Angles : mesurer et tracer en degrés

1. Introduction et problématique

Situation-problème : Léa doit construire une rosace simple pour décorer la couverture de son cahier. La consigne indique : « Trace une demi-droite [OA), puis trace une deuxième demi-droite [OB) de façon que l’angle AOB mesure 60°. » Léa possède une règle, un crayon et un rapporteur. Elle sait tracer des segments, mais elle hésite : où placer le rapporteur ? quelle graduation lire ? pourquoi voit-elle à la fois 60° et 120° sur le même outil ?

En géométrie de 6e, savoir mesurer et tracer un angle est une compétence essentielle. On la retrouve dans les constructions de figures, les triangles, les polygones, les symétries et les problèmes de repérage. Un angle ne se mesure pas avec une règle, car il ne s’agit pas d’une longueur. Il mesure une ouverture entre deux demi-droites. L’unité utilisée au collège est le degré, noté °.

L’objectif de cette leçon est donc double : apprendre à mesurer correctement un angle au rapporteur, puis apprendre à tracer un angle dont la mesure est donnée. On apprendra aussi à nommer les angles particuliers : angle nul, angle aigu, angle droit, angle obtus et angle plat. Les repères importants sont simples : un angle droit mesure 90°, un angle plat mesure 180°, et un angle de 60° est plus petit qu’un angle droit de 90° : c’est donc un angle aigu.

2. Définition

Définition : Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune s’appelle le sommet de l’angle. Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle. L’unité de mesure d’un angle est le degré, noté °.

Par exemple, si deux demi-droites [OA) et [OB) ont la même origine O, elles forment l’angle AOB. On peut aussi le noter BOA. Dans une notation avec trois lettres, la lettre du sommet est toujours placée au milieu. Ainsi, dans l’angle AOB, le sommet est O.

Un angle se mesure avec un rapporteur. Le rapporteur est souvent gradué de 0° à 180°. Certains rapporteurs possèdent deux graduations : une dans un sens et une dans l’autre. Il ne faut pas lire les deux à la fois. On choisit la graduation qui commence à 0° sur le côté de départ de l’angle.

Les angles particuliers à connaître en 6e sont les suivants. Un angle nul mesure 0° : les deux côtés sont superposés. Un angle aigu mesure plus de 0° et moins de 90°. Un angle droit mesure exactement 90°. Un angle obtus mesure plus de 90° et moins de 180°. Un angle plat mesure exactement 180° : ses côtés forment une ligne droite.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour mesurer correctement un angle au rapporteur, le centre du rapporteur doit être placé sur le sommet de l’angle, et la graduation 0° doit être alignée avec l’un des côtés de l’angle. La mesure se lit alors sur la graduation qui part de ce 0°.

Cette règle est la propriété pratique fondamentale du rapporteur. Elle permet d’éviter l’erreur la plus fréquente : lire 120° au lieu de 60°, ou 50° au lieu de 130°, parce qu’on a choisi la mauvaise échelle.

On utilise aussi les propriétés de classement suivantes :

• un angle aigu est plus petit qu’un angle droit : sa mesure est comprise entre 0° et 90° ;
• un angle droit mesure 90° ;
• un angle obtus est plus grand qu’un angle droit et plus petit qu’un angle plat : sa mesure est comprise entre 90° et 180° ;
• un angle plat mesure 180° ;
• plus la mesure en degrés est grande, plus l’ouverture de l’angle est grande, tant que l’on reste entre 0° et 180° en 6e.

Ces propriétés servent à contrôler une réponse. Par exemple, si un angle paraît plus petit qu’un angle droit, sa mesure ne peut pas être 120°. Si une lecture indique 120° alors que l’angle est visiblement aigu, il faut relire l’autre graduation du rapporteur.

4. Démonstration

Au collège, l’utilisation du rapporteur repose sur une idée simple : on compare l’ouverture de l’angle à une graduation régulière allant de 0° à 180°. Le point central du rapporteur représente le sommet de l’angle. La ligne de base du rapporteur représente une ouverture de départ de 0°. Quand on place correctement le centre du rapporteur sur le sommet, on fait coïncider le point de départ des ouvertures avec le sommet réel de l’angle.

Si le centre est décalé, la mesure n’a plus de sens : on ne mesure plus l’ouverture entre les deux demi-droites à partir de leur origine commune. C’est pourquoi on insiste toujours sur la phrase : « Pour mesurer, le centre du rapporteur se place sur le sommet de l’angle. »

Ensuite, on aligne le 0° avec un côté de l’angle. Cela signifie que ce côté sert de côté de départ. La deuxième demi-droite coupe alors la graduation du rapporteur à un certain nombre de degrés. Ce nombre indique combien l’angle est ouvert à partir du côté de départ. Si la graduation choisie commence à 0° du bon côté, la lecture est correcte.

Les deux graduations d’un rapporteur existent car on peut mesurer un angle dans deux sens : de gauche à droite ou de droite à gauche. Elles ne donnent pas deux mesures possibles pour le même angle ; elles permettent seulement de lire facilement selon le côté choisi comme départ.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je repère le sommet de l’angle et ses deux côtés. Le sommet est le point commun aux deux demi-droites. Je peux l’entourer légèrement au crayon pour ne pas le perdre.
2. Je place. Je pose le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l’angle. Sur beaucoup de rapporteurs, ce centre est indiqué par une petite croix, un trou ou un trait vertical.
3. J’aligne. J’aligne la graduation 0° avec l’un des côtés de l’angle. Si le côté est trop court, je peux le prolonger légèrement au crayon et à la règle, sans changer l’angle.
4. Je choisis la bonne graduation. Je regarde quelle échelle commence à 0° sur le côté de départ. C’est uniquement cette graduation que je dois suivre.
5. Je lis. Je lis la mesure là où l’autre côté de l’angle coupe la graduation. Si l’autre côté est trop court, je peux aussi le prolonger.
6. Je vérifie. Je compare avec les angles repères : 90° pour un angle droit, 180° pour un angle plat, moins de 90° pour un angle aigu. Si ma lecture ne correspond pas à l’allure de l’angle, je recommence.
7. Pour tracer. Je trace d’abord une demi-droite, je place le rapporteur sur son origine, j’aligne le 0°, je marque un point à la mesure demandée, puis je trace la deuxième demi-droite passant par ce point.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut mesurer l’angle AOB représenté sur une figure. Le sommet est O, les côtés sont [OA) et [OB). On suppose que l’angle semble plus petit qu’un angle droit.

Étape 1 : on repère le sommet O. Comme la notation est AOB, la lettre du milieu est O : c’est bien le sommet.

Étape 2 : on place le centre du rapporteur sur O. La base du rapporteur est alignée avec le côté [OA). On vérifie que le 0° est bien sur la demi-droite [OA).

Étape 3 : on choisit la graduation qui commence à 0° du côté de A. En suivant cette graduation, la demi-droite [OB) coupe le rapporteur au niveau de 60°.

Conclusion : l’angle AOB mesure 60°. On écrit : AOB = 60°. Comme 60° est plus petit que 90°, l’angle AOB est un angle aigu.

Vérification : l’angle observé est bien moins ouvert qu’un angle droit. La mesure 60° est donc cohérente. Si on avait lu 120°, il aurait fallu se méfier, car 120° correspond à un angle obtus, plus grand qu’un angle droit.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On veut tracer un angle AOB de mesure 70°. Le point O est donné, et on doit construire les demi-droites [OA) et [OB).

Étape 1 : on trace une première demi-droite [OA). Elle part du point O et passe par un point A. Cette demi-droite sera le côté de départ de l’angle.

Étape 2 : on place le centre du rapporteur sur O. On aligne le 0° de la bonne graduation avec la demi-droite [OA).

Étape 3 : on cherche la graduation 70° sur l’échelle qui commence à 0° sur [OA). On marque un petit point fin au crayon à cette graduation. Appelons ce point B ou un point situé sur la direction de B.

Étape 4 : avec la règle, on trace la demi-droite [OB) passant par le point marqué. L’angle formé par [OA) et [OB) mesure alors 70°.

Conclusion : l’angle AOB mesure 70°. Comme 70° est inférieur à 90°, c’est un angle aigu.

On termine toujours par une vérification visuelle : l’angle de 70° doit être un peu plus grand qu’un angle de 60°, mais encore plus petit qu’un angle droit. Si le dessin semble obtus, il faut vérifier que l’on n’a pas marqué 110° au lieu de 70°.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur demande de tracer un panneau de signalisation simplifié. À partir d’un point O, il faut tracer trois directions : [OA), [OB) et [OC). On sait que AOB = 90° et que BOC = 45°. On veut connaître la nature des angles et construire la figure proprement.

Construction de AOB : on trace d’abord la demi-droite [OA). On place le centre du rapporteur sur O et on aligne le 0° avec [OA). On marque un point à 90°, puis on trace la demi-droite [OB). L’angle AOB est un angle droit, car il mesure 90°.

Construction de BOC : on prend maintenant [OB) comme côté de départ. On place de nouveau le centre du rapporteur sur O. On aligne le 0° avec [OB), puis on marque un point à 45° du côté souhaité. On trace la demi-droite [OC). L’angle BOC mesure 45° : c’est un angle aigu.

Analyse : l’angle AOB est droit, l’angle BOC est aigu. Si les demi-droites [OA), [OB) et [OC) sont tracées dans le même sens d’ouverture, l’angle AOC mesure 90° + 45° = 135°. Cet angle est plus grand que 90° et plus petit que 180° : c’est donc un angle obtus.

Ce problème montre que la mesure d’un angle sert à décrire précisément une figure. Sans les degrés, on pourrait seulement dire « plus ouvert » ou « moins ouvert », ce qui serait insuffisant pour construire avec précision.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : lire 120° au lieu de 60° — À faire : revenir au 0° placé sur le côté de départ et suivre uniquement la graduation qui commence à ce 0°.
• Erreur : poser le rapporteur à côté du sommet — À faire : placer exactement la croix, le trou ou le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.
• Erreur : confondre angle aigu et angle obtus — À faire : comparer l’angle avec un angle droit de 90°, par exemple avec l’équerre.
• Erreur : tracer un angle imprécis — À faire : marquer un point fin à la bonne graduation, puis tracer la demi-droite avec un crayon bien taillé.
• Erreur : nommer un angle avec une seule lettre — À faire : utiliser trois lettres, avec la lettre du sommet au milieu, par exemple AOB.
• Erreur : mesurer une longueur au lieu d’une ouverture — À faire : se rappeler qu’un angle ne dépend pas de la longueur dessinée de ses côtés, mais de leur écartement.

10. À retenir

• Un angle est formé par deux demi-droites de même origine.
• L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
• Un angle se note souvent avec trois lettres : dans AOB, le sommet est O.
• L’unité de mesure d’un angle est le degré, noté °.
• Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur.
• Le centre du rapporteur se place toujours sur le sommet de l’angle.
• Le 0° du rapporteur doit être aligné avec l’un des côtés de l’angle.
• Il faut lire la graduation qui commence à 0° sur le côté choisi.
• Un angle aigu mesure entre 0° et 90°.
• Un angle droit mesure 90°.
• Un angle obtus mesure entre 90° et 180°.
• Un angle plat mesure 180°.
• Pour tracer un angle, on trace une demi-droite de départ, on marque la mesure au rapporteur, puis on trace la deuxième demi-droite.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Angles : mesurer et tracer en degrés — 6e ». Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à reconnaître, mesurer, nommer et construire des angles au rapporteur.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Reconnaître les angles particuliers : identifier des angles aigus, droits, obtus et plats à partir de dessins ou de mesures données.
• Choisir la bonne phrase : sélectionner l’affirmation correcte, par exemple « un angle obtus mesure plus de 90° et moins de 180° ».
• Remettre la méthode dans l’ordre : replacer les étapes de mesure ou de tracé d’un angle au rapporteur.
• Mesurer et nommer : mesurer plusieurs angles, écrire leur mesure en degrés et les nommer avec trois lettres.
• Tracer des angles : construire des angles de 30°, 60°, 70°, 90°, 120° ou 150° avec soin.

Barème possible pour une évaluation sur 20 points : vocabulaire des angles particuliers, 4 points ; placement correct du rapporteur, 4 points ; lecture correcte de la graduation, 4 points ; tracé précis des angles demandés, 5 points ; soin, notation et vérification de la nature de l’angle, 3 points.

12. Questions fréquentes