Probabilités : événements et calcul avec issues équiprobables

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une boîte opaque, on place 20 jetons indiscernables au toucher. Certains sont rouges, d’autres bleus, verts ou jaunes. On tire un jeton au hasard, sans regarder. Avant de tirer, on peut se poser plusieurs questions : quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ? Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton rouge ? Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ou bleu ? Et celle de tirer un jeton qui est à la fois rouge et numéroté pair ?

Ces questions appartiennent au domaine des probabilités. En classe de 4e, on apprend à décrire une expérience aléatoire, à identifier ses issues possibles, à définir un événement, puis à calculer la probabilité de cet événement lorsque les issues sont équiprobables. Le mot « équiprobable » signifie que toutes les issues ont la même chance de se produire. Par exemple, lorsqu’on lance un dé équilibré à 6 faces, les issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont équiprobables.

L’objectif de cette leçon est de savoir calculer la probabilité d’un événement et celle de son événement contraire. On apprendra aussi à comprendre les expressions « A et B » et « A ou B », qui correspondent à l’intersection et à l’union de deux événements. Ces notions sont essentielles pour résoudre correctement des problèmes de hasard, mais aussi pour rédiger une réponse claire et mathématiquement correcte.

2. Définition

Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat, même si l’on connaît tous les résultats possibles. Chaque résultat possible s’appelle une issue. L’ensemble de toutes les issues possibles s’appelle l’univers de l’expérience. Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non lors de l’expérience ; il correspond à une ou plusieurs issues favorables.

Par exemple, si l’on lance un dé équilibré à 6 faces, l’univers est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. L’événement A : « obtenir un nombre pair » correspond aux issues favorables 2, 4 et 6. L’événement B : « obtenir un nombre supérieur à 4 » correspond aux issues favorables 5 et 6.

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire, on dit qu’elles sont équiprobables. Dans ce cas, la probabilité d’un événement A se calcule avec la formule :

Probabilité d’un événement : P(A) = nombre d’issues favorables à A ÷ nombre d’issues possibles.

On peut aussi écrire cette formule sous forme de fraction : P(A) = nombre d’issues favorables / nombre d’issues possibles. Par exemple, si 6 issues favorables sur 20 issues possibles réalisent l’événement A, alors P(A) = 6/20 = 3/10 = 0,3.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une expérience aléatoire à issues équiprobables, la probabilité d’un événement A est égale au quotient du nombre d’issues favorables à A par le nombre total d’issues possibles : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.

Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Une probabilité égale à 0 correspond à un événement impossible. Une probabilité égale à 1 correspond à un événement certain. Plus une probabilité est proche de 1, plus l’événement a de chances de se réaliser.

Théorème : Si A est un événement, alors son événement contraire, noté non A, se réalise exactement quand A ne se réalise pas. On a toujours : P(A) + P(non A) = 1, donc P(non A) = 1 - P(A).

Par exemple, si la probabilité de tirer une boule rouge est 0,35, alors la probabilité de ne pas tirer une boule rouge est 1 - 0,35 = 0,65.

Pour deux événements A et B, on utilise aussi les mots « et » et « ou ». L’événement « A et B » correspond aux issues communes à A et à B : c’est l’intersection. L’événement « A ou B » correspond aux issues appartenant à A, à B, ou aux deux : c’est l’union. En mathématiques, le mot « ou » est inclusif : il signifie « l’un, l’autre, ou les deux ».

4. Démonstration

Commençons par expliquer pourquoi, en situation d’équiprobabilité, la formule P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles est cohérente. Supposons qu’une expérience possède 10 issues possibles et que ces 10 issues soient équiprobables. Comme elles ont toutes la même chance de se produire et qu’une issue se produira forcément, la somme de leurs probabilités vaut 1. Chaque issue a donc une probabilité égale à 1/10.

Si un événement A est réalisé par 3 issues favorables, alors sa probabilité est la somme des probabilités de ces 3 issues. On obtient donc P(A) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10. On retrouve bien la formule : 3 issues favorables sur 10 issues possibles.

Montrons maintenant pourquoi P(A) + P(non A) = 1. L’événement A et son contraire non A se complètent parfaitement. Pour chaque issue possible, il n’y a que deux cas : soit l’issue réalise A, soit elle ne réalise pas A. Une issue ne peut pas être à la fois dans A et dans non A. Les deux événements ne se chevauchent donc pas, mais ils couvrent toutes les issues possibles.

Ainsi, les issues favorables à A et les issues favorables à non A forment ensemble tout l’univers. Comme la probabilité totale de l’univers vaut 1, on a forcément P(A) + P(non A) = 1. En retranchant P(A) aux deux membres, on obtient P(non A) = 1 - P(A).

5. Méthode pas à pas

Pour résoudre un exercice de probabilités en 4e, on peut suivre la routine : « Je repère / J’applique / Je vérifie ». Cette méthode évite de confondre les issues possibles, les issues favorables et les événements contraires.

1. Je repère l’expérience aléatoire. Je me demande ce que l’on fait : lancer un dé, tirer une carte, choisir une boule, faire tourner une roue, tirer un jeton, etc.
2. Je liste toutes les issues possibles. C’est l’univers de l’expérience. Il faut compter toutes les possibilités, sans oubli et sans doublon.
3. Je vérifie l’équiprobabilité. La formule « favorable sur total » s’utilise seulement si toutes les issues ont la même chance de se produire.
4. J’identifie l’événement demandé. Je traduis la phrase de l’énoncé en condition mathématique. Par exemple : « obtenir un nombre pair », « tirer une carte rouge », « ne pas obtenir 6 ».
5. Je compte les issues favorables. Je ne compte que les issues qui réalisent l’événement demandé.
6. J’applique la formule. En équiprobabilité : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.
7. Je simplifie si possible. Par exemple, 6/20 = 3/10. On peut aussi donner une écriture décimale : 3/10 = 0,3.
8. Pour un événement contraire, j’utilise la relation. P(non A) = 1 - P(A). Je peux aussi compter directement les issues qui ne réalisent pas A.
9. Je vérifie le résultat. La probabilité doit être comprise entre 0 et 1. Si j’ai calculé A et non A, leur somme doit être égale à 1.

Phrase modèle à retenir : « Je compte les issues favorables, je les place au numérateur ; je compte toutes les issues possibles, je les place au dénominateur. » Autrement dit : favorable sur total.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. On considère l’événement A : « obtenir un nombre pair ». Calculer P(A).

L’expérience aléatoire est le lancer d’un dé équilibré. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il y a donc 6 issues possibles. Comme le dé est équilibré, ces issues sont équiprobables.

L’événement A est : « obtenir un nombre pair ». Les nombres pairs parmi les issues possibles sont 2, 4 et 6. Il y a donc 3 issues favorables.

On applique la formule :

P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles = 3 ÷ 6 = 3/6 = 1/2.

La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc 1/2, c’est-à-dire 0,5. Cela signifie que, sur un très grand nombre de lancers, on peut s’attendre à obtenir environ une fois sur deux un nombre pair. Attention : cela ne veut pas dire que si l’on lance le dé deux fois, on obtiendra forcément une fois un nombre pair. Une probabilité décrit une chance théorique, pas une certitude sur quelques essais.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans une urne, il y a 12 boules indiscernables au toucher : 5 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule au hasard. On note A l’événement : « tirer une boule rouge ». Calculer P(A), puis P(non A).

Les issues sont les 12 boules de l’urne. Comme elles sont indiscernables au toucher, on considère qu’elles sont équiprobables. L’événement A correspond au tirage d’une boule rouge. Il y a 5 boules rouges, donc 5 issues favorables sur 12 issues possibles.

On obtient :

P(A) = 5/12.

L’événement contraire non A est : « ne pas tirer une boule rouge ». Ici, cela signifie tirer une boule bleue, puisqu’il n’y a que des boules rouges et bleues. On peut calculer de deux façons.

Première méthode : utiliser l’événement contraire.

P(non A) = 1 - P(A) = 1 - 5/12 = 12/12 - 5/12 = 7/12.

Deuxième méthode : compter directement les issues favorables à non A. Il y a 7 boules bleues sur 12 boules au total, donc P(non A) = 7/12.

Les deux méthodes donnent le même résultat. On vérifie : P(A) + P(non A) = 5/12 + 7/12 = 12/12 = 1. Le calcul est cohérent.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Lors d’une tombola, 20 tickets sont placés dans une boîte. Les tickets sont numérotés de 1 à 20. Un seul ticket est tiré au hasard. On considère les événements suivants : A : « le numéro est multiple de 3 » et B : « le numéro est supérieur à 15 ». Calculer P(A), P(B), P(A et B), P(A ou B), puis P(non A).

Les issues possibles sont les 20 numéros de 1 à 20. Comme chaque ticket a la même chance d’être tiré, les issues sont équiprobables.

Pour A : les multiples de 3 entre 1 et 20 sont 3, 6, 9, 12, 15 et 18. Il y a 6 issues favorables. Donc P(A) = 6/20 = 3/10 = 0,3.

Pour B : les numéros supérieurs à 15 sont 16, 17, 18, 19 et 20. Il y a 5 issues favorables. Donc P(B) = 5/20 = 1/4 = 0,25.

Pour A et B : on cherche les issues communes aux deux événements. Il faut être à la fois multiple de 3 et supérieur à 15. Dans la liste de A, seul 18 est supérieur à 15. Donc A et B correspond à l’issue 18. On a P(A et B) = 1/20.

Pour A ou B : on cherche les issues qui appartiennent à A, à B, ou aux deux. On liste sans doublon : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 16, 17, 19, 20. Il y a 10 issues favorables. Donc P(A ou B) = 10/20 = 1/2.

Enfin, non A signifie : « le numéro n’est pas multiple de 3 ». On utilise la formule : P(non A) = 1 - P(A) = 1 - 3/10 = 7/10. On peut vérifier en comptant : sur 20 numéros, 6 sont multiples de 3, donc 14 ne le sont pas ; 14/20 = 7/10.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre les issues possibles et les issues favorables — À faire : écrire d’abord l’univers complet, puis entourer seulement les issues qui réalisent l’événement demandé.
• Erreur : mettre le mauvais dénominateur dans la fraction — À faire : se rappeler que le dénominateur est toujours le nombre total d’issues possibles en situation d’équiprobabilité.
• Erreur : écrire P(A) = total ÷ favorables — À faire : utiliser la phrase modèle : « favorable sur total ».
• Erreur : calculer P(non A) en reprenant le même numérateur que P(A) — À faire : utiliser P(non A) = 1 - P(A) et vérifier que P(A) + P(non A) = 1.
• Erreur : croire qu’une probabilité peut être supérieure à 1 — À faire : contrôler que le résultat est toujours compris entre 0 et 1.
• Erreur : confondre « A et B » avec « A ou B » — À faire : retenir que « A et B » signifie les issues communes, tandis que « A ou B » signifie les issues appartenant à A, à B, ou aux deux.
• Erreur : compter deux fois une issue dans un événement avec « ou » — À faire : écrire la liste complète des issues favorables sans doublon avant de calculer la probabilité.

10. À retenir

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat n’est pas prévisible avec certitude.
• Une issue est un résultat possible de l’expérience.
• Un événement est une condition réalisée par une ou plusieurs issues favorables.
• Lorsque toutes les issues sont équiprobables, on calcule : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• Un événement impossible a une probabilité égale à 0 ; un événement certain a une probabilité égale à 1.
• L’événement contraire de A, noté non A, se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas.
• On a toujours : P(A) + P(non A) = 1, donc P(non A) = 1 - P(A).
• « A et B » désigne les issues communes à A et à B : c’est l’intersection.
• « A ou B » désigne les issues appartenant à A, à B, ou aux deux : c’est l’union.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF pour s’entraîner sur les probabilités, les événements contraires, l’union et l’intersection.

Aperçu des types d’exercices proposés : identifier les issues favorables dans une expérience aléatoire ; calculer un événement contraire avec P(non A) = 1 - P(A) ; comprendre la différence entre « A et B » et « A ou B » ; recomposer un calcul de probabilité à partir d’une liste d’issues ; rédiger une solution complète avec phrase de conclusion.

Pour réussir ces exercices, il faut soigner la rédaction. Une solution complète doit préciser l’expérience, donner le nombre total d’issues, compter les issues favorables, écrire la fraction de probabilité, simplifier si possible et conclure par une phrase. Le barème peut valoriser : l’identification correcte des issues possibles, le comptage exact des issues favorables, l’écriture d’une fraction correcte, l’utilisation de P(non A) = 1 - P(A), et une conclusion claire avec une probabilité comprise entre 0 et 1.

12. Questions fréquentes