Pyramide et cône : patrons et représentation

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut fabriquer une maquette en papier composée d’une pyramide régulière et d’un cône de révolution. Avant de découper et de coller, il faut dessiner les formes planes qui, une fois pliées ou enroulées, redonneront les solides. Ces formes planes s’appellent des patrons. La question centrale est donc : comment passer correctement d’un solide de l’espace à son patron dans le plan ?

En classe de 4e, cette notion permet de relier la géométrie dans l’espace et la géométrie plane. Une pyramide possède une base polygonale et des faces latérales triangulaires. Un cône possède une base circulaire et une surface latérale courbe. Quand on les déplie, on obtient des figures différentes : pour la pyramide, des polygones ; pour le cône, un disque et un secteur circulaire.

Le mot repère est déplier : dé-pli-er. Par exemple, une pyramide à base carrée se déplie en 1 carré et 4 triangles ; un cône de rayon 3 cm et de génératrice 6 cm se déplie en 1 disque et 1 secteur de 180°. Construire un patron, ce n’est pas seulement dessiner des formes : il faut respecter les longueurs qui seront collées ensemble.

L’objectif de cette leçon est de savoir construire le patron d’une pyramide régulière et d’un cône de révolution, mais aussi de reconnaître ces patrons, de les associer à leur solide et de les représenter en perspective cavalière lorsque c’est nécessaire.

2. Définition

Définition : Un patron d’un solide est une figure plane composée de plusieurs parties qui, après découpage, pliage ou enroulement, permet de reconstituer exactement ce solide sans chevauchement et sans trou.

Pour une pyramide régulière, la base est un polygone régulier : triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, hexagone régulier, etc. Toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques. Le sommet principal de la pyramide est relié à tous les sommets de la base par des arêtes latérales de même longueur.

Définition : Le patron d’une pyramide régulière est composé d’une base régulière et d’autant de triangles isocèles identiques qu’il y a de côtés à la base.

Par exemple, une pyramide régulière à base carrée possède 1 carré et 4 triangles isocèles identiques. Une pyramide régulière à base pentagonale possède 1 pentagone régulier et 5 triangles isocèles identiques.

Pour un cône de révolution, la base est un disque. La surface latérale, lorsqu’elle est dépliée, devient un secteur circulaire. La longueur oblique allant du sommet du cône à un point du cercle de base s’appelle la génératrice. Dans le patron du cône, cette génératrice devient le rayon du secteur circulaire.

Définition : Le patron d’un cône de révolution est composé d’un disque de base et d’un secteur circulaire dont le rayon est la génératrice du cône.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans le patron d’un cône de révolution, l’arc du secteur circulaire a la même longueur que le périmètre du disque de base.

Cette propriété est essentielle : lorsque le secteur circulaire est enroulé pour former la surface latérale du cône, son arc vient exactement se coller autour du disque de base. Il ne doit être ni trop long, ni trop court.

Si le rayon de la base du cône est noté r et si la génératrice est notée g, alors :

• le périmètre du disque de base est 2πr ;
• le rayon du secteur circulaire est g ;
• la longueur de l’arc du secteur doit être 2πr.

Théorème : Pour construire le patron d’un cône de rayon de base r et de génératrice g, l’angle α du secteur circulaire vérifie : α = 360 × r ÷ g.

Cette formule est très utile en construction. Elle permet de connaître l’angle du secteur circulaire à tracer au rapporteur. Comme le rayon de base r est inférieur ou égal à la génératrice g, l’angle α est inférieur ou égal à 360°. Si r = g, le secteur est un disque entier, ce qui correspond à un cas limite.

Pour une pyramide régulière, il n’y a pas de formule d’angle unique à connaître au collège pour construire le patron. La propriété importante est la suivante : toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques, et la base de chaque triangle correspond à un côté de la base de la pyramide.

4. Démonstration

On démontre la formule de l’angle du secteur circulaire du cône en comparant deux longueurs. Le patron du cône contient un disque de base de rayon r et un secteur circulaire de rayon g. Quand on referme le patron, l’arc du secteur circulaire se place exactement autour du disque de base.

Le périmètre du disque de base vaut 2πr. C’est la longueur du cercle qui borde la base du cône. L’arc du secteur circulaire doit donc aussi mesurer 2πr.

Or un cercle complet de rayon g a pour longueur 2πg. Un secteur circulaire d’angle α représente une fraction du cercle complet. Cette fraction est α ÷ 360, puisque 360° correspond au tour complet. La longueur de l’arc du secteur est donc :

(α ÷ 360) × 2πg.

Comme cette longueur doit être égale au périmètre de la base, on écrit :

(α ÷ 360) × 2πg = 2πr.

On peut simplifier par 2π, car cette quantité est présente des deux côtés de l’égalité. On obtient :

(α ÷ 360) × g = r.

On cherche α. On multiplie par 360, puis on divise par g :

α = 360 × r ÷ g.

Cette démonstration montre aussi pourquoi il ne faut pas inverser r et g. Si on écrivait 360 × g ÷ r, on obtiendrait souvent un angle supérieur à 360°, ce qui ne peut pas correspondre au patron d’un cône ordinaire.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir une construction de patron pyramide cône 4e, on peut appliquer la routine suivante : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère le solide. Je regarde s’il s’agit d’une pyramide régulière ou d’un cône de révolution. Je distingue la base, les faces latérales ou la surface latérale.
2. Je repère les données utiles. Pour une pyramide, je cherche le nombre de côtés de la base, la longueur d’un côté de base et la longueur d’une arête latérale. Pour un cône, je cherche le rayon de base r et la génératrice g.
3. Je construis la base. Pour une pyramide régulière, je trace le polygone régulier demandé : carré, triangle équilatéral, pentagone, etc. Pour un cône, je trace le disque de base de rayon r.
4. Je construis les faces ou la surface latérale. Pour une pyramide, je construis sur chaque côté de la base un triangle isocèle identique. Pour un cône, je construis un secteur circulaire de rayon g.
5. Je calcule si nécessaire. Pour le cône, je calcule l’angle du secteur avec la formule α = 360 × r ÷ g.
6. J’utilise les bons instruments. La règle graduée sert à mesurer, le compas sert à reporter les longueurs, l’équerre peut aider pour un carré, et le rapporteur sert à tracer l’angle du secteur.
7. Je vérifie les collages. Les côtés qui doivent se rejoindre doivent avoir la même longueur. Dans le cône, l’arc du secteur doit correspondre au périmètre du disque de base.
8. Je soigne la représentation. Si on demande une représentation en perspective, les arêtes cachées sont souvent tracées en pointillés et les arêtes visibles en trait plein.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut construire le patron d’une pyramide régulière à base carrée. Le côté de la base mesure 4 cm et les arêtes latérales mesurent 6 cm.

Étape 1 : identifier le solide. Il s’agit d’une pyramide régulière. Sa base est un carré. Comme un carré possède 4 côtés, il y aura 4 faces latérales triangulaires.

Étape 2 : construire la base. On trace un carré de côté 4 cm. Ce carré sera la base de la pyramide.

Étape 3 : construire un triangle latéral. Sur un côté du carré, on doit construire un triangle isocèle dont la base mesure 4 cm et dont les deux autres côtés mesurent 6 cm. Avec le compas, on trace deux arcs de cercle de rayon 6 cm à partir des extrémités du côté choisi. Leur intersection donne le sommet du triangle.

Étape 4 : recommencer sur chaque côté. On construit le même triangle isocèle sur les quatre côtés du carré. Les triangles doivent être identiques, car la pyramide est régulière.

Étape 5 : vérifier. Le patron obtenu contient 1 carré et 4 triangles isocèles identiques. Chaque triangle a une base de 4 cm et deux côtés de 6 cm. Le patron est donc cohérent.

À retenir dans cet exemple : un seul triangle ne suffit pas. Pour une base carrée, il faut 4 triangles, car chaque côté du carré porte une face latérale.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On observe un patron composé d’un disque de rayon 3 cm et d’un secteur circulaire de rayon 6 cm et d’angle 180°. On veut retrouver le solide correspondant et vérifier que le patron est correct.

Étape 1 : reconnaître les éléments. Un disque accompagné d’un secteur circulaire fait penser au patron d’un cône de révolution. Le disque est la base. Le secteur circulaire forme la surface latérale.

Étape 2 : identifier les longueurs. Le rayon de la base est r = 3 cm. Le rayon du secteur est la génératrice, donc g = 6 cm.

Étape 3 : vérifier l’angle. On applique la formule :

α = 360 × r ÷ g = 360 × 3 ÷ 6 = 180°.

L’angle du secteur est bien 180°. Le patron est donc compatible avec un cône de révolution de rayon de base 3 cm et de génératrice 6 cm.

Étape 4 : interpréter. Le secteur correspond ici à un demi-disque de rayon 6 cm. Son arc mesure la moitié du périmètre d’un cercle de rayon 6 cm, soit 6π cm. Le périmètre du disque de base vaut 2π × 3 = 6π cm. Les deux longueurs sont égales : le collage est possible sans espace et sans recouvrement.

Cet exemple montre qu’un patron peut être lu dans les deux sens : on peut construire le patron à partir du solide, ou retrouver le solide à partir du patron.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une classe prépare des décorations pour une exposition. Chaque élève doit fabriquer un cône en papier ayant un rayon de base de 4 cm et une génératrice de 10 cm. On demande de construire le patron du cône.

Étape 1 : repérer les données. Le rayon de base est r = 4 cm. La génératrice est g = 10 cm. Le patron du cône sera composé d’un disque de rayon 4 cm et d’un secteur circulaire de rayon 10 cm.

Étape 2 : calculer l’angle du secteur. On utilise la formule :

α = 360 × r ÷ g.

Donc :

α = 360 × 4 ÷ 10 = 144°.

Étape 3 : tracer le disque de base. Avec le compas, on trace un cercle de rayon 4 cm. On peut colorier légèrement l’intérieur pour se rappeler qu’il s’agit du disque de base.

Étape 4 : tracer le secteur circulaire. On trace un segment de longueur 10 cm. À partir de la même origine, on construit un angle de 144° au rapporteur. On trace ensuite le deuxième rayon de longueur 10 cm. Avec le compas réglé sur 10 cm, on trace l’arc reliant les deux extrémités.

Étape 5 : vérifier la cohérence. L’arc du secteur doit correspondre au périmètre du disque de base. Le périmètre de la base vaut 2π × 4 = 8π cm. L’arc du secteur représente 144 ÷ 360 du cercle de rayon 10 cm, donc sa longueur vaut (144 ÷ 360) × 2π × 10 = 8π cm. Les longueurs correspondent.

Dans un travail de fabrication, on peut ajouter de petites languettes de collage. Elles ne font pas partie du patron mathématique strict, mais elles peuvent être utiles pour assembler le modèle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : dessiner un triangle unique pour le patron d’une pyramide à base carrée — À faire : compter les côtés de la base : une base carrée implique 4 faces latérales triangulaires.
• Erreur : utiliser un rectangle pour représenter la surface latérale du cône — À faire : se souvenir que le cylindre a un rectangle et deux disques, tandis que le cône a un secteur circulaire et un disque.
• Erreur : prendre le rayon de base comme rayon du secteur du cône — À faire : identifier la génératrice : elle devient le rayon du secteur circulaire.
• Erreur : calculer l’angle avec 360 × g ÷ r — À faire : appliquer la formule correcte α = 360 × r ÷ g et vérifier que l’angle est inférieur ou égal à 360°.
• Erreur : tracer des triangles latéraux de tailles différentes pour une pyramide régulière — À faire : utiliser le compas pour reporter les arêtes latérales et vérifier que les triangles sont identiques.
• Erreur : confondre hauteur du cône et génératrice — À faire : repérer que la hauteur est perpendiculaire à la base, alors que la génératrice est le côté oblique du cône.
• Erreur : oublier que les traits cachés existent dans une représentation en perspective — À faire : tracer les arêtes cachées en pointillés lorsque la consigne le demande.

10. À retenir

• Un patron est une figure plane qui permet de reconstruire un solide par pliage ou enroulement.
• Le patron d’une pyramide régulière est composé d’une base régulière et de triangles isocèles identiques.
• Il y a autant de triangles latéraux que de côtés de la base de la pyramide.
• Le patron d’un cône de révolution est composé d’un disque de base et d’un secteur circulaire.
• Dans le patron du cône, le rayon du secteur circulaire est la génératrice g du cône.
• L’arc du secteur circulaire doit avoir la même longueur que le périmètre du disque de base.
• La formule de l’angle du secteur est : α = 360 × r ÷ g, où r est le rayon de la base et g la génératrice.
• Une représentation en perspective permet de dessiner un solide sur une feuille, mais elle ne donne pas toujours les vraies longueurs.
• Pour réussir une construction, il faut repérer, appliquer, puis vérifier les longueurs qui se collent.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche PDF d’exercices : patrons de pyramides régulières et de cônes de révolution. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à reconnaître, construire et vérifier des patrons. Elle correspond aux attendus du cycle 4 : représenter l’espace, utiliser les instruments de géométrie, raisonner avec des longueurs et communiquer une construction.

Types d’exercices proposés :

• Associer solide et patron : reconnaître si une figure plane correspond à une pyramide régulière, à un cône, à un cylindre ou à un autre solide.
• Vrai ou faux ? vérifier des affirmations comme : « le patron d’un cône contient un rectangle » ou « une pyramide à base pentagonale possède 5 faces latérales ».
• Recomposer un patron : compléter un patron incomplet en ajoutant les triangles manquants ou le secteur circulaire adapté.
• Calculer pour construire : déterminer l’angle du secteur circulaire avec α = 360 × r ÷ g.
• Décrire une construction : rédiger les étapes précises pour construire le patron d’une pyramide régulière ou d’un cône.

Barème possible sur 20 points : identifier les éléments d’un patron de pyramide ou de cône, 4 pts ; associer correctement les faces ou surfaces au solide, 4 pts ; calculer l’angle d’un secteur circulaire de cône, 4 pts ; décrire une construction géométrique précise, 4 pts ; utiliser le vocabulaire et vérifier la cohérence du patron, 4 pts.

12. Questions fréquentes