Diagrammes circulaires : construire au rapporteur

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 6e, on demande aux 24 élèves quel est leur fruit préféré. Les réponses sont regroupées dans un tableau : 6 élèves choisissent la pomme, 8 choisissent la banane, 4 choisissent la fraise et 6 choisissent l’orange. On veut présenter ces résultats de manière claire, rapide à lire et visuelle. Un tableau donne les nombres, mais il ne permet pas toujours de comparer immédiatement les parts. Un diagramme circulaire, aussi appelé « camembert », permet de représenter chaque catégorie par une portion de disque : plus l’effectif est grand, plus le secteur circulaire est grand.

La question principale est donc : comment passer d’un tableau d’effectifs à un diagramme circulaire construit au rapporteur ? Pour répondre, il faut comprendre que le cercle complet représente la totalité des réponses. Or un cercle complet mesure 360°. Chaque catégorie doit donc recevoir un angle proportionnel à son effectif. Si une catégorie représente la moitié des élèves, son secteur doit mesurer la moitié de 360°, donc 180°. Si elle représente un quart des élèves, son secteur doit mesurer un quart de 360°, donc 90°.

Dans cette leçon, l’objectif est de savoir construire un diagramme circulaire en 6e à partir d’un tableau d’effectifs. On apprendra à calculer l’effectif total, à utiliser la formule angle = effectif ÷ total × 360°, à vérifier que le total des angles = 360°, puis à tracer soigneusement les secteurs au rapporteur. La compétence travaillée appartient au domaine « Organisation et gestion de données » du programme de mathématiques du collège : lire, interpréter et représenter des données sous forme de tableaux et de graphiques.

2. Définition

Définition : Un diagramme circulaire est une représentation graphique de données dans un disque. Le disque entier représente l’ensemble des données, c’est-à-dire 100 % ou l’effectif total. Chaque catégorie est représentée par un secteur circulaire dont l’angle est proportionnel à l’effectif de cette catégorie.

On parle souvent de « camembert » parce que le disque est découpé en parts. Chaque part correspond à une catégorie : par exemple un sport préféré, un moyen de transport, une couleur choisie ou un type de livre lu. Dans un diagramme circulaire, on ne trace pas les parts au hasard : leurs angles doivent respecter les proportions du tableau.

Trois idées sont essentielles :

• CERCLE COMPLET : le total des angles est toujours égal à 360°.
• ANGLE PROPORTIONNEL : plus l’effectif est grand, plus l’angle du secteur est grand.
• SECTEUR CIRCULAIRE : un secteur représente une catégorie.

Par exemple, si un tableau porte sur 24 élèves et qu’une catégorie contient 6 élèves, cette catégorie représente 6 ÷ 24 = 1 ÷ 4 du total. Son secteur représente donc un quart du cercle, et son angle vaut 1 ÷ 4 × 360° = 90°. Cette méthode permet de passer d’un nombre d’élèves à un angle à tracer.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif de la catégorie correspondante. Pour une catégorie d’effectif donné, on calcule son angle par la formule : angle = effectif de la catégorie ÷ effectif total × 360°.

Cette propriété repose sur la proportionnalité. Dans un diagramme circulaire, l’effectif total correspond au cercle complet, donc à 360°. Les autres effectifs correspondent à des parties du cercle. On peut donc organiser les données dans un tableau de proportionnalité :

La formule peut se lire en trois étapes : on cherche d’abord la part de la catégorie dans le total, en calculant effectif ÷ total. Puis on transforme cette part en angle, en multipliant par 360°. On obtient donc : angle = effectif ÷ total × 360°.

Une conséquence importante est la vérification finale : la somme de tous les angles doit être égale à 360°. Si la somme n’est pas égale à 360°, cela signifie qu’un calcul est faux, qu’un arrondi a été mal géré ou qu’une catégorie a été oubliée. En 6e, on privilégie souvent des exemples où les angles sont des nombres entiers simples, mais on peut rencontrer des angles décimaux ou des arrondis au degré près.

4. Démonstration

On veut justifier la formule utilisée pour calculer l’angle d’un secteur. Dans un diagramme circulaire, le disque entier représente toutes les données. Si l’effectif total est noté T, alors T correspond à 360°. Une catégorie d’effectif e correspond seulement à une partie du total. La part de cette catégorie dans l’ensemble est donc e ÷ T.

Comme le cercle complet mesure 360°, la même part du cercle correspond à la même part de 360°. L’angle du secteur est donc égal à la fraction du total multipliée par 360°. On obtient : angle = e ÷ T × 360°.

Prenons un exemple pour rendre cette justification concrète. Si 12 élèves sur 24 choisissent une activité, ils représentent 12 ÷ 24 = 1 ÷ 2 du total. Le secteur doit donc représenter la moitié du cercle. Or la moitié de 360° est 180°. L’angle vaut donc 180°. Si 6 élèves sur 24 choisissent une autre activité, ils représentent 6 ÷ 24 = 1 ÷ 4 du total. Le secteur doit donc représenter un quart du cercle. Or un quart de 360° vaut 90°. L’angle vaut donc 90°.

Cette démonstration montre que les angles ne dépendent pas seulement des effectifs, mais surtout de leur part dans le total. Un effectif de 10 peut donner un grand secteur si le total est 20, mais un petit secteur si le total est 200. C’est pourquoi il faut toujours commencer par calculer l’effectif total avant de calculer les angles.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je lis le tableau, j’identifie les catégories et les effectifs. Je calcule l’effectif total en additionnant tous les effectifs.
2. J’applique : pour chaque catégorie, je calcule l’angle avec la formule : angle = effectif de la catégorie ÷ effectif total × 360°.
3. Je complète un tableau : j’ajoute une colonne « angle » au tableau des effectifs. Si nécessaire, j’ajoute aussi une colonne « calcul » pour garder une trace claire de mon raisonnement.
4. Je vérifie : j’additionne tous les angles. La somme doit être égale à 360°. Si des angles ont été arrondis, la somme doit rester très proche de 360° ou être ajustée selon la consigne du professeur.
5. Je prépare le tracé : je trace un cercle avec un compas, je marque son centre, puis je trace un premier rayon qui servira de rayon de départ.
6. Je place le rapporteur : je place le centre du rapporteur sur le centre du cercle et j’aligne le zéro du rapporteur avec le rayon de départ.
7. Je trace les secteurs : je mesure le premier angle et je trace un nouveau rayon. Pour le secteur suivant, je repars du rayon que je viens de tracer. Les secteurs doivent se suivre sans trou ni chevauchement.
8. Je rends le diagramme lisible : je colorie chaque secteur, j’ajoute un titre et une légende. Chaque couleur doit correspondre à une catégorie.

On peut retenir la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie. D’abord on repère les données et le total, ensuite on applique la formule de proportionnalité, enfin on vérifie la somme des angles et la qualité du tracé.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On interroge 24 élèves sur leur fruit préféré. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

On calcule l’angle de chaque secteur.

Pour la pomme : 6 ÷ 24 × 360° = 0,25 × 360° = 90°.

Pour la banane : 8 ÷ 24 × 360° = 1 ÷ 3 × 360° = 120°.

Pour la fraise : 4 ÷ 24 × 360° = 1 ÷ 6 × 360° = 60°.

Pour l’orange : 6 ÷ 24 × 360° = 90°.

Vérification : 90° + 120° + 60° + 90° = 360°. Les calculs sont cohérents. On peut donc construire le diagramme : tracer un cercle, choisir un rayon de départ, puis placer successivement les angles 90°, 120°, 60° et 90°. On colorie ensuite les secteurs et on ajoute la légende.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans certains exercices, on connaît les angles du diagramme circulaire et on veut retrouver les effectifs. C’est le cas inverse. Supposons qu’une enquête porte sur 30 élèves. Le diagramme circulaire comporte trois secteurs : lecture 120°, sport 180° et jeux vidéo 60°. On veut retrouver combien d’élèves correspondent à chaque catégorie.

Cette fois, le total des élèves est 30 et le cercle complet mesure 360°. On utilise encore la proportionnalité. Pour trouver l’effectif d’une catégorie, on calcule la part de l’angle dans 360°, puis on multiplie par l’effectif total :

effectif = angle ÷ 360° × effectif total.

Pour la lecture : 120° ÷ 360° × 30 = 1 ÷ 3 × 30 = 10. Il y a 10 élèves.

Pour le sport : 180° ÷ 360° × 30 = 1 ÷ 2 × 30 = 15. Il y a 15 élèves.

Pour les jeux vidéo : 60° ÷ 360° × 30 = 1 ÷ 6 × 30 = 5. Il y a 5 élèves.

Vérification : 10 + 15 + 5 = 30. Les effectifs retrouvés correspondent bien au total. On peut aussi vérifier les angles : 120° + 180° + 60° = 360°.

Ce type d’exercice permet de comprendre que le diagramme circulaire est une représentation proportionnelle. Il ne sert pas seulement à dessiner : il permet aussi de lire et d’interpréter des informations. Toutefois, lorsqu’on construit un diagramme en 6e, la tâche principale reste le calcul des angles à partir d’un tableau d’effectifs.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Le professeur principal d’une classe souhaite connaître le moyen de transport utilisé par les élèves pour venir au collège. Les résultats sont les suivants :

On veut construire un diagramme circulaire représentant ces données. Première étape : calculer l’effectif total. On obtient 9 + 12 + 6 + 3 = 30. Le cercle complet représentera donc 30 élèves et mesurera 360°.

Calcul des angles :

À pied : 9 ÷ 30 × 360° = 0,3 × 360° = 108°.

Bus : 12 ÷ 30 × 360° = 0,4 × 360° = 144°.

Voiture : 6 ÷ 30 × 360° = 0,2 × 360° = 72°.

Vélo : 3 ÷ 30 × 360° = 0,1 × 360° = 36°.

On complète le tableau :

Vérification : 108° + 144° + 72° + 36° = 360°. La construction peut commencer. On trace un cercle, puis un rayon de départ. Avec le rapporteur, on place 108° pour le secteur « À pied ». À partir du nouveau rayon, on place 144° pour le bus. Ensuite, on place 72° pour la voiture, puis 36° pour le vélo. Le dernier secteur doit revenir exactement au rayon de départ si les calculs et les tracés sont corrects.

Pour finir, on donne un titre précis : « Moyens de transport des élèves pour venir au collège ». On utilise quatre couleurs et une légende : bleu pour « À pied », vert pour « Bus », rouge pour « Voiture », jaune pour « Vélo ». Le diagramme devient alors lisible et exploitable.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : la somme des angles n’est pas égale à 360° — À faire : reprendre chaque calcul, vérifier l’effectif total, puis additionner les angles avant de tracer.
• Erreur : calculer total ÷ effectif × 360° — À faire : rappeler que l’on cherche la part de la catégorie : effectif de la catégorie ÷ effectif total.
• Erreur : oublier une catégorie du tableau — À faire : cocher chaque catégorie lorsqu’elle a été calculée et tracée.
• Erreur : arrondir trop tôt les calculs — À faire : garder les valeurs exactes le plus longtemps possible, puis arrondir seulement à la fin si la consigne le demande.
• Erreur : mal placer le rapporteur sur le centre du cercle — À faire : marquer clairement le centre et aligner le zéro du rapporteur avec le rayon de départ.
• Erreur : faire partir tous les angles du même rayon de départ — À faire : tracer chaque nouveau secteur à partir du rayon précédent, pour que les secteurs se suivent.
• Erreur : obtenir des secteurs qui se chevauchent ou qui laissent un espace — À faire : vérifier que le rapporteur est bien orienté et que chaque angle est placé dans le bon sens.
• Erreur : produire un diagramme juste mais difficile à lire — À faire : ajouter un titre, des couleurs, une légende et des tracés propres.

10. À retenir

• Un diagramme circulaire, ou camembert, sert à représenter des données sous forme de secteurs dans un disque.
• Le cercle complet représente l’effectif total et mesure toujours 360°.
• Chaque secteur représente une catégorie du tableau.
• L’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif de la catégorie.
• La formule à connaître est : angle = effectif de la catégorie ÷ effectif total × 360°.
• Avant de tracer, il faut toujours vérifier que la somme des angles est égale à 360°.
• Pour construire le diagramme, on utilise un compas pour le cercle et un rapporteur pour mesurer les angles.
• Les secteurs doivent être tracés les uns à la suite des autres, à partir du centre du cercle.
• Un bon diagramme circulaire doit avoir un titre, des couleurs et une légende claire.
• La routine utile est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

Mot-repère : camembert. On calcule le total : 24 élèves. Pour une catégorie de 6 élèves : 6 ÷ 24 = 1 ÷ 4. L’angle vaut 1 ÷ 4 × 360° = 90°. Cette image mentale aide à comprendre qu’une part du total devient une part du cercle.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Diagrammes circulaires — construire au rapporteur en 6e. Le fichier d’entraînement peut contenir des exercices progressifs : compléter un tableau d’angles, choisir la bonne méthode, remettre les étapes dans l’ordre, calculer puis construire un diagramme circulaire, repérer et corriger les erreurs dans une copie d’élève.

Exemples de tâches possibles :

• Compléter un tableau d’angles : on donne les catégories et les effectifs, puis il faut calculer l’effectif total et chaque angle.
• Choisir la bonne méthode : parmi plusieurs formules proposées, il faut reconnaître celle qui convient : angle = effectif ÷ total × 360°.
• Remettre les étapes dans l’ordre : calculer le total, calculer les angles, vérifier la somme, tracer le cercle, placer les secteurs, ajouter la légende.
• Calculer puis construire : on réalise entièrement un diagramme circulaire au rapporteur à partir d’un tableau.
• Repérer et corriger les erreurs : on observe un diagramme ou un tableau d’angles et on explique ce qui ne va pas.

Barème possible sur 10 points : calcul de l’effectif total, 1 point ; application correcte de la formule de proportionnalité, 2 points ; angles correctement calculés, 2 points ; vérification de la somme des angles égale à 360°, 1 point ; construction soignée au rapporteur et légende lisible, 4 points. Ce barème montre qu’un diagramme circulaire n’est pas seulement un dessin : les calculs, la vérification et la présentation comptent tous.

12. Questions fréquentes