Puissances : notation et règles de calcul

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une bactérie se divise en deux toutes les heures. Au départ, il y a 1 bactérie. Après 1 heure, il y en a 2 ; après 2 heures, il y en a 2 × 2 = 4 ; après 3 heures, il y en a 2 × 2 × 2 = 8. Si l’on veut connaître le nombre de bactéries après 10 heures, écrire tout le produit devient long : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Les mathématiques utilisent alors une écriture plus courte : 2¹⁰. Cette écriture s’appelle une puissance.

En classe de 4e, conformément aux attendus du cycle 4, on apprend à comprendre la notation puissance, à reconnaître la base et l’exposant, puis à utiliser des règles de calcul simples. Les puissances permettent d’écrire de grands nombres, mais aussi de simplifier des calculs. Elles sont très utilisées dans les sciences, notamment avec les puissances de 10 pour exprimer des distances, des masses, des durées ou des quantités très grandes ou très petites.

La difficulté principale est de ne pas confondre une puissance avec une multiplication ordinaire. Par exemple, 2⁴ ne signifie pas 2 × 4, mais 2 × 2 × 2 × 2. De même, lorsqu’on multiplie deux puissances de même base, on ne multiplie pas les exposants : on les additionne. L’objectif de cette leçon est donc double : donner du sens à l’écriture aⁿ et apprendre à appliquer correctement les règles du produit et du quotient de puissances de même base.

2. Définition

Définition : Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul. La puissance aⁿ se lit « a puissance n » ou « a exposant n ». Elle désigne le produit de n facteurs tous égaux à a : aⁿ = a × a × ... × a, avec n facteurs. Dans cette écriture, a est la base et n est l’exposant.

Dans l’écriture 2⁴, le nombre 2 est la base : c’est le nombre répété dans le produit. Le nombre 4 est l’exposant : il indique combien de facteurs 2 apparaissent. Ainsi, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

Il faut bien distinguer la base et l’exposant. Dans 5³, la base est 5 et l’exposant est 3. Cela signifie : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. L’exposant ne multiplie pas la base ; il indique le nombre de répétitions de la base dans un produit.

On rencontre aussi les puissances de 10, très importantes pour écrire des nombres de façon compacte. Par exemple, 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 et 10⁶ = 1 000 000. L’exposant indique le nombre de facteurs 10. Pour les puissances de 10 à exposant entier positif, 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros : 10⁴ = 10 000.

Lorsque la base est négative, les parenthèses sont essentielles. Par exemple, (-2)⁴ signifie (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16. En revanche, -2⁴ signifie l’opposé de 2⁴, donc -16. Les deux écritures ne désignent pas le même nombre.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tout nombre a et pour tous entiers positifs m et n, on a : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Si a ≠ 0 et si m ≥ n, alors aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ces règles s’appliquent uniquement lorsque les puissances ont la même base.

La règle du produit de puissances de même base signifie que, lorsqu’on multiplie deux puissances ayant la même base, on conserve cette base et on additionne les exposants. Par exemple, 3² × 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷. On n’écrit pas 9⁷, car la base ne change pas : elle reste 3.

La règle du quotient de puissances de même base signifie que, lorsqu’on divise deux puissances ayant la même base non nulle, on conserve cette base et on soustrait les exposants. Par exemple, 10⁸ ÷ 10³ = 10⁸⁻³ = 10⁵. Ici, la base 10 reste la même, et on enlève trois facteurs 10 au numérateur.

La condition a ≠ 0 est indispensable pour le quotient, car on ne peut jamais diviser par zéro. Ainsi, une écriture comme 0⁵ ÷ 0² n’a pas de sens, puisque le diviseur 0² vaut 0.

Il est aussi important de vérifier que les bases sont identiques avant d’appliquer une règle. On peut simplifier 2³ × 2⁴ en 2⁷, car les deux bases sont 2. En revanche, on ne peut pas utiliser cette règle pour 2³ × 5⁴, car les bases 2 et 5 sont différentes.

4. Démonstration

Pour comprendre la règle du produit, il suffit de revenir à la définition d’une puissance. Prenons un exemple : 2³ × 2⁴. On développe chaque puissance sous forme de produit :

2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2).

Dans tout le produit, on compte alors sept facteurs égaux à 2. On peut donc écrire :

(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷.

Comme 7 = 3 + 4, on obtient 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷. Cette démonstration ne dépend pas du nombre choisi : si l’on multiplie aᵐ par aⁿ, on met bout à bout m facteurs égaux à a et n facteurs égaux à a. Au total, il y a m + n facteurs égaux à a. Donc aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Pour comprendre la règle du quotient, on utilise également l’écriture développée. Par exemple :

5⁶ ÷ 5² = (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5) ÷ (5 × 5).

Diviser par 5 × 5 revient à supprimer deux facteurs 5 communs, à condition que 5 ne soit pas nul. Il reste alors quatre facteurs 5 :

5⁶ ÷ 5² = 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴.

Comme 4 = 6 - 2, on obtient 5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴. De manière générale, si a ≠ 0 et si m ≥ n, alors aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Cette démonstration montre pourquoi on soustrait les exposants dans un quotient : on enlève des facteurs identiques.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’identifie la base et l’exposant dans chaque puissance. Par exemple, dans 7⁵, la base est 7 et l’exposant est 5.
2. Je vérifie les bases. Avant d’utiliser une règle de calcul, je regarde si les puissances ont la même base. La règle aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ne s’applique que si la base est identique.
3. J’identifie l’opération. Si c’est un produit, j’additionne les exposants. Si c’est un quotient, je soustrais les exposants, en vérifiant que la base n’est pas nulle.
4. Je conserve la base. Dans un produit ou un quotient de puissances de même base, la base ne change pas. Seuls les exposants sont modifiés.
5. J’écris le résultat sous forme de puissance. Par exemple, 4² × 4⁶ = 4⁸ et 9⁷ ÷ 9³ = 9⁴.
6. Je vérifie la cohérence. Pour un produit, l’exposant obtenu doit être plus grand que les exposants de départ. Pour un quotient, il doit être plus petit que l’exposant du numérateur si l’on divise par une puissance positive.
7. Je développe si j’ai un doute. En cas d’hésitation, je reviens à la définition : aⁿ = a × a × ... × a. Cela évite de confondre puissance et multiplication.

La routine à retenir est donc : je repère, j’applique, je vérifie. Je repère la base et l’exposant ; j’applique la règle adaptée ; je vérifie que la base n’a pas changé et que l’exposant obtenu correspond à l’opération.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut simplifier l’expression suivante : 3² × 3⁵.

Étape 1 : repérer les bases. Les deux puissances sont 3² et 3⁵. Elles ont la même base : 3.

Étape 2 : repérer l’opération. Il s’agit d’un produit. On utilise donc la règle : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Étape 3 : appliquer la règle. On conserve la base 3 et on additionne les exposants 2 et 5 :

3² × 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷.

Étape 4 : vérifier par développement. On peut écrire :

3² × 3⁵ = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3).

Il y a bien sept facteurs égaux à 3, donc le résultat est 3⁷. Si l’on veut calculer la valeur numérique, on obtient 3⁷ = 2 187. Mais dans beaucoup d’exercices, on demande seulement de réécrire sous forme d’une seule puissance.

Conclusion : 3² × 3⁵ = 3⁷. La base 3 a été conservée et les exposants ont été additionnés.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On veut écrire 10⁹ sous la forme d’un produit de deux puissances de 10, puis sous la forme d’un quotient.

Première question : écrire 10⁹ comme un produit. On cherche deux exposants dont la somme vaut 9, car dans un produit de puissances de même base, les exposants s’additionnent. Par exemple, 4 + 5 = 9. On peut donc écrire :

10⁹ = 10⁴ × 10⁵.

Il existe plusieurs réponses possibles : 10⁹ = 10² × 10⁷ ou encore 10⁹ = 10¹ × 10⁸. Toutes ces écritures sont correctes, car les exposants s’additionnent pour donner 9.

Deuxième question : écrire 10⁹ comme un quotient. On cherche deux exposants dont la différence vaut 9, car dans un quotient de puissances de même base, les exposants se soustraient. Par exemple, 12 - 3 = 9. On peut donc écrire :

10⁹ = 10¹² ÷ 10³.

On vérifie avec la règle : 10¹² ÷ 10³ = 10¹²⁻³ = 10⁹. La base 10 est non nulle, donc le quotient a bien un sens.

Ce type d’exercice est appelé « cas inverse » parce que l’on part du résultat pour retrouver une écriture possible. Il oblige à bien comprendre le rôle des exposants : addition pour un produit, soustraction pour un quotient.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un ordinateur effectue 10⁶ opérations par seconde. On veut savoir combien d’opérations il effectue en 10³ secondes, puis simplifier le résultat sous forme d’une puissance de 10.

Étape 1 : comprendre la situation. L’ordinateur effectue 10⁶ opérations chaque seconde. Pendant 10³ secondes, il répète cette quantité d’opérations 10³ fois. Le nombre total d’opérations est donc :

10⁶ × 10³.

Étape 2 : appliquer la règle du produit. Les deux puissances ont la même base : 10. Il s’agit d’un produit. On conserve donc la base 10 et on additionne les exposants :

10⁶ × 10³ = 10⁶⁺³ = 10⁹.

Étape 3 : interpréter le résultat. L’ordinateur effectue 10⁹ opérations. Or 10⁹ = 1 000 000 000. Il effectue donc un milliard d’opérations.

Les puissances de 10 permettent de manipuler plus facilement de très grands nombres. Au lieu d’écrire 1 000 000 000, on écrit 10⁹. Cette notation est plus courte, plus lisible et plus pratique pour les calculs. Elle prépare aussi à l’écriture scientifique, qui sera utilisée pour exprimer des mesures comme la distance Terre-Soleil, la taille d’une cellule ou la masse d’un objet microscopique.

On peut également rencontrer un quotient dans une situation concrète. Par exemple, si une mémoire contient 10⁸ octets et que chaque fichier occupe 10³ octets, le nombre de fichiers possibles est 10⁸ ÷ 10³ = 10⁵. On obtient 100 000 fichiers.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : calculer 2⁴ comme 2 × 4. — À faire : développer systématiquement : 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
• Erreur : écrire 3² × 3⁵ = 9⁷. — À faire : conserver la base commune 3 et additionner seulement les exposants : 3² × 3⁵ = 3⁷.
• Erreur : écrire 10⁸ ÷ 10³ = 10¹¹. — À faire : reconnaître un quotient et soustraire les exposants : 10⁸ ÷ 10³ = 10⁵.
• Erreur : oublier les parenthèses dans une puissance de nombre négatif. — À faire : distinguer (-2)⁴ = 16 et -2⁴ = -16.
• Erreur : simplifier 2³ × 5⁴ comme si les bases étaient identiques. — À faire : vérifier les bases avant toute règle ; ici, les bases 2 et 5 sont différentes.
• Erreur : croire que l’exposant indique le résultat final. — À faire : se rappeler que l’exposant indique le nombre de facteurs, pas la valeur de la puissance.

10. À retenir

• Une puissance est une écriture qui représente une multiplication répétée d’un même nombre.
• Dans aⁿ, le nombre a est la base et le nombre n est l’exposant.
• aⁿ = a × a × ... × a avec n facteurs égaux à a, lorsque n est un entier positif non nul.
• 2⁴ signifie 2 × 2 × 2 × 2, et non 2 × 4.
• Pour un produit de puissances de même base : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
• Pour un quotient de puissances de même base non nulle : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, avec a ≠ 0.
• Dans ces règles, la base ne change pas : seuls les exposants sont additionnés ou soustraits.
• Les règles de produit et de quotient ne s’appliquent que si les bases sont identiques.
• Les puissances de 10 permettent d’écrire rapidement de grands nombres : 10⁶ = 1 000 000.
• Les parenthèses sont importantes avec une base négative : (-3)² et -3² ne désignent pas la même expression.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les puissances en 4e.

La fiche d’exercices propose plusieurs types d’entraînements progressifs. Dans « Lire une puissance », il faut identifier la base et l’exposant, puis traduire l’écriture sous forme de phrase. Dans « Calculer des puissances simples », il faut développer puis calculer des puissances comme 2⁵, 4³ ou 10⁴. Dans « Réécrire sous forme de puissance », il faut transformer un produit répété en notation puissance, par exemple 7 × 7 × 7 × 7 = 7⁴.

Une autre partie porte sur les règles de calcul : utiliser le produit et le quotient de puissances de même base. On y trouve des expressions comme 5² × 5⁶, 10⁹ ÷ 10⁴ ou 8⁷ ÷ 8². Enfin, dans « Choisir la bonne écriture », il faut sélectionner l’égalité correcte parmi plusieurs propositions, ce qui permet de repérer les erreurs fréquentes.

Barème conseillé pour une évaluation courte sur 10 points : identifier correctement base et exposant : 2 points ; développer ou recomposer une puissance en produit : 2 points ; calculer des puissances numériques simples : 2 points ; appliquer la règle du produit de puissances de même base : 2 points ; appliquer la règle du quotient de puissances de même base non nulle : 2 points.

12. Questions fréquentes