Problèmes mixtes : aires et périmètres

1. Introduction et problématique

Situation-problème : la classe doit imaginer l’aménagement d’un terrain composé de plusieurs parties. Une zone rectangulaire doit être engazonnée, une petite partie carrée doit être retirée pour installer un bac à sable, et tout le contour extérieur doit être entouré d’une clôture. Pour commander les matériaux, il faut répondre à deux questions différentes : quelle surface faut-il couvrir ? Quelle longueur de clôture faut-il acheter ?

Ces deux questions ressemblent parfois, car elles utilisent les mêmes longueurs de la figure. Pourtant, elles ne demandent pas la même grandeur. L’aire mesure une surface, c’est-à-dire ce que l’on couvre, peint, carrele, plante ou découpe. Le périmètre mesure une longueur, c’est-à-dire le tour d’une figure. Dans un problème mixte, on peut avoir besoin de calculer les deux, mais il ne faut jamais les confondre.

En 6e, les problèmes d’aires et de périmètres portent souvent sur des figures composées. Une figure composée est formée de plusieurs figures simples : rectangles, carrés, triangles, parfois disques ou demi-disques lorsque les formules sont données. Pour réussir, il faut apprendre à décomposer la figure, choisir les bonnes formules, additionner ou soustraire les bonnes grandeurs, puis écrire une réponse avec les unités adaptées.

2. Définition

Définition : L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe. Elle s’exprime en unités carrées : cm², m², km²… Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Il s’exprime en unités de longueur : cm, m, km… Une figure composée est une figure obtenue en assemblant ou en retirant plusieurs figures simples.

On peut retenir trois idées essentielles. D’abord, Aire = surface à couvrir. Par exemple, pour un rectangle de longueur 6 m et de largeur 4 m, l’aire est 6 × 4 = 24 m². Ensuite, Périmètre = longueur du contour. Pour ce même rectangle, le périmètre est 6 + 4 + 6 + 4 = 20 m. Enfin, une figure composée se traite par décomposition : on la partage en figures plus simples ou on imagine une grande figure dont on retire une partie.

Dans une figure composée, l’aire se calcule souvent en additionnant des aires ou en soustrayant une aire. Le périmètre, lui, se calcule en suivant uniquement le contour extérieur. Les segments situés à l’intérieur de la figure ne sont pas comptés dans le périmètre, même s’ils sont visibles sur le dessin.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : L’aire d’une figure composée peut être obtenue en additionnant les aires des parties qui la composent, ou en soustrayant l’aire des parties retirées à l’aire d’une figure plus grande. Le périmètre d’une figure composée est la somme des longueurs des côtés qui forment son contour extérieur.

Les formules utiles en 6e doivent être connues et correctement utilisées. Pour un rectangle, l’aire est longueur × largeur et le périmètre est 2 × (longueur + largeur), ou bien la somme des quatre côtés. Pour un carré, l’aire est côté × côté, que l’on peut écrire côté², et le périmètre est 4 × côté. Pour un triangle rectangle ou un triangle dont on connaît une base et la hauteur correspondante, l’aire est (base × hauteur) ÷ 2. Pour un disque, lorsque la formule est donnée, l’aire est π × rayon² et le périmètre du cercle est 2 × π × rayon. Pour un demi-disque, on prend la moitié de l’aire du disque ; pour son contour, il faut ajouter le demi-cercle et éventuellement le diamètre si celui-ci appartient au bord extérieur.

Une propriété importante est l’additivité des aires : si deux surfaces ne se chevauchent pas, l’aire totale est la somme de leurs aires. Si une surface est enlevée, par exemple un trou, un bassin ou une zone non recouverte, on soustrait son aire. Cette propriété ne s’applique pas de la même manière aux périmètres : deux figures collées peuvent avoir un périmètre total plus petit que la somme de leurs périmètres, car les côtés communs deviennent intérieurs.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi on additionne ou on soustrait les aires, imaginons un terrain composé de deux rectangles qui se touchent sans se superposer. Le premier rectangle a une aire de 18 m² et le second une aire de 12 m². La surface totale recouverte correspond à toutes les cases du premier rectangle plus toutes les cases du second. Comme aucune case n’est comptée deux fois, l’aire totale vaut 18 + 12 = 30 m². C’est le principe d’additivité des aires.

Si, au contraire, on part d’un grand rectangle de 40 m² et qu’une partie de 6 m² est retirée, la surface restante ne contient plus cette partie. L’aire cherchée est donc 40 − 6 = 34 m². On utilise cette méthode lorsqu’une figure ressemble à une grande figure simple avec une découpe : une cour avec un bassin, un rectangle avec un coin manquant, une plaque percée, une pelouse avec une terrasse non engazonnée.

Pour le périmètre, le raisonnement est différent. Le périmètre est le tour extérieur. Si deux rectangles sont collés par un côté, ce côté commun n’est pas sur le bord extérieur : il est à l’intérieur de la figure composée. Il ne faut donc pas l’ajouter au périmètre. On peut vérifier cela en imaginant qu’on pose une ficelle autour de la figure : la ficelle suit seulement l’extérieur, elle ne passe pas sur les séparations internes.

Cette distinction explique une erreur fréquente : additionner les périmètres de toutes les petites figures pour obtenir le périmètre de la figure composée. Ce calcul compte les côtés communs deux fois, alors qu’ils ne font pas partie du contour extérieur. La bonne méthode consiste à repasser le contour extérieur au crayon, puis à additionner uniquement les longueurs rencontrées pendant ce tour.

5. Méthode pas à pas

1. Lire attentivement la question. Cherche-t-on une surface à couvrir, donc une aire ? Cherche-t-on une bordure ou une clôture, donc un périmètre ? Cherche-t-on les deux ?
2. Identifier les unités. Les longueurs sont en cm, m ou km. Les aires seront en cm², m² ou km². On ne mélange pas ces unités.
3. Repérer les longueurs utiles. Certaines longueurs sont écrites sur la figure. D’autres peuvent être déduites par addition ou soustraction, surtout dans les figures rectangulaires.
4. Décomposer la figure. On partage la figure en rectangles, carrés, triangles ou autres figures simples. On peut aussi l’inscrire dans une grande figure et retirer une partie.
5. Choisir les formules adaptées. Rectangle : A = L × l. Carré : A = c². Triangle : A = (base × hauteur) ÷ 2. Pour le périmètre, on additionne les côtés du contour extérieur.
6. Calculer séparément aire et périmètre. On évite de mélanger les calculs : une colonne pour les surfaces, une colonne pour les longueurs.
7. Vérifier le contour extérieur. Pour le périmètre, on ne compte pas les côtés intérieurs, même s’ils sont visibles.
8. Écrire une phrase-réponse. La réponse doit être claire : « L’aire à carreler est … m² » ou « La longueur de clôture nécessaire est … m ».

On peut retenir la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère la question et les longueurs utiles. J’applique les formules en décomposant la figure. Je vérifie les unités et je contrôle que les côtés intérieurs ne sont pas comptés dans le périmètre.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère une figure en forme de L composée de deux rectangles. Le premier rectangle mesure 8 cm de long et 3 cm de large. Le second rectangle, collé sous la partie gauche du premier, mesure 4 cm de long et 5 cm de large. On cherche l’aire totale de la figure.

Ici, la question parle de surface : il faut calculer une aire. La figure est composée de deux rectangles qui ne se superposent pas. On additionne donc leurs aires.

Aire du premier rectangle : 8 × 3 = 24 cm².

Aire du second rectangle : 4 × 5 = 20 cm².

Aire totale : 24 + 20 = 44 cm².

La figure composée a donc une aire de 44 cm². On remarque que l’unité est bien une unité carrée, car on mesure une surface. Il ne faut pas écrire 44 cm : ce serait une longueur, pas une aire.

Si on demandait aussi le périmètre, il faudrait être plus prudent. On ne pourrait pas simplement calculer le périmètre des deux rectangles puis les additionner, car le côté par lequel les rectangles sont collés est intérieur. Le calcul direct de l’aire par addition est correct, mais le calcul du périmètre demande de suivre le contour extérieur.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Un grand rectangle mesure 12 m de long et 7 m de large. Dans un coin, on retire un petit rectangle de 3 m sur 2 m pour installer une zone non engazonnée. On cherche l’aire de la partie qui reste à engazonner.

La figure obtenue est une figure composée par retrait. On peut calculer l’aire du grand rectangle, puis soustraire l’aire du petit rectangle retiré.

Aire du grand rectangle : 12 × 7 = 84 m².

Aire du rectangle retiré : 3 × 2 = 6 m².

Aire restante : 84 − 6 = 78 m².

Il faut donc engazonner 78 m².

Ce type de problème est fréquent avec les mots « enlever », « retirer », « trou », « bassin », « découpe », « zone non recouverte ». Ces mots indiquent souvent qu’il faut soustraire une aire. Mais il faut toujours vérifier la situation : si on ajoute une terrasse à une maison, on additionne les surfaces ; si on enlève un bassin d’une pelouse, on soustrait.

Attention : si on demandait le périmètre de la partie restante, la découpe pourrait ajouter de nouveaux côtés au contour extérieur. Le périmètre ne se déduit pas simplement en soustrayant le périmètre du petit rectangle. Il faut refaire le tour de la nouvelle figure.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un jardin a la forme d’un rectangle de 15 m sur 10 m. Au centre, on installe un bassin rectangulaire de 4 m sur 3 m qui ne sera pas engazonné. On veut aussi poser une bordure tout autour du jardin, mais pas autour du bassin. On demande l’aire de gazon à prévoir et la longueur de bordure nécessaire.

Le problème est mixte : il faut calculer une aire et un périmètre. On sépare donc les deux questions.

Calcul de l’aire de gazon. La surface totale du jardin est l’aire du grand rectangle : 15 × 10 = 150 m². Le bassin a pour aire : 4 × 3 = 12 m². Comme le bassin n’est pas engazonné, on soustrait : 150 − 12 = 138 m². Il faut prévoir 138 m² de gazon.

Calcul de la bordure. La bordure est posée tout autour du jardin, pas autour du bassin. On calcule donc le périmètre du grand rectangle seulement : 15 + 10 + 15 + 10 = 50 m, ou 2 × (15 + 10) = 50 m. Il faut acheter 50 m de bordure.

Ce problème montre bien que l’aire et le périmètre ne répondent pas à la même question. Le bassin modifie l’aire à engazonner, car il retire une surface. Mais il ne modifie pas la bordure extérieure du jardin, puisqu’on ne met pas de bordure autour du bassin. Si la consigne demandait aussi une bordure autour du bassin, il faudrait ajouter son périmètre : 4 + 3 + 4 + 3 = 14 m.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Donner une aire en cm ou en m. — À faire : Verbaliser que le périmètre est une longueur, alors que l’aire est une surface. Utiliser cm², m² ou km² pour une aire.
• Erreur : Additionner tous les côtés visibles, y compris un côté intérieur. — À faire : Repasser le contour extérieur au crayon de couleur avant de calculer le périmètre.
• Erreur : Additionner une aire et une longueur. — À faire : Classer les calculs en deux colonnes : longueurs d’un côté, surfaces de l’autre.
• Erreur : Oublier de diviser par 2 pour l’aire d’un triangle ou d’un demi-disque. — À faire : Se rappeler qu’un triangle peut être vu comme la moitié d’un rectangle et qu’un demi-disque est la moitié d’un disque.
• Erreur : Soustraire alors qu’il faut additionner, ou additionner alors qu’il faut soustraire. — À faire : Colorier les parties ajoutées et hachurer les parties retirées pour comprendre la figure composée.
• Erreur : Utiliser une longueur qui n’est pas dans la même unité que les autres. — À faire : Convertir toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.

10. À retenir

• Aire = surface à couvrir. On l’utilise pour peindre, carreler, engazonner, recouvrir ou découper une surface.
• Périmètre = longueur du contour. On l’utilise pour une clôture, une bordure, un ruban, un tour de terrain.
• Une aire s’exprime en unités carrées : cm², m², km². Un périmètre s’exprime en unités de longueur : cm, m, km.
• Une figure composée se décompose en figures simples : rectangles, carrés, triangles, parfois disques ou demi-disques.
• Pour calculer une aire composée, on additionne les parties présentes ou on soustrait les parties retirées.
• Pour calculer un périmètre composé, on suit uniquement le contour extérieur. Les côtés intérieurs ne sont pas comptés.
• On ne mélange pas aire et périmètre. On peut les calculer dans le même problème, mais on ne les additionne jamais.
• La vérification finale est indispensable. Il faut contrôler la cohérence du résultat, l’unité et la phrase-réponse.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : problèmes mixtes aires et périmètres en 6e. La fiche propose un entraînement progressif sur les figures composées, avec des questions guidées puis des problèmes complets.

Aperçu des types d’exercices : Compléter le tableau avec les formules et les unités adaptées ; Aire ou périmètre ? pour apprendre à reconnaître la grandeur demandée ; Décomposer une figure composée en rectangles, carrés ou triangles ; Écrire les calculs d’un problème sans mélanger longueurs et surfaces ; Problème mixte complet dans lequel il faut calculer à la fois une aire à couvrir et un périmètre de bordure.

Pour s’autoévaluer, on peut utiliser le barème suivant : identifier correctement aire, périmètre ou les deux, 4 points ; choisir et écrire les bonnes formules, 4 points ; décomposer ou recomposer correctement les figures, 4 points ; effectuer les calculs avec exactitude, 5 points ; présenter une réponse claire avec les bonnes unités, 3 points. Un bon travail ne se limite donc pas au résultat : il doit montrer la méthode et les unités.

12. Questions fréquentes