Contenances : litre, dL, cL, mL, hL

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on lit souvent des contenances sur des bouteilles, des briques de jus, des bidons, des verres doseurs ou des recettes de cuisine. Une bouteille d’eau contient 1,5 L, un flacon de sirop peut contenir 70 cL, une petite dose de médicament se mesure en mL, et une grande cuve agricole peut être exprimée en hL. Pourtant, ces écritures désignent parfois la même quantité de liquide avec des unités différentes. Par exemple, 1 L, 10 dL, 100 cL et 1000 mL représentent exactement la même contenance.

La difficulté en 6e est de comprendre que convertir ne change pas la quantité réelle : seule l’unité utilisée change. Si l’unité choisie est plus petite, le nombre devient plus grand ; si l’unité choisie est plus grande, le nombre devient plus petit. Cette idée permet d’éviter de déplacer la virgule au hasard. On apprend donc à repérer l’unité de départ, l’unité d’arrivée, puis à utiliser un tableau de conversion ou les multiplications et divisions par 10, 100 ou 1000.

Cette leçon a pour objectif de convertir entre hL, L, dL, cL et mL, de résoudre des problèmes simples de contenance et de faire le lien essentiel entre contenance et volume : 1 L = 1 dm³. Ce lien permet de comprendre qu’un récipient ayant un volume intérieur de 1 décimètre cube peut contenir exactement 1 litre.

2. Définition

Définition : La contenance d’un récipient est la quantité de liquide, ou plus généralement de matière, qu’il peut contenir. L’unité usuelle principale de contenance est le litre, noté L. On utilise aussi ses multiples et sous-multiples : l’hectolitre, noté hL, le décilitre, noté dL, le centilitre, noté cL, et le millilitre, noté mL.

Le mot repère est litre, que l’on peut découper en syllabes : li-tre. Il faut retenir que 1 litre correspond à 10 dL, 100 cL ou 1000 mL. On retient aussi que 1 litre est la contenance d’un volume de 1 dm³.

Les unités les plus utilisées en 6e sont les suivantes :

• hL : hectolitre, utilisé pour de grandes contenances, par exemple une cuve ;
• L : litre, unité usuelle principale, utilisée pour des bouteilles ou des seaux ;
• dL : décilitre, rarement utilisé au quotidien mais utile dans le tableau ;
• cL : centilitre, utilisé pour des boissons ou des recettes ;
• mL : millilitre, utilisé pour de très petites contenances, comme des doses ou des médicaments.

Les écritures doivent toujours comporter une unité. Écrire seulement « 250 » ne suffit pas : il faut écrire 250 mL, 250 cL ou 250 L selon la situation.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans les unités de contenance du système décimal, chaque changement d’un rang vers la droite correspond à une multiplication par 10, et chaque changement d’un rang vers la gauche correspond à une division par 10.

La chaîne de conversion utile est :

hL → daL → L → dL → cL → mL

Même si l’unité daL, le décalitre, est moins utilisée, elle est importante dans le tableau car elle se situe entre hL et L. Elle permet de comprendre pourquoi 1 hL = 100 L et non 10 L.

Les équivalences fondamentales à connaître sont :

• 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL ;
• 1 hL = 100 L ;
• 1 L = 1 dm³ ;
• 1 mL = 1 cm³, résultat utile pour faire le lien avec les volumes.

Quand on convertit vers une unité plus petite, on obtient un nombre plus grand. Par exemple, le millilitre est plus petit que le litre, donc 2 L = 2000 mL. Quand on convertit vers une unité plus grande, on obtient un nombre plus petit. Par exemple, 250 cL = 2,5 L.

Ces propriétés reposent sur le système décimal : les préfixes ont un sens précis. Déci- signifie un dixième, centi- signifie un centième, milli- signifie un millième, et hecto- signifie cent.

4. Démonstration

On justifie les conversions grâce à la signification des préfixes et au système décimal. Le litre est l’unité de référence. Un décilitre est un dixième de litre, donc il faut 10 dL pour faire 1 L. Ainsi, 1 L = 10 dL. Un centilitre est un centième de litre, donc il faut 100 cL pour faire 1 L. Ainsi, 1 L = 100 cL. Un millilitre est un millième de litre, donc il faut 1000 mL pour faire 1 L. Ainsi, 1 L = 1000 mL.

Pour l’hectolitre, le préfixe hecto- signifie 100. Un hectolitre correspond donc à 100 litres : 1 hL = 100 L. Dans le tableau, on le voit aussi en passant de hL à daL, puis de daL à L. Il y a deux déplacements vers la droite, donc on multiplie par 10 puis encore par 10 : 10 × 10 = 100.

Le lien avec les volumes s’explique par la géométrie. Un cube de 1 dm de côté a pour volume :

1 dm × 1 dm × 1 dm = 1 dm³.

On a défini la contenance correspondante comme étant 1 litre. Donc un récipient dont l’intérieur occupe un volume de 1 dm³ peut contenir 1 L. Cette égalité est très importante car elle relie deux grandeurs : la contenance, exprimée en litres, et le volume, exprimé en unités cubiques. Elle permet aussi de comprendre que 1 mL = 1 cm³, car 1 dm³ contient 1000 cm³ et 1 L contient 1000 mL.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’unité de départ. Par exemple, dans 3,5 L, l’unité de départ est le litre.
2. Je repère l’unité d’arrivée. Par exemple, si on demande des mL, l’unité d’arrivée est le millilitre.
3. Je place les unités dans l’ordre. La chaîne est hL, daL, L, dL, cL, mL.
4. Je compte les déplacements. De L à mL, on passe par dL, cL, puis mL : il y a trois rangs vers la droite.
5. J’applique la règle. Vers la droite, on multiplie par 10 à chaque rang. Trois rangs vers la droite correspondent à × 1000.
6. Je calcule. Par exemple, 3,5 L = 3,5 × 1000 mL = 3500 mL.
7. Je vérifie la cohérence. Comme le mL est plus petit que le L, le nombre en mL doit être plus grand que le nombre en L.
8. J’écris une phrase-réponse. Par exemple : 3,5 L correspondent à 3500 mL.

On peut aussi utiliser un tableau de conversion :

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les unités de départ et d’arrivée ; j’applique le déplacement dans le tableau ou la multiplication/division ; je vérifie que le résultat est cohérent avec la taille de l’unité.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Convertir 4,2 L en mL.

Étape 1 : repérer les unités. L’unité de départ est le litre, L. L’unité d’arrivée est le millilitre, mL.

Étape 2 : compter les rangs. Dans la chaîne L → dL → cL → mL, on se déplace de trois rangs vers la droite.

Étape 3 : appliquer la règle. Vers la droite, on multiplie par 10 à chaque rang. Trois rangs vers la droite donnent une multiplication par 1000.

Calcul : 4,2 × 1000 = 4200.

Réponse : 4,2 L = 4200 mL.

Vérification : Le millilitre est une unité plus petite que le litre. Pour une même contenance, le nombre de millilitres doit donc être plus grand que le nombre de litres. Le résultat 4200 mL est cohérent.

Autre exemple du même type : convertir 0,75 L en cL. De L à cL, il y a deux rangs vers la droite, donc on multiplie par 100. On obtient 0,75 L = 75 cL. C’est exactement la contenance classique de certaines bouteilles.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Convertir 350 cL en L.

Étape 1 : repérer les unités. L’unité de départ est le centilitre, cL. L’unité d’arrivée est le litre, L.

Étape 2 : compter les rangs. Dans la chaîne L → dL → cL, on voit que cL est deux rangs à droite de L. Pour revenir de cL vers L, on se déplace donc de deux rangs vers la gauche.

Étape 3 : appliquer la règle. Vers la gauche, on divise par 10 à chaque rang. Deux rangs vers la gauche correspondent à une division par 100.

Calcul : 350 ÷ 100 = 3,5.

Réponse : 350 cL = 3,5 L.

Vérification : Le litre est une unité plus grande que le centilitre. Pour une même contenance, le nombre exprimé en litres doit donc être plus petit que le nombre exprimé en centilitres. Le résultat 3,5 L est cohérent.

Attention : il ne faut pas écrire 350 cL = 35 L. Ce serait multiplier au lieu de diviser. La question à se poser est toujours : « Est-ce que l’unité d’arrivée est plus grande ou plus petite ? »

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une classe prépare une boisson pour une sortie. Elle dispose de 2 bouteilles de 1,5 L de jus, de 3 bouteilles de 75 cL d’eau pétillante et de 500 mL de sirop. Quelle est la contenance totale de boisson préparée, en litres ?

Étape 1 : choisir une unité commune. On demande la réponse en litres. On convertit donc toutes les contenances en L.

Étape 2 : convertir chaque quantité.

• 2 bouteilles de 1,5 L : 2 × 1,5 L = 3 L ;
• 75 cL = 0,75 L, donc 3 bouteilles de 75 cL : 3 × 0,75 L = 2,25 L ;
• 500 mL = 0,5 L, car 1000 mL = 1 L.

Étape 3 : additionner.

3 L + 2,25 L + 0,5 L = 5,75 L.

Réponse : La classe prépare 5,75 L de boisson.

Vérification : Les deux bouteilles de jus donnent déjà 3 L. Les trois bouteilles de 75 cL donnent un peu plus de 2 L. Le sirop ajoute un demi-litre. Un total proche de 6 L est donc raisonnable. La réponse 5,75 L est cohérente.

Ce type de problème montre l’importance de convertir avant d’additionner. On ne peut pas additionner directement 1,5 L, 75 cL et 500 mL sans les mettre dans une même unité.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire 1 hL = 10 L — À faire : placer hL, daL, L dans le tableau. Il y a deux rangs entre hL et L, donc 1 hL = 100 L.
• Erreur : convertir 1 L en 10 cL — À faire : rappeler la chaîne L, dL, cL, mL. De L à cL, il y a deux rangs, donc 1 L = 100 cL.
• Erreur : déplacer la virgule dans le mauvais sens — À faire : comparer les unités. En mL, le nombre est plus grand qu’en L pour une même contenance.
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse — À faire : écrire une phrase-réponse complète, par exemple : « La contenance est de 250 mL. »
• Erreur : additionner des contenances d’unités différentes — À faire : convertir toutes les quantités dans la même unité avant de calculer.
• Erreur : ne pas utiliser le lien 1 L = 1 dm³ — À faire : se représenter un cube de 1 dm de côté : son volume est 1 dm³ et il peut contenir 1 L.

10. À retenir

• L’unité usuelle principale de contenance est le litre, noté L.
• Les unités à connaître sont : hL, daL, L, dL, cL, mL.
• 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL.
• 1 hL = 100 L, car hecto- signifie 100.
• Quand on va vers une unité plus petite, le nombre devient plus grand.
• Quand on va vers une unité plus grande, le nombre devient plus petit.
• Pour convertir, on peut utiliser un tableau ou multiplier/diviser par 10 à chaque rang.
• Il faut toujours écrire l’unité dans la réponse.
• On ne doit pas additionner des contenances d’unités différentes sans les convertir.
• Le lien fondamental avec les volumes est : 1 L = 1 dm³.

11. Exercices d'application

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Les exercices d’application permettent de s’entraîner progressivement. On commence par compléter un tableau de conversion avec les unités hL, daL, L, dL, cL et mL. On poursuit avec des questions où il faut choisir la bonne égalité, par exemple entre 1 L = 100 cL et 1 L = 10 cL. D’autres exercices demandent de recomposer une contenance : par exemple, écrire 2 L et 35 cL en cL, ou transformer 1500 mL en L.

Un autre type d’exercice consiste à encoder correctement une valeur dans un tableau de conversion, notamment avec des nombres décimaux comme 0,75 L ou 3,08 hL. Enfin, des problèmes concrets permettent d’utiliser les conversions dans des situations de la vie quotidienne : recettes, bouteilles, réservoirs, aquarium, dosage ou remplissage d’un récipient.

Barème conseillé sur 20 points : connaissance des équivalences de base, 4 points ; utilisation correcte du tableau de conversion, 4 points ; conversions avec nombres décimaux, 4 points ; résolution de problèmes et choix de l’unité, 5 points ; présentation, unités écrites et cohérence des réponses, 3 points.

12. Questions fréquentes