombres ont le même signe, le résultat est positif ; s’ils ont des signes différents, le résultat est négatif. Pour une division, le diviseur doit être différent de 0.

La règle des signes pour la multiplication se résume ainsi :

• Produit de deux positifs : (+a) × (+b) = +ab. Exemple : (+3) × (+4) = +12.
• Produit de deux négatifs : (-a) × (-b) = +ab. Exemple : (-3) × (-4) = +12.
• Produit de signes différents : (+a) × (-b) = -ab et (-a) × (+b) = -ab. Exemple : (-3) × (+4) = -12.

La même règle s’applique pour la division :

• (+18) ÷ (+3) = +6, car les signes sont identiques.
• (-18) ÷ (-3) = +6, car les signes sont identiques.
• (-18) ÷ (+3) = -6, car les signes sont différents.
• (+18) ÷ (-3) = -6, car les signes sont différents.

Attention : on peut diviser par un nombre négatif, par exemple 12 ÷ (-4) = -3. En revanche, on ne peut jamais diviser par 0, car aucune multiplication par 0 ne permet de retrouver un nombre non nul.

4. Démonstration

La règle des signes peut se comprendre à partir de régularités dans des suites de produits. Observons les produits par -3 :

• 3 × (-3) = -9
• 2 × (-3) = -6
• 1 × (-3) = -3
• 0 × (-3) = 0

Quand le premier facteur diminue de 1, le résultat augmente de 3. Pour continuer la régularité, on obtient :

• (-1) × (-3) = +3
• (-2) × (-3) = +6
• (-3) × (-3) = +9

Cette observation explique pourquoi le produit de deux nombres négatifs est positif : il permet de conserver les règles habituelles de la multiplication, notamment la distributivité et la régularité des calculs.

On peut aussi utiliser la propriété selon laquelle l’opposé d’une somme est la somme des opposés. Comme 0 = 5 + (-5), on a :

0 × (-4) = [5 + (-5)] × (-4).

Par distributivité, cela donne 0 = 5 × (-4) + (-5) × (-4). Or 5 × (-4) = -20. Il faut donc que (-5) × (-4) soit +20 pour que la somme soit égale à 0. Ainsi, (-5) × (-4) = +20.

Pour la division, on utilise le lien entre multiplication et division. Dire que (-20) ÷ (+5) = -4 signifie que (+5) × (-4) = -20. De même, dire que (-20) ÷ (-5) = +4 signifie que (-5) × (+4) = -20. La règle des signes du quotient est donc cohérente avec celle du produit.

5. Méthode pas à pas

Pour automatiser les calculs, on utilise la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. 👀 Je repère : j’observe le signe de chaque nombre. Je distingue le signe de la distance à zéro. Par exemple, dans (-42) ÷ (+7), les signes sont - et +, donc ils sont différents.
2. ⚙️ J’applique : j’applique la règle des signes. Mêmes signes : résultat positif. Signes différents : résultat négatif. Ensuite seulement, je calcule les distances à zéro. Ici, 42 ÷ 7 = 6.
3. ✅ Je vérifie : je contrôle que le résultat a le bon signe et que la valeur numérique est cohérente. Dans l’exemple, signes différents donc résultat négatif : (-42) ÷ (+7) = -6.

Cette méthode est très importante car de nombreuses erreurs viennent d’un calcul fait dans le mauvais ordre. Si l’on calcule d’abord 42 ÷ 7 = 6 puis que l’on oublie le signe, le résultat devient incomplet. Il est donc conseillé, au début de l’apprentissage, d’écrire explicitement le signe + devant les résultats positifs : +12, +35, +6. Cela aide à visualiser la règle des signes.

Pour un produit contenant plus de deux facteurs, on peut compter le nombre de facteurs négatifs. Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif ; s’il est impair, le produit est négatif. Par exemple, (-2) × (-3) × (-4) contient trois facteurs négatifs, donc le résultat est négatif. La distance à zéro vaut 2 × 3 × 4 = 24, donc le produit vaut -24.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculer A = (-6) × (-5).

Étape 1 : repérer les signes. Les deux facteurs sont négatifs : -6 et -5. Ils ont donc le même signe.

Étape 2 : appliquer la règle des signes. Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le résultat sera donc positif.

Étape 3 : calculer les distances à zéro. La distance à zéro de -6 est 6, et celle de -5 est 5. On calcule 6 × 5 = 30.

Conclusion : A = (-6) × (-5) = +30, donc A = 30.

On peut comparer avec une addition pour éviter une confusion fréquente : (-6) + (-5) = -11, alors que (-6) × (-5) = +30. Les règles de l’addition et de la multiplication de nombres relatifs ne sont pas les mêmes.

Autre calcul direct : B = (+8) × (-7). Les signes sont différents, donc le résultat est négatif. On calcule 8 × 7 = 56. Donc B = -56.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On cherche le nombre manquant dans l’égalité : (-9) × ? = +63.

Étape 1 : analyser le signe. Le premier facteur est négatif. Le produit est positif. Pour obtenir un produit positif avec un facteur négatif, l’autre facteur doit être négatif, car le produit de deux nombres de même signe est positif.

Étape 2 : calculer la distance à zéro. On cherche le nombre qui, multiplié par 9, donne 63. Comme 9 × 7 = 63, la distance à zéro du facteur manquant est 7.

Conclusion : le nombre manquant est -7, car (-9) × (-7) = +63.

On peut résoudre le même type de question avec une division. Par exemple : ? ÷ (-4) = -8. Le quotient est négatif et le diviseur est négatif. Pour obtenir un quotient négatif, le dividende doit être positif, car les signes doivent être différents. Ensuite, on cherche la distance à zéro : 8 × 4 = 32. Donc le nombre manquant est +32, car (+32) ÷ (-4) = -8.

Ce type de situation montre que la règle des signes ne sert pas seulement à calculer un résultat : elle sert aussi à reconstruire un calcul.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un plongeur descend à vitesse constante de 4 mètres par minute. On note une descente par un nombre négatif. Quelle est sa variation d’altitude après 6 minutes ?

Traduction mathématique : chaque minute correspond à une variation de -4 mètres. En 6 minutes, la variation totale est 6 × (-4).

Calcul du signe : les signes sont différents : +6 et -4. Le résultat est donc négatif.

Calcul de la distance à zéro : 6 × 4 = 24.

Réponse : 6 × (-4) = -24. Le plongeur a une variation d’altitude de -24 mètres : il est descendu de 24 mètres.

Deuxième situation : une dette diminue de 7 € chaque semaine pendant 5 semaines. Si l’on modélise la dette par un nombre négatif, diminuer une dette revient à enlever du négatif. La variation peut se représenter par (-5) × (-7) = +35 : la situation financière s’améliore de 35 €.

Dans les problèmes concrets, les mots indicateurs aident à choisir le signe : descend, baisse, perd, recule indiquent souvent une variation négative ; monte, gagne, augmente, remonte indiquent souvent une variation positive. Il faut toutefois toujours vérifier le sens de la situation.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire un résultat négatif pour (-6) × (-5). — À faire : revenir à la règle : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, donc (-6) × (-5) = +30.
• Erreur : calculer correctement 8 × 7 mais oublier le signe. — À faire : imposer l’ordre de la routine : signe d’abord, distance à zéro ensuite.
• Erreur : confondre multiplication et addition de relatifs. — À faire : comparer deux exemples : (-5) + (-3) = -8, mais (-5) × (-3) = +15.
• Erreur : se tromper dans les divisions simples. — À faire : retravailler les couples multiplication-division : 6 × 7 = 42, donc 42 ÷ 6 = 7 et 42 ÷ 7 = 6.
• Erreur : ne pas savoir modéliser un problème court. — À faire : souligner les mots indicateurs : descend, baisse, perd, remonte, gagne, puis traduire par un calcul.
• Erreur : croire que l’on ne peut pas diviser par un nombre négatif. — À faire : retenir que diviser par un nombre négatif est autorisé ; seule la division par 0 est impossible.

10. À retenir

• Un nombre relatif possède un signe et une distance à zéro.
• Pour multiplier deux nombres relatifs, on détermine d’abord le signe du produit, puis on multiplie les distances à zéro.
• Pour diviser deux nombres relatifs, on détermine d’abord le signe du quotient, puis on divise les distances à zéro.
• Mêmes signes : résultat positif. Par exemple, (-3) × (-4) = +12 et (-18) ÷ (-3) = +6.
• Signes différents : résultat négatif. Par exemple, (-3) × (+4) = -12 et (-18) ÷ (+3) = -6.
• On peut écrire +20 ou simplement 20 : le signe + est facultatif devant un nombre positif.
• On ne peut jamais diviser par 0. Dans a ÷ b, il faut toujours b ≠ 0.
• La routine efficace est : je repère les signes, j’applique la règle, je vérifie la cohérence du résultat.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : multiplication et division de nombres relatifs en 4e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à la règle des signes, aux produits de nombres relatifs et aux quotients de nombres relatifs.

Les exercices proposés peuvent prendre plusieurs formes : compléter le tableau des signes, calculer des produits comme (-8) × (+6), reconstruire le calcul en trouvant un facteur manquant, traduire puis calculer une situation, et résoudre des problèmes courts liés à des gains, des pertes, des montées ou des descentes.

Pour s’autoévaluer, on peut utiliser le barème suivant sur 20 points : identifier correctement le signe du résultat, 4 points ; calculer correctement les distances à zéro, 4 points ; réussir les produits de nombres relatifs, 4 points ; réussir les quotients de nombres relatifs, 4 points ; rédiger un calcul adapté dans une situation-problème, 4 points.

Avant de consulter un corrigé, il est conseillé de relire chaque calcul en se posant trois questions : les signes sont-ils identiques ou différents ? La distance à zéro a-t-elle été correctement calculée ? Le résultat répond-il bien à la question posée ?

12. Questions fréquentes