Pyramide et cône : volume

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une classe de 4e prépare une maquette d’exposition. Les élèves doivent fabriquer deux solides : une pyramide à base carrée pour représenter un toit ancien, et un cône de révolution pour représenter une tour pointue. Pour choisir la quantité de matériau de remplissage, il faut connaître le volume de chaque solide. On sait déjà calculer le volume d’un pavé droit, d’un prisme droit ou d’un cylindre. Mais une pyramide et un cône ne remplissent pas tout l’espace comme un prisme ou un cylindre : ils se terminent en pointe. La question est donc : comment calculer précisément le volume d’une pyramide ou d’un cône ?

En classe de 4e, conformément aux attendus du cycle 4, l’objectif est de savoir reconnaître le solide, identifier sa base, repérer sa hauteur perpendiculaire, calculer éventuellement l’aire de la base, puis appliquer une formule de volume. La formule à mémoriser est commune aux pyramides et aux cônes : V = aire de base × hauteur ÷ 3. Autrement dit, une pyramide ou un cône occupe le tiers du volume du prisme ou du cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Par exemple, si l’aire de base vaut 24 cm² et si la hauteur vaut 5 cm, alors le volume est : V = 24 × 5 ÷ 3 = 120 ÷ 3 = 40 cm³. Le résultat s’exprime en unités cubiques, car un volume mesure une quantité d’espace.

2. Définition

Définition : Une pyramide est un solide dont une face est appelée base et dont les autres faces sont des triangles qui se rejoignent en un même point appelé sommet. Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit ; sa base est un disque et il possède un sommet.

Dans une pyramide, la base peut être un triangle, un carré, un rectangle, un pentagone ou un autre polygone. Les faces latérales sont des triangles. Lorsque la base est un polygone régulier et que le sommet est placé “au-dessus” du centre de la base, on parle souvent de pyramide régulière. Dans ce cas, les faces latérales sont organisées de façon symétrique.

Dans un cône de révolution, la base est toujours un disque. Le segment qui relie le sommet au centre de la base et qui est perpendiculaire au disque est la hauteur du cône. Il ne faut pas confondre cette hauteur avec la génératrice, qui est un segment oblique situé sur le côté du cône.

La hauteur perpendiculaire d’une pyramide ou d’un cône est la distance entre le sommet et le plan de la base. Elle doit former un angle droit avec la base. C’est cette longueur, et seulement celle-ci, qui intervient dans la formule du volume.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Le volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur. On écrit : V = (aire de base × hauteur) / 3.

Cette formule peut aussi s’écrire : V = aire de base × hauteur ÷ 3. Si on note B l’aire de la base et h la hauteur, alors : V = B × h ÷ 3. La lettre B représente une aire, par exemple en cm², et la lettre h représente une longueur, par exemple en cm. Le produit B × h donne alors des cm³, ce qui est bien une unité de volume.

Pour une pyramide, l’aire de base dépend de la forme de la base. Si la base est un carré de côté c, alors B = c². Si la base est un rectangle de longueur L et de largeur l, alors B = L × l. Si la base est un triangle, alors B = base du triangle × hauteur du triangle ÷ 2. La formule du volume reste ensuite la même : on multiplie l’aire de base par la hauteur de la pyramide, puis on divise par 3.

Pour un cône de révolution, la base est un disque. Si le rayon du disque est r, alors l’aire de base est : B = π × r². Le volume du cône est donc : V = π × r² × h ÷ 3. Attention : 2πr est la longueur du cercle, ce n’est pas l’aire du disque.

4. Démonstration

Au collège, la formule du volume d’une pyramide ou d’un cône est généralement admise ou illustrée par des expériences de remplissage. On peut cependant en comprendre le sens à l’aide d’une comparaison avec des solides déjà connus.

Imaginons un prisme droit et une pyramide ayant exactement la même base et la même hauteur. Si on remplit la pyramide avec du sable, puis que l’on verse ce sable dans le prisme, on constate qu’il faut trois pyramides identiques pour remplir le prisme. Cela signifie que le volume de la pyramide est égal au tiers du volume du prisme. Or le volume d’un prisme droit est : aire de base × hauteur. Donc le volume d’une pyramide correspondante est : aire de base × hauteur ÷ 3.

De la même manière, imaginons un cylindre et un cône de révolution ayant la même base circulaire et la même hauteur. Si le cône est rempli d’eau, puis versé dans le cylindre, il faut trois cônes pour remplir le cylindre. Le volume du cylindre est : aire du disque × hauteur, donc le volume du cône est le tiers de ce volume : aire de base × hauteur ÷ 3.

Cette comparaison permet de comprendre le mot repère : un tiers du prisme ou du cylindre associé. La base et la hauteur doivent être les mêmes pour que la comparaison soit valable.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le solide. Je vérifie s’il s’agit d’une pyramide ou d’un cône de révolution. Une pyramide a des faces latérales triangulaires ; un cône a une base circulaire et un sommet.
2. J’identifie la base. Pour une pyramide, la base est un polygone : carré, rectangle, triangle, etc. Pour un cône, la base est un disque.
3. Je calcule l’aire de base. Je choisis la formule adaptée : carré c², rectangle L × l, triangle b × h ÷ 2, disque π × r². L’aire de base s’exprime en cm², dm², m², etc.
4. Je repère la hauteur perpendiculaire. La hauteur du solide est la distance entre le sommet et la base. Elle est perpendiculaire à la base. Je ne la confonds pas avec une arête oblique ou avec la génératrice d’un cône.
5. J’applique la formule. J’écris : V = aire de base × hauteur ÷ 3. Je remplace ensuite par les valeurs numériques.
6. Je calcule avec soin. Je peux commencer par multiplier l’aire de base par la hauteur, puis diviser par 3. Si possible, je simplifie mentalement avant de calculer.
7. Je vérifie l’unité finale. Le volume s’exprime en unité cubique : cm³, dm³, m³. Si l’aire est en cm² et la hauteur en cm, le volume est en cm³.
8. Je rédige une phrase de conclusion. Par exemple : “Le volume de cette pyramide est 40 cm³.”

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère une pyramide dont la base est un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm. La hauteur de la pyramide est 6 cm. On veut calculer son volume.

Étape 1 : identifier la base. La base est un rectangle. Son aire vaut : B = longueur × largeur = 8 × 3 = 24 cm².

Étape 2 : repérer la hauteur. La hauteur perpendiculaire à la base est donnée : h = 6 cm.

Étape 3 : appliquer la formule. V = B × h ÷ 3. Donc V = 24 × 6 ÷ 3.

Étape 4 : calculer. 24 × 6 = 144, puis 144 ÷ 3 = 48. On peut aussi calculer 6 ÷ 3 = 2, puis 24 × 2 = 48.

Conclusion : le volume de la pyramide est 48 cm³.

Dans cet exemple, le calcul est direct car l’aire de base est facile à trouver. Il faut cependant bien penser à diviser par 3. Si on écrivait seulement 24 × 6 = 144 cm³, on calculerait le volume du prisme droit associé, pas celui de la pyramide.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère un cône de révolution dont le volume est 75π cm³. Sa hauteur est 9 cm. On cherche l’aire de sa base, puis le rayon du disque de base.

Étape 1 : écrire la formule. Pour un cône, V = B × h ÷ 3, où B est l’aire de la base.

Étape 2 : remplacer les valeurs connues. On sait que V = 75π cm³ et h = 9 cm. Donc : 75π = B × 9 ÷ 3.

Étape 3 : simplifier. 9 ÷ 3 = 3, donc 75π = 3B.

Étape 4 : isoler B. B = 75π ÷ 3 = 25π cm².

Étape 5 : retrouver le rayon. La base d’un cône est un disque, donc B = π × r². On a alors π × r² = 25π. En divisant par π, on obtient r² = 25. Donc r = 5 cm, car 5² = 25.

Conclusion : l’aire de la base est 25π cm² et le rayon du disque de base est 5 cm.

Ce cas est dit “inverse” car on ne cherche pas directement le volume : on utilise le volume pour retrouver une mesure. La formule reste la même, mais il faut raisonner sur les opérations inverses.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un artisan fabrique une décoration en forme de cône de révolution. Le diamètre de la base mesure 12 cm et la hauteur perpendiculaire mesure 15 cm. Il veut connaître le volume de résine nécessaire pour remplir entièrement ce cône.

Étape 1 : comprendre les données. Le diamètre de la base est 12 cm. Le rayon est donc la moitié du diamètre : r = 12 ÷ 2 = 6 cm. La hauteur du cône est h = 15 cm.

Étape 2 : calculer l’aire de base. La base est un disque. Son aire vaut : B = π × r² = π × 6² = π × 36 = 36π cm².

Étape 3 : appliquer la formule du volume. V = B × h ÷ 3 = 36π × 15 ÷ 3.

Étape 4 : calculer astucieusement. 15 ÷ 3 = 5, donc V = 36π × 5 = 180π cm³.

Étape 5 : donner une valeur approchée si nécessaire. Avec π ≈ 3,14, on obtient V ≈ 180 × 3,14 = 565,2 cm³.

Conclusion : l’artisan doit prévoir environ 565,2 cm³ de résine, soit exactement 180π cm³ si on garde l’écriture avec π.

Dans un problème concret, il faut faire attention aux informations cachées. Ici, on donne le diamètre, mais la formule de l’aire du disque utilise le rayon. Il fallait donc commencer par diviser le diamètre par 2.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : oublier de diviser par 3 — À faire : comparer avec le prisme ou le cylindre associé : la pyramide ou le cône représente un tiers du volume correspondant.
• Erreur : utiliser une longueur de côté comme aire de base — À faire : entourer la base, identifier sa forme, puis calculer son aire avant d’appliquer la formule du volume.
• Erreur : écrire une unité en cm² au lieu de cm³ — À faire : retenir qu’une aire s’exprime en unités carrées, tandis qu’un volume s’exprime en unités cubiques.
• Erreur : prendre une arête oblique pour la hauteur — À faire : vérifier que la hauteur utilisée est perpendiculaire à la base. Elle forme un angle droit avec le plan de la base.
• Erreur : confondre l’aire du disque et le périmètre du cercle — À faire : utiliser πr² pour l’aire du disque ; 2πr correspond à une longueur, pas à une aire.
• Erreur : mélanger les unités, par exemple une aire en cm² et une hauteur en mm — À faire : convertir les mesures dans des unités compatibles avant de calculer.

10. À retenir

• La formule du volume d’une pyramide est : V = aire de base × hauteur ÷ 3.
• La formule du volume d’un cône de révolution est la même : V = aire de base × hauteur ÷ 3.
• La base d’une pyramide est un polygone ; la base d’un cône est un disque.
• Pour un cône de rayon r et de hauteur h, on peut écrire : V = π × r² × h ÷ 3.
• La hauteur utilisée est toujours la hauteur perpendiculaire à la base.
• Une pyramide ou un cône a un volume égal au tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.
• L’unité du volume est une unité cubique : mm³, cm³, dm³, m³.
• Routine efficace : je repère le solide et la base, j’applique la formule, je vérifie l’unité et la cohérence du résultat.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices “Volume d’une pyramide et d’un cône de révolution — 4e”. Cette fiche peut contenir des exercices progressifs pour s’entraîner à reconnaître la formule, calculer l’aire de base, utiliser la hauteur perpendiculaire et rédiger une conclusion avec la bonne unité.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau de volumes ; choisir la bonne formule parmi plusieurs propositions ; remettre les étapes de calcul dans l’ordre ; calculer et écrire le résultat avec une unité correcte ; résoudre des problèmes concrets mettant en jeu une pyramide régulière ou un cône de révolution.

Barème possible pour un problème complet sur 10 points : identifier correctement le solide et la formule adaptée, 2 points ; repérer ou calculer correctement l’aire de la base, 2 points ; utiliser la hauteur perpendiculaire à la base, 1 point ; effectuer correctement le calcul numérique, 3 points ; écrire une conclusion avec une unité de volume correcte, 2 points.

Pour réussir ces exercices, il est conseillé de commencer par faire un petit schéma. Sur ce schéma, on peut colorier la base, tracer la hauteur perpendiculaire, puis écrire les données utiles. Cette organisation évite la plupart des erreurs de formule et d’unité.

12. Questions fréquentes