Théorème de Pythagore : calculer une longueur

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut installer une échelle contre un mur. Le pied de l’échelle est posé à 1,20 m du mur et le haut de l’échelle atteint une hauteur de 3,50 m. Quelle doit être la longueur de l’échelle ? On ne peut pas mesurer directement l’échelle sur le dessin si l’on veut une valeur exacte ou fiable. En revanche, la situation forme un triangle rectangle : le mur est vertical, le sol est horizontal, donc l’angle entre le mur et le sol est un angle droit. La longueur de l’échelle correspond au côté opposé à l’angle droit : c’est l’hypoténuse.

En classe de 4e, le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsqu’on connaît les deux autres longueurs. Il sert donc à résoudre de nombreux problèmes de géométrie, mais aussi des situations concrètes : diagonale d’un écran, distance entre deux points, longueur d’un câble, rampe d’accès, trajet le plus court, etc.

L’objectif de cette leçon est d’apprendre à appliquer correctement le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle pour calculer une longueur. Il faudra savoir repérer l’hypoténuse, écrire la bonne égalité avec les lettres du triangle, choisir entre addition et soustraction, puis utiliser la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

2. Définition

Définition : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus grand côté du triangle rectangle.

Par exemple, si le triangle ABC est rectangle en A, alors l’angle droit est situé au point A. Les deux côtés qui forment l’angle droit sont AB et AC. Le côté opposé à l’angle droit est BC : c’est l’hypoténuse.

On retient donc : hypoténuse = côté opposé à l’angle droit. Avant d’utiliser une formule, il faut toujours commencer par repérer l’angle droit et nommer l’hypoténuse. Cette étape évite la plupart des erreurs.

Dans un triangle rectangle, on distingue deux types de côtés :

• les côtés de l’angle droit, qui se rejoignent au sommet de l’angle droit ;
• l’hypoténuse, qui est en face de l’angle droit.

Mot repère : Py-tha-go-re. Dans un triangle rectangle avec des côtés de l’angle droit de 3 cm et 4 cm, l’hypoténuse vérifie c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc c = 5 cm. Cet exemple est très utile pour mémoriser le sens de la formule.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

Cette phrase est la forme classique du théorème de Pythagore. Elle signifie que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit.

Attention : l’égalité dépend du sommet où se trouve l’angle droit. Si ABC est rectangle en A, alors l’hypoténuse est BC et on écrit BC² = AB² + AC². Si ABC est rectangle en B, alors l’hypoténuse est AC et on écrit AC² = AB² + BC². Si ABC est rectangle en C, alors l’hypoténuse est AB et on écrit AB² = AC² + BC².

Le théorème permet deux types de calculs :

• Calculer l’hypoténuse : on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit. Par exemple, si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
• Calculer un côté de l’angle droit : on connaît l’hypoténuse et l’autre côté de l’angle droit, donc on soustrait. Par exemple, si ABC est rectangle en A, alors AB² = BC² - AC².

Il ne faut pas confondre le théorème de Pythagore avec sa réciproque. Ici, on sait déjà que le triangle est rectangle et on calcule une longueur. La réciproque sert, elle, à prouver qu’un triangle est rectangle.

4. Démonstration

Au collège, le théorème de Pythagore est admis comme un résultat fondamental, mais on peut comprendre son sens grâce à une idée d’aires. Considérons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b, et dont l’hypoténuse mesure c. On construit un carré sur chacun des trois côtés du triangle. Le carré construit sur le côté de longueur a a pour aire a². Le carré construit sur le côté de longueur b a pour aire b². Le carré construit sur l’hypoténuse, de longueur c, a pour aire c².

Le théorème de Pythagore affirme que l’aire du grand carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les côtés de l’angle droit. Autrement dit : c² = a² + b².

On peut visualiser cela avec le triangle rectangle 3-4-5. Le carré construit sur le côté de 3 cm a une aire de 3² = 9 cm². Le carré construit sur le côté de 4 cm a une aire de 4² = 16 cm². La somme des deux aires vaut 9 + 16 = 25 cm². Or 25 = 5², donc l’hypoténuse mesure 5 cm.

Cette interprétation par les aires aide à comprendre pourquoi on utilise des carrés dans la formule et pourquoi on doit prendre une racine carrée à la fin : le théorème donne d’abord une aire ou un carré de longueur, pas directement la longueur.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le triangle rectangle. Je cherche l’angle droit sur la figure ou dans l’énoncé. J’écris : « Le triangle ABC est rectangle en A. »
2. J’identifie l’hypoténuse. C’est le côté opposé à l’angle droit. Si le triangle est rectangle en A, l’hypoténuse est BC.
3. J’écris l’égalité de Pythagore avec les lettres. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
4. Je remplace par les longueurs connues. Je garde la longueur inconnue sous forme de carré, par exemple BC² ou AB².
5. Je choisis l’opération. Si je cherche l’hypoténuse, j’additionne les carrés. Si je cherche un côté de l’angle droit, je soustrais les carrés.
6. Je calcule les carrés. Par exemple, 6² = 36 et 8² = 64. Il faut éviter d’écrire 6² = 12 : un carré signifie 6 × 6.
7. Je prends la racine carrée. Si j’ai trouvé BC² = 100, alors BC = √100 = 10.
8. Je rédige une phrase-réponse. J’indique la longueur, l’unité et l’arrondi si nécessaire.
9. Je vérifie la cohérence. L’hypoténuse doit être la plus grande longueur du triangle rectangle.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le triangle rectangle et l’hypoténuse. J’applique l’égalité de Pythagore avec les bonnes lettres. Je vérifie le calcul, l’unité et le fait que l’hypoténuse est bien la plus grande longueur.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.

Étape 1 : repérer l’hypoténuse. Le triangle ABC est rectangle en A. Le côté opposé à l’angle droit est BC, donc BC est l’hypoténuse.

Étape 2 : écrire le théorème. D’après le théorème de Pythagore, on a :

BC² = AB² + AC²

Étape 3 : remplacer par les valeurs connues.

BC² = 6² + 8²

Étape 4 : calculer.

BC² = 36 + 64

BC² = 100

Étape 5 : prendre la racine carrée.

BC = √100 = 10

Phrase-réponse : La longueur BC mesure 10 cm.

Vérification : BC est l’hypoténuse, elle doit être plus grande que AB et AC. On a 10 > 8 et 10 > 6, donc le résultat est cohérent.

Dans cet exemple, on cherche l’hypoténuse. On additionne donc les carrés des deux côtés de l’angle droit. C’est le cas le plus direct : hypoténuse² = côté² + côté².

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère un triangle DEF rectangle en D tel que EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calculer DF.

Étape 1 : repérer l’hypoténuse. Le triangle DEF est rectangle en D. Le côté opposé à l’angle droit est EF. Donc EF est l’hypoténuse. On cherche DF, qui est un côté de l’angle droit.

Étape 2 : écrire le théorème de Pythagore.

EF² = DE² + DF²

Étape 3 : remplacer par les longueurs connues.

13² = 5² + DF²

Étape 4 : isoler la longueur cherchée au carré.

DF² = 13² - 5²

Étape 5 : calculer.

DF² = 169 - 25

DF² = 144

Étape 6 : prendre la racine carrée.

DF = √144 = 12

Phrase-réponse : La longueur DF mesure 12 cm.

Dans cet exemple, on ne cherche pas l’hypoténuse. On connaît l’hypoténuse EF et un côté de l’angle droit DE. Il faut donc soustraire les carrés : côté de l’angle droit² = hypoténuse² - autre côté².

Vérification : l’hypoténuse EF mesure 13 cm, elle est bien plus grande que 12 cm et 5 cm. Le résultat est cohérent.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un jardin rectangulaire mesure 24 m de long et 10 m de large. On veut tendre un câble en diagonale d’un coin du jardin au coin opposé. Quelle longueur de câble faut-il prévoir ?

Le jardin est un rectangle. La longueur, la largeur et la diagonale forment un triangle rectangle : les côtés de 24 m et 10 m sont perpendiculaires. La diagonale est le côté opposé à l’angle droit, donc c’est l’hypoténuse.

Appelons d la longueur de la diagonale. D’après le théorème de Pythagore :

d² = 24² + 10²

d² = 576 + 100

d² = 676

d = √676

d = 26

Il faut donc prévoir un câble de 26 m.

Dans un problème concret, il est important de traduire la situation en figure géométrique. Ici, le mot « diagonale » dans un rectangle doit faire penser à un triangle rectangle. On peut même dessiner rapidement le rectangle, tracer la diagonale et entourer l’angle droit. Ensuite, on applique la même méthode que dans un exercice de géométrie classique.

Si la racine carrée ne donne pas un nombre entier, on arrondit selon la consigne. Par exemple, si on obtient d = √130, la calculatrice donne environ 11,401. Au dixième près, on écrit d ≈ 11,4. Au centième près, on écrit d ≈ 11,40. La phrase-réponse doit alors préciser que la valeur est approchée.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner toujours les carrés, même lorsqu’on cherche un côté de l’angle droit — À faire : colorier ou repérer l’hypoténuse et rappeler que seule l’hypoténuse² est égale à la somme des deux autres carrés.
• Erreur : écrire la mauvaise égalité avec les lettres du triangle — À faire : commencer chaque rédaction par : « Le triangle est rectangle en..., donc ... est l’hypoténuse. »
• Erreur : oublier la racine carrée à la fin — À faire : verbaliser : « J’ai trouvé AB², je dois trouver AB, donc je prends √. »
• Erreur : penser que l’hypoténuse peut être plus petite que les autres côtés — À faire : contrôler à la fin que l’hypoténuse est bien la plus grande longueur.
• Erreur : confondre carré et double — À faire : se rappeler que 7² signifie 7 × 7, donc 49, et non 7 × 2.
• Erreur : oublier l’unité ou l’arrondi demandé — À faire : terminer par une phrase-réponse complète : « Donc la longueur ... mesure ... cm. »

Ces erreurs sont fréquentes car le théorème de Pythagore mélange géométrie, calcul littéral simple, carrés et racines carrées. La meilleure stratégie consiste à rédiger toujours dans le même ordre. Une rédaction claire permet souvent de repérer l’erreur avant la fin du calcul.

10. À retenir

• Le théorème de Pythagore s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.
• L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
• L’hypoténuse est toujours le plus grand côté d’un triangle rectangle.
• Si ABC est rectangle en A, alors BC est l’hypoténuse et BC² = AB² + AC².
• Pour calculer l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit.
• Pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait : côté² = hypoténuse² - autre côté².
• Le théorème donne d’abord une longueur au carré : il faut prendre la racine carrée pour obtenir la longueur.
• La phrase-réponse doit contenir la valeur, l’unité et éventuellement l’arrondi.
• Une bonne méthode est : je repère, j’applique, je vérifie.

Formules repères : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Si l’on cherche AB, on peut écrire AB² = BC² - AC². Si l’on cherche AC, on peut écrire AC² = BC² - AB².

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Théorème de Pythagore — calculer une longueur en 4e

La fiche d’exercices peut proposer plusieurs types d’entraînement progressifs. D’abord, des exercices pour repérer l’hypoténuse et écrire l’égalité de Pythagore avec les bonnes lettres. Ensuite, des questions où il faut choisir la bonne méthode : addition pour calculer l’hypoténuse ou soustraction pour calculer un côté de l’angle droit. On peut aussi demander de remettre une rédaction dans l’ordre afin de travailler la rigueur attendue en 4e.

Les exercices principaux consistent à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Certains résultats sont entiers, comme 5 cm, 10 cm, 12 cm ou 13 cm ; d’autres nécessitent une valeur approchée avec un arrondi. Enfin, des problèmes concrets permettent de réinvestir la méthode : diagonale d’un rectangle, longueur d’une échelle, câble tendu, rampe, distance sur un plan.

Barème conseillé sur 20 points : identifier le triangle rectangle et l’hypoténuse, 4 points ; écrire correctement l’égalité de Pythagore, 4 points ; choisir addition ou soustraction selon la longueur cherchée, 4 points ; effectuer correctement les calculs de carrés et de racines carrées, 5 points ; rédiger une phrase-réponse avec l’unité et l’arrondi si nécessaire, 3 points.

12. Questions fréquentes