Critères de divisibilité : 2, 3, 5, 9, 10

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on doit souvent répartir des objets en paquets de même taille. Par exemple, une classe organise une collecte de 342 cahiers. Peut-on faire des paquets de 2 cahiers ? de 3 cahiers ? de 5 cahiers ? de 9 cahiers ? de 10 cahiers ? On pourrait poser toutes les divisions, mais cela prendrait du temps. En mathématiques, on utilise des critères de divisibilité : ce sont des règles rapides qui permettent de savoir si un nombre entier est divisible par un autre, sans effectuer toute la division.

Dans cette leçon de 6e, on étudie les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10. Ces critères font partie des connaissances utiles pour calculer mentalement, simplifier des fractions, reconnaître des multiples, résoudre des problèmes de partage et préparer les notions d’arithmétique vues plus tard au collège.

Mot repère : 342. On additionne ses chiffres : 3 + 4 + 2 = 9. Or 9 est divisible par 3 et par 9. Donc 342 est divisible par 3 et par 9. Il est aussi divisible par 2 car il se termine par 2, qui est un chiffre pair.

2. Définition

Définition : Un nombre entier est divisible par un autre nombre entier non nul lorsque la division donne un quotient entier et un reste égal à 0. Autrement dit, un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si l’on peut écrire a = b × q, où q est un nombre entier.

Exemple : 24 est divisible par 3 car 24 = 3 × 8. La division 24 ÷ 3 donne 8, sans reste. En revanche, 25 n’est pas divisible par 3 car 25 ÷ 3 donne 8 avec un reste de 1.

Quand un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10, on dit aussi que c’est un multiple de 2, 3, 5, 9 ou 10. Par exemple, 40 est divisible par 5 et par 10 ; donc 40 est un multiple de 5 et un multiple de 10.

Les critères de divisibilité permettent de répondre rapidement à la question : « Ce nombre est-il divisible par ... ? » sans poser la division complète.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour un nombre entier écrit en base dix, on a les critères suivants : il est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; il est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0 ; il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Ces critères doivent être connus précisément. Pour 2, 5 et 10, il suffit de regarder le chiffre des unités, c’est-à-dire le dernier chiffre du nombre. Pour 3 et 9, on doit calculer la somme des chiffres.

• Divisibilité par 2 : chiffre des unités pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilité par 3 : somme des chiffres divisible par 3.
• Divisibilité par 5 : chiffre des unités égal à 0 ou 5.
• Divisibilité par 9 : somme des chiffres divisible par 9.
• Divisibilité par 10 : chiffre des unités égal à 0.

4. Démonstration

On peut comprendre pourquoi ces critères fonctionnent en observant l’écriture décimale des nombres. Un nombre comme 342 s’écrit 3 centaines, 4 dizaines et 2 unités : 342 = 3 × 100 + 4 × 10 + 2. Les dizaines et les centaines se terminent toujours par 0. C’est pour cela que, pour savoir si un nombre est divisible par 2, par 5 ou par 10, le dernier chiffre joue un rôle essentiel.

Pour la divisibilité par 2, tous les nombres se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont pairs. On peut les partager en deux groupes égaux. Par exemple, 128 se termine par 8, donc il est divisible par 2. Pour la divisibilité par 5, les multiples de 5 se terminent toujours par 0 ou 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30. Pour la divisibilité par 10, les multiples de 10 se terminent toujours par 0 : 10, 20, 30, 40, etc.

Pour 3 et 9, le critère repose sur la somme des chiffres. En effet, 10 vaut 9 + 1, 100 vaut 99 + 1, 1000 vaut 999 + 1. Les nombres 9, 99 et 999 sont divisibles par 9 et aussi par 3. Il reste donc, pour tester la divisibilité, à regarder la somme des chiffres. Ainsi, 342 = 3 × 100 + 4 × 10 + 2 a le même reste que 3 + 4 + 2 pour une division par 3 ou par 9. Comme 3 + 4 + 2 = 9, 342 est divisible par 3 et par 9.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je lis le nombre entier et je regarde d’abord son chiffre des unités. C’est le dernier chiffre du nombre. Par exemple, dans 735, le chiffre des unités est 5.
2. Je teste 2, 5 et 10 : si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, le nombre est divisible par 2. S’il est 0 ou 5, le nombre est divisible par 5. S’il est 0, le nombre est divisible par 10.
3. Je calcule la somme des chiffres : pour tester la divisibilité par 3 et par 9, j’additionne tous les chiffres du nombre. Par exemple, pour 735, je calcule 7 + 3 + 5 = 15.
4. J’applique le bon critère : si la somme obtenue est divisible par 3, le nombre est divisible par 3. Si la somme obtenue est divisible par 9, le nombre est divisible par 9.
5. Je justifie : je rédige une phrase complète : « Le nombre est divisible par ... car ... ». Par exemple : « 735 est divisible par 3 car 7 + 3 + 5 = 15 et 15 est divisible par 3. »
6. Je vérifie : si j’ai un doute, je peux contrôler par une division mentale simple ou chercher un multiple proche.

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le dernier chiffre ou la somme des chiffres, j’applique le critère adapté, puis je vérifie que ma justification correspond bien à la règle utilisée.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut déterminer si le nombre 480 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.

Divisibilité par 2 : 480 se termine par 0. Or 0 est un chiffre pair. Donc 480 est divisible par 2.

Divisibilité par 5 : 480 se termine par 0. Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5. Donc 480 est divisible par 5.

Divisibilité par 10 : 480 se termine par 0. Donc 480 est divisible par 10.

Divisibilité par 3 : on additionne les chiffres : 4 + 8 + 0 = 12. Or 12 est divisible par 3, car 12 = 3 × 4. Donc 480 est divisible par 3.

Divisibilité par 9 : la somme des chiffres vaut 12. Or 12 n’est pas divisible par 9. Donc 480 n’est pas divisible par 9.

Conclusion : 480 est divisible par 2, 3, 5 et 10, mais pas par 9. Cet exemple montre qu’un nombre divisible par 3 n’est pas forcément divisible par 9.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On cherche un chiffre manquant dans le nombre 52□ pour qu’il soit divisible par 3. Le symbole □ représente un chiffre entre 0 et 9.

Pour utiliser le critère de divisibilité par 3, on additionne les chiffres : 5 + 2 + □ = 7 + □. Il faut que cette somme soit divisible par 3.

On teste les chiffres possibles :

• si □ = 0, la somme vaut 7, non divisible par 3 ;
• si □ = 1, la somme vaut 8, non divisible par 3 ;
• si □ = 2, la somme vaut 9, divisible par 3 ;
• si □ = 5, la somme vaut 12, divisible par 3 ;
• si □ = 8, la somme vaut 15, divisible par 3.

Les chiffres possibles sont donc 2, 5 et 8. Les nombres obtenus sont 522, 525 et 528. Ils sont tous divisibles par 3.

Si l’on demandait en plus que le nombre soit divisible par 5, il faudrait que le chiffre des unités soit 0 ou 5. Parmi 2, 5 et 8, seul 5 convient. Le nombre serait donc 525.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une association prépare des sachets identiques pour une fête. Elle possède 1 458 bonbons. Elle veut savoir si elle peut faire des sachets de 2, de 3, de 5, de 9 ou de 10 bonbons sans qu’il reste de bonbons.

Pour des sachets de 2 : 1 458 se termine par 8. Comme 8 est pair, 1 458 est divisible par 2. On peut faire des sachets de 2.

Pour des sachets de 3 : on calcule la somme des chiffres : 1 + 4 + 5 + 8 = 18. Comme 18 est divisible par 3, 1 458 est divisible par 3. On peut faire des sachets de 3.

Pour des sachets de 5 : le nombre se termine par 8. Il ne se termine ni par 0 ni par 5. Donc 1 458 n’est pas divisible par 5.

Pour des sachets de 9 : la somme des chiffres vaut 18. Comme 18 est divisible par 9, 1 458 est divisible par 9. On peut faire des sachets de 9.

Pour des sachets de 10 : le nombre ne se termine pas par 0. Donc 1 458 n’est pas divisible par 10.

Réponse : l’association peut faire des sachets de 2, de 3 ou de 9 bonbons, mais pas des sachets de 5 ou de 10 bonbons.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : penser qu’un nombre divisible par 5 doit forcément se terminer par 5 — À faire : retenir qu’un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou par 5. Par exemple, 30 est divisible par 5.
• Erreur : confondre « divisible par 9 » et « se termine par 9 » — À faire : utiliser la somme des chiffres. Par exemple, 19 se termine par 9 mais n’est pas divisible par 9, car 1 + 9 = 10.
• Erreur : tester la divisibilité par 3 avec le dernier chiffre — À faire : additionner les chiffres du nombre. Par exemple, 123 est divisible par 3 car 1 + 2 + 3 = 6.
• Erreur : oublier qu’un nombre terminé par 0 est divisible par 2 — À faire : mémoriser les chiffres pairs : 0, 2, 4, 6 et 8.
• Erreur : répondre seulement « oui » ou « non » sans expliquer — À faire : écrire une justification : « Il est divisible par ... car ... ».

10. À retenir

• Divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilité par 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Divisibilité par 5 : un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Divisibilité par 10 : un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
• Un nombre divisible par 10 est toujours divisible par 5 et par 2.
• Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, car 9 = 3 × 3.
• Pour justifier, on nomme toujours le critère utilisé : chiffre des unités ou somme des chiffres.

Phrase-type utile : « Le nombre ... est divisible par ... car ... ». Exemple : « 342 est divisible par 9 car 3 + 4 + 2 = 9 et 9 est divisible par 9. »

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices en PDF sur les critères de divisibilité 6e. Elle permet de s’entraîner à reconnaître les nombres divisibles par 2, 3, 5, 9 et 10, à justifier les réponses et à trouver des chiffres manquants.

Aperçu des types d’exercices proposés : Je complète le tableau, avec plusieurs nombres à tester ; Vrai ou faux ?, pour repérer les affirmations correctes ; Associer le bon critère, pour relier chaque règle à son utilisation ; Trouver le chiffre manquant, par exemple dans 4□2 ou 73□ ; Choisir les nombres possibles, dans une liste de nombres entiers.

Barème possible sur 10 points : application des critères par 2, 5 et 10 sur 2 points ; application du critère par 3 sur 2 points ; application du critère par 9 sur 2 points ; justifications correctes avec chiffre des unités ou somme des chiffres sur 2 points ; présentation claire et réponses complètes sur 2 points.

Conseil de travail : avant de répondre, écris au brouillon le chiffre des unités et la somme des chiffres. Cela évite de confondre les critères et oblige à vérifier la règle utilisée.

12. Questions fréquentes