Vitesse moyenne : calculs avancés

1. Introduction et problématique

Situation-problème : Lina part en sortie vélo avec sa classe. Elle parcourt d’abord 18 km en 45 min, puis fait une pause. Ensuite, elle roule encore 24 km en 1 h 15. Son camarade affirme : « Pour connaître sa vitesse moyenne, il suffit de faire la moyenne des deux vitesses. » A-t-il raison ? Cette question est importante car, dans la vie courante, un trajet est rarement parfaitement régulier : on ralentit, on accélère, on s’arrête, on change de moyen de transport. Pourtant, on parle souvent d’une seule vitesse moyenne pour résumer tout le déplacement.

En classe de 4e, conformément aux attendus du programme de mathématiques du cycle 4, on apprend à manipuler des grandeurs quotients comme la vitesse. Une vitesse moyenne relie une distance parcourue et une durée de parcours. Pour un seul trajet, on utilise la formule connue : v = d ÷ t. Pour plusieurs trajets, la méthode devient plus délicate : il faut raisonner sur la distance totale et la durée totale. La vitesse moyenne n’est donc pas toujours la moyenne simple des vitesses.

L’objectif de cette leçon est de savoir calculer une vitesse moyenne sur plusieurs portions de trajet, avec des durées différentes, des distances différentes ou des unités à convertir. On apprendra à organiser les données dans un tableau, à convertir correctement les durées comme 1 h 30 = 1,5 h, à utiliser la formule générale et à vérifier que le résultat est cohérent.

2. Définition

Définition : La vitesse moyenne d’un mobile sur un trajet est le quotient de la distance totale parcourue par la durée totale du déplacement. Elle se calcule avec la formule : vitesse moyenne = distance totale ÷ durée totale, que l’on écrit aussi v = d ÷ t.

Dans cette formule, v désigne la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t la durée du trajet. Si la distance est exprimée en kilomètres et la durée en heures, alors la vitesse est exprimée en kilomètres par heure, notés km/h. Si la distance est exprimée en mètres et la durée en secondes, alors la vitesse est exprimée en mètres par seconde, notés m/s.

Le mot repère est trajet. On peut le découper en syllabes : tra-jet. Par exemple, deux trajets de 60 km et 90 km donnent une distance totale de 150 km. Si la durée totale est 2,5 h, la vitesse moyenne est 150 ÷ 2,5 = 60 km/h. On ne regarde pas seulement les vitesses prises séparément : on s’intéresse à l’ensemble du déplacement.

Une vitesse moyenne est une grandeur quotient : elle indique combien de kilomètres sont parcourus en une heure, en moyenne, ou combien de mètres sont parcourus en une seconde, en moyenne. Elle ne signifie pas forcément que le mobile a roulé exactement à cette vitesse à chaque instant.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour un déplacement composé de plusieurs portions, la vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet est égale à la distance totale parcourue divisée par la durée totale du déplacement. En général, elle n’est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses des différentes portions.

Ce résultat est fondamental. Si un véhicule roule à 40 km/h pendant une durée courte, puis à 80 km/h pendant une durée longue, la vitesse de 80 km/h influence davantage la vitesse moyenne globale, car elle correspond à une plus grande partie du temps de trajet. On parle alors d’une idée de moyenne pondérée : les vitesses n’ont pas toutes le même « poids » si les durées ou les distances ne sont pas les mêmes.

On peut retenir les relations suivantes, très utiles dans les problèmes :

• Si on connaît la distance et la durée : v = d ÷ t.
• Si on connaît la vitesse et la durée : d = v × t.
• Si on connaît la distance et la vitesse : t = d ÷ v.

Les unités doivent être cohérentes. Pour obtenir une vitesse en km/h, il faut une distance en kilomètres et une durée en heures. Pour obtenir une vitesse en m/s, il faut une distance en mètres et une durée en secondes. Les conversions usuelles sont : 1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 km = 1 000 m, 1 m/s = 3,6 km/h et 1 km/h = 1 ÷ 3,6 m/s.

4. Démonstration

On veut justifier pourquoi, pour plusieurs trajets, il faut diviser la distance totale par la durée totale. Supposons qu’un déplacement soit composé de deux portions. Sur la première portion, la distance parcourue est d₁ et la durée est t₁. Sur la deuxième portion, la distance parcourue est d₂ et la durée est t₂. La distance totale est donc d₁ + d₂ et la durée totale est t₁ + t₂.

La vitesse moyenne doit résumer tout le déplacement en une seule vitesse. Si l’on remplaçait le trajet réel par un trajet fictif effectué à vitesse constante, cette vitesse constante devrait permettre de parcourir la même distance totale pendant la même durée totale. On cherche donc une vitesse v telle que :

distance totale = vitesse moyenne × durée totale.

On écrit alors :

d₁ + d₂ = v × (t₁ + t₂).

Pour isoler v, on divise par la durée totale :

v = (d₁ + d₂) ÷ (t₁ + t₂).

Cette formule se généralise à trois, quatre ou davantage de portions : on additionne toutes les distances, on additionne toutes les durées, puis on divise. Cela explique pourquoi la moyenne simple des vitesses peut être fausse. Par exemple, rouler 10 min à 30 km/h et 50 min à 90 km/h ne donne pas une vitesse moyenne de 60 km/h. La seconde vitesse dure beaucoup plus longtemps, donc elle compte davantage dans le bilan global. Le calcul correct passe toujours par les distances et les durées.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les données. Je relève toutes les distances, toutes les durées, toutes les vitesses et toutes les unités utilisées dans l’énoncé. Je peux surligner chaque portion de trajet.
2. Je choisis les unités. Si je veux une réponse en km/h, je convertis les distances en kilomètres et les durées en heures. Si je veux une réponse en m/s, je convertis les distances en mètres et les durées en secondes.
3. Je complète les informations manquantes. Si une portion donne une vitesse et une durée, je calcule la distance avec d = v × t. Si elle donne une distance et une vitesse, je calcule la durée avec t = d ÷ v.
4. Je calcule la distance totale. J’additionne toutes les distances parcourues, sans oublier aucune partie du trajet.
5. Je calcule la durée totale. J’additionne toutes les durées, y compris les éventuels temps de pause si l’énoncé précise qu’ils font partie du déplacement total.
6. J’applique la formule. J’utilise vitesse moyenne = distance totale ÷ durée totale.
7. Je vérifie. Je contrôle les conversions, l’unité de la réponse et l’ordre de grandeur. Une vitesse de marche de 200 km/h ou une vitesse d’avion de 5 km/h indique probablement une erreur.
8. Je rédige une phrase-réponse. J’écris le résultat avec son unité et, si nécessaire, un arrondi adapté.

Routine à mémoriser : 🔎 Je repère les données et les unités ; 🧮 J’applique en calculant distance totale et durée totale ; ✅ Je vérifie l’unité, les conversions et le sens du résultat.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Un automobiliste parcourt 120 km en 1 h 30, puis 80 km en 1 h. On cherche sa vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet.

Étape 1 : repérer les données. Le premier trajet mesure 120 km et dure 1 h 30. Le second trajet mesure 80 km et dure 1 h. Les distances sont déjà en kilomètres. Pour obtenir une vitesse en km/h, il faut convertir les durées en heures.

Étape 2 : convertir la durée. On sait que 30 min = 30 ÷ 60 h = 0,5 h. Donc 1 h 30 = 1,5 h. Attention : on n’écrit pas 1,30 h, car 30 min ne représente pas 0,30 h.

Étape 3 : calculer la distance totale.

Distance totale = 120 + 80 = 200 km.

Étape 4 : calculer la durée totale.

Durée totale = 1,5 + 1 = 2,5 h.

Étape 5 : calculer la vitesse moyenne.

Vitesse moyenne = 200 ÷ 2,5 = 80 km/h.

Phrase-réponse : La vitesse moyenne de l’automobiliste sur l’ensemble du trajet est de 80 km/h.

On remarque que le calcul ne consiste pas à étudier seulement les vitesses de chaque portion. La démarche sûre est toujours de revenir à la définition : distance totale ÷ durée totale.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Un train effectue un trajet en deux parties. Il roule d’abord pendant 30 min à 90 km/h, puis pendant 1 h 15 à 120 km/h. On cherche sa vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet.

Ici, les distances ne sont pas directement données. Il faut les calculer avec la formule d = v × t. Comme les vitesses sont en km/h, on convertit les durées en heures.

Première durée : 30 min = 30 ÷ 60 = 0,5 h.

Deuxième durée : 1 h 15 = 1 + 15 ÷ 60 = 1 + 0,25 = 1,25 h.

Distance de la première partie : d₁ = 90 × 0,5 = 45 km.

Distance de la deuxième partie : d₂ = 120 × 1,25 = 150 km.

Distance totale : 45 + 150 = 195 km.

Durée totale : 0,5 + 1,25 = 1,75 h.

Vitesse moyenne : 195 ÷ 1,75 ≈ 111,4 km/h.

Phrase-réponse : La vitesse moyenne du train est d’environ 111,4 km/h.

La moyenne simple des deux vitesses serait (90 + 120) ÷ 2 = 105 km/h. Ce résultat est faux ici, car le train a roulé plus longtemps à 120 km/h qu’à 90 km/h. La vitesse de 120 km/h pèse donc davantage dans la moyenne globale.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un élève se rend à un entraînement. Il marche 900 m jusqu’à l’arrêt de bus en 12 min. Il prend ensuite le bus pendant 18 min et parcourt 6,3 km. Enfin, il marche 300 m en 4 min jusqu’au gymnase. On cherche sa vitesse moyenne sur tout le déplacement, en km/h.

Étape 1 : rendre les distances homogènes. On veut une vitesse en km/h, donc on exprime toutes les distances en kilomètres. On sait que 1 km = 1 000 m.

900 m = 0,9 km et 300 m = 0,3 km.

Distance totale : 0,9 + 6,3 + 0,3 = 7,5 km.

Étape 2 : rendre les durées homogènes. La durée totale est 12 min + 18 min + 4 min = 34 min. Pour l’exprimer en heures, on divise par 60 :

34 min = 34 ÷ 60 h ≈ 0,5667 h.

Étape 3 : appliquer la formule.

Vitesse moyenne = 7,5 ÷ 0,5667 ≈ 13,2 km/h.

Phrase-réponse : La vitesse moyenne de l’élève sur l’ensemble de son déplacement est d’environ 13,2 km/h.

Ce résultat est cohérent : il est supérieur à une vitesse de marche, car une partie du trajet est faite en bus, mais il est inférieur à la vitesse habituelle d’un bus roulant sans arrêt, car le déplacement comprend aussi des marches à pied. Le contrôle de cohérence permet de détecter de nombreuses erreurs de conversion ou d’oubli d’une portion du trajet.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : faire la moyenne simple des vitesses, par exemple (40 + 80) ÷ 2. — À faire : revenir à la définition : vitesse moyenne = distance totale ÷ durée totale.
• Erreur : écrire 1 h 30 = 1,30 h. — À faire : convertir les minutes en fraction d’heure : 30 min = 30 ÷ 60 = 0,5 h, donc 1 h 30 = 1,5 h.
• Erreur : oublier une partie du trajet, comme une marche avant le bus ou une pause incluse dans la durée totale. — À faire : surligner chaque portion et remplir un tableau avec distance, durée et unité.
• Erreur : mélanger km/h et m/s dans le même calcul. — À faire : rendre les unités homogènes avant de calculer ; retenir que 1 m/s = 3,6 km/h et que 1 km/h = 1 ÷ 3,6 m/s.
• Erreur : donner seulement un nombre, sans unité. — À faire : écrire une phrase-réponse complète, par exemple : « La vitesse moyenne est de 72 km/h. »
• Erreur : arrondir trop tôt les résultats intermédiaires. — À faire : garder plusieurs décimales pendant le calcul et arrondir seulement la réponse finale si besoin.

10. À retenir

• La formule de base est v = d ÷ t.
• Pour plusieurs trajets, on utilise toujours vitesse moyenne = distance totale ÷ durée totale.
• La vitesse moyenne n’est généralement pas la moyenne simple des vitesses.
• Les conversions de durée sont essentielles : 1 h 30 = 1,5 h, 45 min = 0,75 h, 15 min = 0,25 h.
• Pour obtenir des km/h, on utilise des kilomètres et des heures.
• Pour obtenir des m/s, on utilise des mètres et des secondes.
• On convertit les vitesses avec 1 m/s = 3,6 km/h.
• Dans un problème à étapes, un tableau aide à ne rien oublier : portion du trajet, distance, durée, vitesse.
• Une phrase-réponse doit toujours contenir une unité et un arrondi adapté.
• Le résultat doit être cohérent avec la situation : marche, vélo, voiture, train ou avion.

11. Exercices d'application

Un fichier PDF d’exercices peut accompagner cette leçon afin de s’entraîner progressivement aux calculs de vitesse moyenne sur plusieurs trajets. Il peut contenir des tableaux à compléter, des problèmes guidés et des questions de vérification d’unités. Les exercices proposés peuvent porter sur les thèmes suivants : Compléter un tableau de vitesses, Vrai ou faux ?, Remettre une solution dans l’ordre, Calculer et saisir la vitesse moyenne et Problèmes à étapes.

Pour réussir ces exercices, on peut utiliser le barème suivant : identifier les données utiles, c’est-à-dire distances, durées et vitesses, vaut 4 points ; effectuer correctement les conversions d’unités vaut 4 points ; calculer la distance totale et la durée totale vaut 4 points ; appliquer la formule v = distance totale ÷ durée totale vaut 5 points ; présenter une réponse claire avec unité et arrondi adapté vaut 3 points. Ce barème montre que le calcul final ne suffit pas : la compréhension de la situation, l’organisation des données et la rédaction sont également évaluées.

Exemple d’entraînement : un cycliste roule 20 min à 18 km/h, puis 40 min à 24 km/h. Calculer la distance de chaque portion, la distance totale, la durée totale en heures, puis la vitesse moyenne. Un autre exercice peut demander de vérifier l’affirmation suivante : « Si on roule la moitié du trajet à 50 km/h et l’autre moitié à 100 km/h, la vitesse moyenne est 75 km/h. » Ce type de question permet de comprendre pourquoi la moyenne simple peut être trompeuse.

12. Questions fréquentes