La symetrie centrale : cours 5eme
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Au programme de 5e, la symétrie centrale revient très souvent en géométrie : construire l’image d’un point, d’un segment, d’un triangle, lire une figure sur quadrillage, reconnaître un centre de symétrie. Si tu cherches un vrai cours de symétrie centrale 5eme pour comprendre, s’entraîner et éviter les erreurs classiques, tu es au bon endroit. Cette notion fait partie des attendus du programme de l’Éducation nationale en cycle 4, et elle sert ensuite pour les parallélogrammes, les translations et les rotations.
Définition et rappels
Définition. La symétrie centrale de centre O transforme un point A en un point A’ tel que O soit le milieu du segment [AA’].
Autrement dit :
A, O et A’ sont alignés et OA = OA’.
On dit aussi que l’image de A par la symétrie centrale de centre O est A’.
Vu autrement, une symétrie centrale revient à faire un demi-tour autour du centre O, soit une rotation de 180°. Cette idée plaît souvent aux élèves parce qu’elle est plus visuelle qu’une définition à apprendre par cœur. Petit fait amusant : beaucoup de motifs antiques, notamment sur certaines mosaïques romaines, utilisent cette transformation sans jamais la nommer.
Ce qu’il faut déjà savoir
Avant d’aller plus loin, il faut être à l’aise avec trois notions : l’alignement, le milieu d’un segment, et la lecture d’une figure sur quadrillage. Si besoin, tu peux revoir le cours sur le milieu d’un segment et les exercices de géométrie en 5e sur maths-college.fr.
Comment construire l’image d’un point
Pour construire l’image d’un point A par rapport à un centre O, on trace la droite (AO), puis on place A’ de l’autre côté de O à la même distance. Si OA = 3 cm, alors OA’ = 3 cm aussi.
Beaucoup d’élèves font au début une symétrie axiale sans s’en rendre compte. C’est logique : à l’école primaire, on travaille beaucoup avec les pliages. Ici, pas d’axe. Il y a un centre, et c’est toute la différence.
Propriétés et théorèmes
Propriété 1. La symétrie centrale conserve les longueurs.
Si un segment mesure 5 cm, son image mesure aussi 5 cm.
Démonstration simplifiée
La symétrie centrale est un demi-tour. Or un demi-tour ne déforme pas la figure : il la déplace seulement. Les distances restent donc les mêmes. Un triangle image d’un triangle garde ses trois côtés de même longueur. C’est pour cela qu’on parle de transformation qui conserve les longueurs.
Fait peu connu : les logiciels de géométrie dynamique comme GeoGebra montrent très bien cette conservation. On peut déplacer les points, et les mesures restent identiques. C’est une bonne façon de vérifier une conjecture avant de rédiger.
Propriété 2. La symétrie centrale conserve l’alignement.
Si des points A, B et C sont alignés, alors leurs images A’, B’ et C’ sont aussi alignées.
Démonstration simplifiée
Comme la figure subit un demi-tour, une droite devient une droite. Donc si plusieurs points étaient sur une même droite avant la transformation, leurs images restent sur une même droite après.
Propriété 3. La symétrie centrale conserve le parallélisme.
L’image d’une droite est une droite parallèle, ou la même droite si elle passe par le centre.
Démonstration simplifiée
Une droite qui ne passe pas par le centre “bascule” de l’autre côté lors du demi-tour. Elle garde sa direction : son image est donc parallèle. Si la droite passe par le centre, elle se retrouve sur elle-même.
Ce point est fondamental pour comprendre pourquoi l’image d’un rectangle reste un rectangle, et pourquoi l’image d’un parallélogramme reste un parallélogramme. Si tu veux réviser cette figure, le cours sur le parallélogramme en 5e complète très bien celui-ci.
Propriété 4. La symétrie centrale conserve les angles et la nature des figures.
L’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’un triangle est un triangle de même forme, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
Conséquence à connaître
Si une figure a un centre de symétrie, alors elle se superpose à elle-même après un demi-tour. Le parallélogramme en est l’exemple classique : l’intersection de ses diagonales est son centre de symétrie. Beaucoup d’élèves retiennent mieux cette propriété en la testant sur un ticket de métro ou une carte rectangulaire : un demi-tour, et la forme reste la même.
Méthode pas à pas pour résoudre une symétrie centrale en 5e
Méthode générale.
1. Repérer le centre de symétrie
Tout part du point O. Sans lui, impossible de construire correctement l’image.
2. Tracer ou imaginer la droite passant par le point et le centre
Pour un point A, l’image A’ se trouve forcément sur la droite (AO).
3. Reporter la même distance de l’autre côté du centre
Si OA = 4 cm, alors OA’ = 4 cm, de l’autre côté de O.
4. Refaire la même chose pour plusieurs points
Pour une figure, on construit l’image de chaque sommet : A → A’, B → B’, C → C’… puis on relie.
5. Vérifier le milieu
À la fin, O doit être le milieu de chaque segment [AA’], [BB’], etc. C’est le test le plus sûr.
Sur quadrillage, la méthode est encore plus rapide : on compte les carreaux entre O et A, puis on reproduit exactement le même déplacement de l’autre côté. Une petite astuce de prof : annonce à voix basse “autant à gauche qu’à droite, autant en haut qu’en bas”. Cela évite beaucoup d’erreurs de placement.
Méthode complète sur une figure
Quand on te demande l’image d’un segment, d’un triangle ou d’un cercle, il ne faut pas essayer de “deviner” la figure finale d’un seul coup. On avance point par point. C’est plus lent au début, mais bien plus fiable. Les élèves qui vont trop vite oublient souvent un sommet, ou placent un point à la bonne distance mais pas sur la bonne droite.
Voici la bonne progression :
Pour un segment [AB] : construire A’, construire B’, puis tracer [A’B’].
Pour un triangle ABC : construire A’, B’, C’, puis relier A’, B’ et C’.
Pour une droite (d) : prendre deux points de la droite, construire leurs images, puis tracer la droite image.
Pour un cercle : construire l’image du centre, puis conserver le même rayon.
Un détail rarement dit en classe mais très utile : quand une figure est compliquée, commence par nommer tous les points avant de construire l’image. Cela évite les confusions entre sommet d’origine et sommet image. Les géomètres du XVIIe siècle faisaient déjà cela dans leurs croquis à la plume ; le bon vieux réflexe de notation reste redoutablement efficace.
Construire l’image d’une figure : exemples complets de symétrie centrale en 5e
Exemple 1 : image d’un point
On donne un point A et un centre O tels que OA = 2,5 cm.
Pour construire l’image A’ de A par la symétrie centrale de centre O :
1. Je trace la droite (AO).
2. Je place A’ sur cette droite, de l’autre côté de O.
3. Je mesure pour avoir OA’ = 2,5 cm.
4. Je vérifie que O est bien le milieu de [AA’].
Le contrôle final est capital. Beaucoup d’élèves s’arrêtent dès qu’ils ont “à peu près” la bonne distance. Or si A, O et A’ ne sont pas parfaitement alignés, la construction est fausse. En géométrie, “presque juste” ne suffit pas.
Exemple 2 : construction de l’image d’un segment [AB]
On veut construire l’image du segment [AB] par rapport au centre O.
Étape 1 : je construis A’, image de A.
Étape 2 : je construis B’, image de B.
Étape 3 : je relie A’ à B’.
Le segment image est donc [A’B’].
Comme la symétrie centrale conserve les longueurs, on a A’B’ = AB.
Un petit test mental marche bien : si tu fais un demi-tour de la feuille autour de O, le segment [AB] vient se placer sur [A’B’]. C’est une façon simple de relier la construction à l’idée de rotation de 180°.
Exemple 3 : construction de l’image d’un triangle ABC
On veut construire la figure image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O.
1. Je construis A’, image de A.
2. Je construis B’, image de B.
3. Je construis C’, image de C.
4. Je relie les points A’, B’ et C’.
Le triangle image est A’B’C’.
On sait alors que A’B’ = AB, B’C’ = BC et A’C’ = AC.
Fait surprenant pour beaucoup d’élèves : l’ordre des sommets est “retourné” quand on regarde la figure, mais la nature du triangle ne change pas. Un triangle rectangle reste rectangle, un triangle isocèle reste isocèle. La figure image garde sa forme, elle effectue juste un demi-tour autour du centre de symétrie.
Exemple 4 : symétrie centrale sur quadrillage
On place un point A à 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de O.
Son image A’ sera alors à 3 carreaux à gauche et 2 carreaux en dessous de O.
Si un segment ou un polygone est dessiné sur quadrillage, on reproduit ce principe pour chaque sommet.
Sur quadrillage, la symétrie centrale devient presque un jeu de déplacement. C’est d’ailleurs pour cela qu’elle apparaît souvent dans les premiers exercices de 5e. Les enseignants s’en servent pour installer la notion avant les constructions à la règle et au compas.
Exemple 5 : image d’une figure composée sur quadrillage
On considère un quadrilatère ABCD dessiné sur quadrillage et un centre O.
Supposons que :
A soit à 2 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus de O ;
B soit à 5 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus de O ;
C soit à 4 carreaux à droite et 3 carreaux en dessous de O ;
D soit à 1 carreau à droite et 2 carreaux en dessous de O.
Alors :
A’ est à 2 carreaux à gauche et 1 carreau en dessous de O ;
B’ est à 5 carreaux à gauche et 1 carreau en dessous de O ;
C’ est à 4 carreaux à gauche et 3 carreaux au-dessus de O ;
D’ est à 1 carreau à gauche et 2 carreaux au-dessus de O.
Il suffit ensuite de relier A’, B’, C’ et D’ dans le même ordre pour obtenir la figure image.
Ce type d’exercice tombe très souvent en contrôle. La difficulté n’est pas mathématique, elle est surtout liée à l’attention. Un seul carreau oublié, et toute la figure image est décalée.
Reconnaître un centre de symétrie
Savoir construire, c’est bien. Savoir reconnaître un centre de symétrie, c’est tout aussi attendu dans le programme de 5e. On te donne parfois une figure déjà tracée, et tu dois dire si elle possède un centre de symétrie, puis le placer.
Un point O est un centre de symétrie d’une figure si, après un demi-tour autour de O, la figure se superpose exactement à elle-même.
Cas classique : le parallélogramme
Dans un parallélogramme, le centre de symétrie est l’intersection des diagonales. Ce n’est pas un hasard : les diagonales se coupent en leur milieu. Or la notion de milieu est au cœur de la symétrie centrale. Tu peux revoir cela dans le cours sur le parallélogramme.
Comment vérifier sur une figure
Prends deux points de la figure qui semblent se correspondre. Si le point supposé centre est le milieu du segment qui les relie, c’est bon signe. Il faut retrouver ce même fonctionnement pour plusieurs couples de points. Si cela marche partout, tu as trouvé le centre de symétrie.
Anecdote utile : beaucoup de logos modernes utilisent un axe de symétrie, mais pas de centre de symétrie. L’œil confond facilement les deux. C’est précisément pour cela que cette question revient souvent en exercice.
Image d’une droite, d’un cercle et d’un polygone : les cas classiques du programme
Construire l’image d’une droite
Pour construire l’image d’une droite (d), on choisit deux points A et B sur cette droite. On construit leurs images A’ et B’. La droite image est alors la droite (A’B’).
Si la droite (d) passe par le centre O, son image est la même droite.
Si elle ne passe pas par O, son image est une droite parallèle à (d).
Ce résultat surprend souvent au début. Pourtant, avec l’idée de rotation de 180°, il devient naturel : une droite garde sa direction après un demi-tour. C’est très pratique dans les exercices de construction.
Construire l’image d’un cercle
Pour un cercle, on ne construit pas plein de points au hasard. On va à l’essentiel : le centre et le rayon.
Soit un cercle de centre C et de rayon 3 cm.
1. Je construis C’, image de C par la symétrie centrale de centre O.
2. Je trace ensuite le cercle de centre C’ et de rayon 3 cm.
Le cercle image a donc le même rayon que le cercle de départ.
Ce point est directement lié à la conservation des longueurs. Un cercle ne devient ni une ellipse, ni une forme bizarre : il reste un cercle. C’est un bon exercice de vérification quand on travaille les transformations.
Construire l’image d’un polygone
Pour un polygone, la règle est toujours la même : on construit l’image de chaque sommet, puis on relie dans le même ordre.
Pour un quadrilatère ABCD :
on construit A’, B’, C’ et D’, puis on trace le polygone A’B’C’D’.
Le piège classique est d’oublier l’ordre des points. Si tu relies bien les bons sommets mais dans le désordre, tu obtiens une autre figure. Cela arrive plus souvent qu’on ne le croit, surtout en contrôle quand on veut aller vite.
Erreurs fréquentes en symétrie centrale
Erreur 1 : confondre symétrie centrale et symétrie axiale.
En symétrie axiale, on a un axe. En symétrie centrale, on a un centre. La symétrie centrale correspond à un demi-tour, pas à un pliage.
Erreur 2 : placer le point image à la bonne distance mais pas sur la bonne droite.
Le point image doit être aligné avec le point de départ et le centre de symétrie.
Erreur 3 : oublier de vérifier que le centre est le milieu.
Le vrai test final, c’est toujours : O milieu de [AA’].
Erreur 4 : sur quadrillage, inverser seulement la gauche et la droite mais pas le haut et le bas.
Il faut reproduire le déplacement complet de l’autre côté du centre.
Erreur 5 : croire que l’image d’une droite est forcément la même droite.
Non. Elle reste identique seulement si elle passe par le centre de symétrie.
Le plus gros piège reste la confusion avec la symétrie axiale. C’est presque un classique de copie. Si tu sens que tu hésites, repense à cette phrase très simple : axiale = miroir ; centrale = demi-tour. Pour retravailler la comparaison, le cours sur la symétrie axiale peut servir de bon rappel.
Exercices d’application guidés
Exercice 1. On donne un point A tel que OA = 4 cm. Construire son image A’ par la symétrie centrale de centre O.
Correction. On trace la droite (AO). On place A’ de l’autre côté de O avec OA’ = 4 cm. On vérifie enfin que O est le milieu de [AA’].
Exercice 2. Construire l’image du segment [MN] par la symétrie centrale de centre O.
Correction. On construit M’, image de M, puis N’, image de N. On relie ensuite M’ et N’. Le segment image est [M’N’], et il a la même longueur que [MN].
Exercice 3. Sur un quadrillage, le point P est situé à 4 carreaux à gauche et 3 carreaux au-dessus du centre O. Où se trouve son image P’ ?
Correction. Le point P’ sera à 4 carreaux à droite et 3 carreaux en dessous de O. On inverse le déplacement complet par rapport au centre.
Exercice 4. Une droite (d) ne passe pas par le centre O. Quelle est la nature de son image par symétrie centrale ?
Correction. Son image est une droite parallèle à (d). Si la droite passait par O, elle serait son propre image.
Exercice 5. Un cercle de centre C a un rayon de 2,8 cm. Quel est le rayon de son image par la symétrie centrale de centre O ?
Correction. Le rayon reste 2,8 cm, car la symétrie centrale conserve les longueurs. Il faut simplement construire le centre image C’.
Mini-bilan du programme de 5e sur la symétrie centrale
Ce que tu dois savoir faire en 5e.
Construire l’image d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un triangle, d’un cercle et d’un polygone.
Utiliser le fait que la symétrie centrale est un demi-tour, c’est-à-dire une rotation de 180°.
Reconnaître un centre de symétrie sur une figure.
Savoir que les longueurs, les angles, l’alignement et le parallélisme sont conservés.
Lire et construire une figure image sur quadrillage.
Ce bloc correspond très bien aux attendus du programme de cycle 4. Si tu maîtrises ces points, tu es déjà solide pour les contrôles de géométrie de 5e.
FAQ : questions fréquentes sur le cours de symétrie centrale en 5e
Comment savoir si j’ai fait une symétrie centrale correcte ?
Vérifie toujours deux choses : les points d’origine, le centre et les points images doivent être alignés, et le centre doit être le milieu de chaque segment reliant un point à son image. Si l’un des deux manque, la construction est fausse.
La symétrie centrale, c’est pareil qu’une rotation ?
Oui, précisément une rotation de 180°. En 5e, on la présente souvent comme un demi-tour autour d’un centre. Cette image mentale aide beaucoup pour comprendre les propriétés.
Quelle différence entre symétrie centrale et symétrie axiale ?
La symétrie axiale fonctionne avec un axe, comme un miroir. La symétrie centrale fonctionne avec un centre, comme un demi-tour. C’est la confusion la plus fréquente en cours 5e.
Comment construire l’image d’une figure sur quadrillage ?
Il faut compter le déplacement entre le centre et chaque sommet, puis refaire exactement le déplacement opposé de l’autre côté. On construit ainsi chaque point image avant de relier la figure image.
Une droite peut-elle être sa propre image ?
Oui, si elle passe par le centre de symétrie. Sinon, son image est une droite parallèle.
Pourquoi apprend-on la symétrie centrale en 5e ?
Parce qu’elle sert dans beaucoup de chapitres : parallélogrammes, géométrie sur quadrillage, transformations, repérage, et plus tard rotations et vecteurs. C’est une notion-charnière du programme.
Bilan : les points à retenir pour mémoriser vite
À retenir.
La symétrie centrale de centre O envoie un point A sur un point A’ tel que O soit le milieu de [AA’].
Elle correspond à un demi-tour, donc à une rotation de 180°.
Elle conserve les longueurs, les angles, l’alignement, le parallélisme et la nature des figures.
Pour construire une figure image, on construit l’image de chaque point puis on relie.
Le test final indispensable : le centre est le milieu.
Si tu veux t’entraîner juste après ce cours de symétrie centrale 5eme, le plus efficace est d’enchaîner avec des exercices de géométrie de 5e puis de revoir les liens avec le parallélogramme et le milieu d’un segment. C’est souvent là que tout se fixe vraiment.
