Statistiques : classes et effectifs cumulés

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 4e, le professeur d’EPS relève les distances parcourues par les élèves pendant une course de 12 minutes. Les résultats, en mètres, sont nombreux : 1240, 1510, 1320, 1680, 1450, 1570, 1390, 1720, 1600, 1480, etc. Si l’on écrit toutes les valeurs dans une longue liste, il est difficile de répondre rapidement à des questions simples : combien d’élèves ont parcouru entre 1400 m et 1600 m ? Combien ont parcouru moins de 1500 m ? Dans quelle tranche se trouve le plus grand nombre d’élèves ?

Pour rendre ces données lisibles, on les regroupe en classes statistiques, par exemple [1200 ; 1400[, [1400 ; 1600[, [1600 ; 1800[. On compte ensuite le nombre de valeurs dans chaque classe : c’est l’effectif de la classe. On peut aussi additionner progressivement les effectifs pour obtenir les effectifs cumulés. Enfin, on peut représenter les résultats à l’aide d’un histogramme, qui permet de visualiser la répartition des données.

L’objectif de cette leçon est donc de savoir construire et lire un tableau d’effectifs en classes, calculer des effectifs cumulés, puis tracer et interpréter un histogramme. Ces compétences sont utiles en mathématiques, mais aussi en sciences, en géographie, en EPS ou dans la vie quotidienne dès que l’on doit organiser une série de données nombreuses.

2. Définition

Définition : Une classe statistique est un intervalle qui regroupe plusieurs valeurs d’une série statistique. La notation [a ; b[ signifie : de a inclus à b exclu. L’effectif d’une classe est le nombre de valeurs appartenant à cette classe. L’effectif cumulé jusqu’à une classe est la somme des effectifs depuis la première classe jusqu’à cette classe.

Par exemple, la classe [10 ; 20[ se lit : « de 10 inclus à 20 exclu ». Les valeurs 10, 12, 15 et 19,9 appartiennent à cette classe. En revanche, la valeur 20 n’appartient pas à [10 ; 20[ : elle appartient à la classe suivante, par exemple [20 ; 30[.

Un tableau statistique en classes contient souvent plusieurs lignes ou colonnes : les classes, les effectifs, les effectifs cumulés croissants, parfois les fréquences ou les fréquences cumulées. En 4e, on apprend surtout à organiser correctement les valeurs, à additionner avec méthode et à vérifier ses résultats.

Quand les classes sont consécutives et de même largeur, on peut représenter les effectifs par un histogramme : chaque classe correspond à un rectangle, placé sur l’axe horizontal, et la hauteur du rectangle correspond à l’effectif.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un tableau de classes statistiques, chaque valeur doit appartenir à une seule classe. Si les classes sont de la forme [a ; b[, la borne gauche est incluse et la borne droite est exclue. Le dernier effectif cumulé croissant est égal à l’effectif total de la série.

Cette propriété est essentielle pour éviter les erreurs de comptage. Si une valeur est comptée dans deux classes, l’effectif total obtenu sera trop grand. Si une valeur n’est comptée dans aucune classe, l’effectif total sera trop petit. Les classes doivent donc être choisies de façon à couvrir toutes les valeurs étudiées, sans chevauchement.

Pour calculer les effectifs cumulés croissants, on additionne les effectifs au fur et à mesure. Si les effectifs des classes sont 3, 5, 8 et 4, alors les effectifs cumulés sont 3, 3 + 5 = 8, 8 + 8 = 16, puis 16 + 4 = 20. Le dernier effectif cumulé est donc 20 : il correspond au nombre total de valeurs.

Dans un histogramme avec des classes de même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est égale à l’effectif de la classe. Le rectangle le plus haut correspond donc à la classe la plus représentée. On peut ainsi comparer rapidement des groupes de valeurs.

4. Démonstration

On veut justifier pourquoi le dernier effectif cumulé est toujours égal à l’effectif total lorsque le tableau est correctement construit. Supposons que l’on ait une série statistique répartie en plusieurs classes consécutives : classe 1, classe 2, classe 3, etc. L’effectif de la classe 1 compte uniquement les valeurs de la première classe. L’effectif de la classe 2 compte uniquement les valeurs de la deuxième classe, et ainsi de suite.

Comme les classes ne se chevauchent pas, une même valeur ne peut pas être dans deux classes à la fois. Par exemple, avec les classes [10 ; 20[ et [20 ; 30[, la valeur 20 est uniquement dans [20 ; 30[, car elle est exclue de [10 ; 20[. Cela évite les doubles comptages.

Comme les classes couvrent toutes les valeurs de la série, chaque valeur est comptée au moins une fois. Ainsi, en additionnant les effectifs de toutes les classes, on compte toutes les valeurs, une seule fois chacune. Cette somme est donc exactement l’effectif total.

L’effectif cumulé croissant de la dernière classe est, par définition, la somme de tous les effectifs depuis la première jusqu’à la dernière classe. Il est donc égal à l’effectif total. Cette égalité sert de vérification : si elle n’est pas respectée, il faut chercher une valeur oubliée, une valeur comptée deux fois, ou une erreur d’addition.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les données. Je regarde la liste des valeurs, l’unité utilisée et les valeurs minimale et maximale.
2. Je choisis ou je lis les classes. Les classes doivent couvrir toutes les valeurs. Si elles sont de la forme [a ; b[, je retiens que a est inclus et b est exclu.
3. Je place chaque valeur dans une classe. Je fais attention aux valeurs égales aux bornes : 20 n’appartient pas à [10 ; 20[, mais à [20 ; 30[.
4. Je compte les effectifs. Pour chaque classe, je compte combien de valeurs lui appartiennent.
5. Je calcule les effectifs cumulés. J’additionne progressivement : premier effectif, puis premier + deuxième, puis résultat + troisième, etc.
6. Je vérifie. Le dernier effectif cumulé doit être égal à l’effectif total de la série.
7. Je trace l’histogramme. Je place les classes sur l’axe horizontal et les effectifs sur l’axe vertical. Chaque rectangle a pour base une classe et pour hauteur l’effectif correspondant.
8. J’interprète. Je repère la classe la plus fréquente, je lis des effectifs, et je peux répondre à des questions du type « moins de », « au moins », « entre ».

Routine à mémoriser : Je repère les classes et les bornes, j’applique le comptage et les additions, puis je vérifie avec l’effectif total et la cohérence de l’histogramme.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On donne les notes sur 20 obtenues par 24 élèves à un devoir : 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20. On veut regrouper ces notes dans les classes [0 ; 5[, [5 ; 10[, [10 ; 15[, [15 ; 20] . Ici, la dernière classe est fermée à droite pour inclure la note 20, car 20 est la valeur maximale possible.

Lecture : 7 élèves ont une note de 10 inclus à 15 exclu, c’est-à-dire 10, 11, 12, 13 ou 14. L’effectif cumulé 11 signifie que 11 élèves ont une note strictement inférieure à 15. Le dernier effectif cumulé est 24, ce qui correspond bien au nombre total d’élèves.

Pour l’histogramme, on trace quatre rectangles. Les hauteurs sont 1, 3, 7 et 13. Le rectangle le plus haut est celui de la classe [15 ; 20], donc c’est la classe qui contient le plus d’élèves.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On donne un tableau d’effectifs cumulés croissants et on cherche les effectifs de chaque classe.

Le premier effectif est directement 4, car le premier cumul ne contient que la première classe. Pour trouver l’effectif de la deuxième classe, on calcule 11 − 4 = 7. Pour la troisième classe, on calcule 18 − 11 = 7. Pour la quatrième classe, on calcule 25 − 18 = 7.

Cette méthode est importante : lorsqu’on connaît les effectifs cumulés, on retrouve les effectifs par soustractions successives. L’effectif total est 25, car le dernier effectif cumulé vaut 25.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une médiathèque étudie le temps passé par 30 visiteurs dans une salle de lecture. Les durées, en minutes, sont : 12, 18, 21, 25, 27, 31, 34, 36, 39, 42, 44, 45, 48, 52, 55, 58, 61, 63, 67, 70, 72, 75, 78, 81, 84, 86, 89, 92, 95, 98.

On choisit les classes [10 ; 30[, [30 ; 50[, [50 ; 70[, [70 ; 90[, [90 ; 110[. Elles ont toutes la même amplitude : 20 minutes. On compte les valeurs dans chaque classe.

Interprétation : 8 visiteurs sont restés entre 30 minutes incluses et 50 minutes exclues. L’effectif cumulé 19 signifie que 19 visiteurs sont restés moins de 70 minutes. Le dernier effectif cumulé est 30, ce qui confirme que tous les visiteurs ont été comptés.

Pour tracer l’histogramme, on place les classes sur l’axe horizontal : [10 ; 30[, [30 ; 50[, [50 ; 70[, [70 ; 90[, [90 ; 110[. Sur l’axe vertical, on place les effectifs. On peut choisir une échelle simple : 1 carreau représente 1 visiteur, ou 1 carreau représente 2 visiteurs si l’on veut gagner de la place. Les rectangles ont pour hauteurs 5, 8, 6, 8 et 3. Les rectangles des classes consécutives sont adjacents : ils se touchent.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Placer une valeur égale à la borne de droite dans la mauvaise classe. — À faire : Rappeler que dans [a ; b[, la borne gauche est incluse et la borne droite est exclue.
• Erreur : Confondre effectif et effectif cumulé. — À faire : Dire à voix haute : l’effectif concerne une seule classe ; l’effectif cumulé additionne depuis le début.
• Erreur : Obtenir un dernier effectif cumulé différent de l’effectif total. — À faire : Recompter les données et vérifier que chaque valeur appartient à une seule classe.
• Erreur : Tracer des rectangles avec des hauteurs incorrectes. — À faire : Choisir une échelle verticale régulière et écrire des repères sur l’axe des effectifs.
• Erreur : Confondre histogramme et diagramme en bâtons. — À faire : Se rappeler que, pour des classes continues et consécutives, les rectangles de l’histogramme sont adjacents.

10. À retenir

• Une classe statistique regroupe plusieurs valeurs dans un intervalle, par exemple [10 ; 20[.
• La notation [10 ; 20[ signifie : 10 est inclus, 20 est exclu.
• L’effectif d’une classe est le nombre de valeurs dans cette classe.
• L’effectif cumulé est la somme des effectifs depuis la première classe jusqu’à la classe étudiée.
• Le dernier effectif cumulé doit être égal à l’effectif total.
• Pour retrouver les effectifs à partir des cumulés, on effectue des soustractions successives.
• Dans un histogramme avec des classes de même amplitude, la hauteur du rectangle représente l’effectif.
• Un tableau bien présenté comporte un titre, des classes claires, des unités et des vérifications.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF : elle permet de s’entraîner à construire un tableau d’effectifs en classes, à calculer des effectifs cumulés et à interpréter un histogramme.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau d’effectifs, lire des effectifs cumulés, remettre les étapes dans l’ordre, construire le tableau complet à partir d’une liste de données, interpréter un histogramme et répondre à des questions concrètes.

Barème possible sur 20 points : choix correct des classes et placement des valeurs, 4 points ; calcul exact des effectifs par classe, 4 points ; calcul exact des effectifs cumulés croissants, 4 points ; lecture et interprétation d’un tableau ou d’un histogramme, 4 points ; présentation, titres, unités et vérifications, 4 points.

12. Questions fréquentes