Solides : vocabulaire et patrons (cube, pavé droit)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : en technologie, en arts plastiques ou dans la vie quotidienne, on rencontre souvent des objets en forme de cube ou de pavé droit : une boîte de mouchoirs, une brique de lait, un dé, un colis, une boîte de jeu. Pour les décrire correctement, il faut utiliser un vocabulaire précis : face, arête, sommet. Pour les fabriquer en papier ou en carton, il faut aussi savoir reconnaître ou construire un patron. Mais une difficulté apparaît vite : sur un dessin en perspective, on ne voit pas toujours toutes les parties du solide, et dans le plan, tous les assemblages de carrés ou de rectangles ne permettent pas forcément de reconstituer le solide.

L’objectif de cette leçon de 6e est donc double. D’abord, apprendre à identifier les éléments d’un solide : ses faces, ses arêtes et ses sommets. Ensuite, apprendre à reconnaître et à construire un patron de cube ou de pavé droit. On retiendra particulièrement qu’un cube possède 6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets, et qu’un pavé droit possède aussi 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets, mais avec des faces rectangulaires. La notion de patron est essentielle : elle permet de passer d’un objet en trois dimensions à une figure plane que l’on peut découper, plier et assembler.

2. Définition

Définition : Un solide est un objet géométrique en trois dimensions. Il possède une longueur, une largeur et une hauteur. Les surfaces planes qui le délimitent s’appellent des faces. Les segments où deux faces se rencontrent s’appellent des arêtes. Les points où plusieurs arêtes se rencontrent s’appellent des sommets. Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après découpage et pliage, de construire ce solide sans trou ni superposition.

Le mot repère est cube : cu-be. On associe à ce mot un repère chiffré très important : 1 cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Cette phrase doit être sue avec précision, car elle sert de modèle pour comparer d’autres solides.

Un cube est un solide dont les 6 faces sont des carrés superposables, c’est-à-dire de même taille. Toutes ses arêtes ont la même longueur. Un dé classique a la forme d’un cube.

Un pavé droit, aussi appelé parallélépipède rectangle, est un solide dont les 6 faces sont des rectangles. Certaines faces peuvent être des carrés dans des cas particuliers, mais en général les dimensions ne sont pas toutes égales. Une boîte à chaussures ou une brique alimentaire ont souvent la forme d’un pavé droit.

Dans cette leçon, les mots à reconnaître et à écrire correctement sont : face, arête, sommet, patron, cube et pavé droit. En majuscules : FACE, ARÊTE, SOMMET, PATRON, CUBE, PAVÉ DROIT.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Un cube possède 6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets. Un pavé droit possède 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. Un patron de cube est formé de 6 carrés de même taille qui, après pliage, reconstituent le cube sans superposition. Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles correspondant aux faces du pavé droit, avec trois paires de faces opposées identiques.

Pour le cube, toutes les faces sont identiques : ce sont 6 carrés. Cela signifie que pour construire un patron de cube, on doit utiliser exactement 6 carrés de même côté. Cependant, il ne suffit pas de dessiner n’importe quel assemblage de 6 carrés : certains assemblages ne se plient pas correctement. Il existe exactement 11 patrons différents du cube, si l’on ne tient pas compte des rotations et des retournements.

Pour le pavé droit, les faces sont organisées par paires. Si ses dimensions sont longueur, largeur et hauteur, alors on trouve deux faces de dimensions longueur × largeur, deux faces de dimensions longueur × hauteur et deux faces de dimensions largeur × hauteur. Les faces opposées sont identiques et parallèles. Cette propriété aide à contrôler un patron de pavé droit : chaque type de rectangle doit apparaître deux fois.

Dans un dessin en perspective cavalière, certaines faces, arêtes ou sommets peuvent être cachés. Il faut donc raisonner sur le solide entier, et pas seulement sur ce que l’on voit. Pour compter correctement, on peut faire tourner un solide réel ou imaginer les parties cachées.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi un cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets, on peut partir d’un cube réel, par exemple un dé. On observe d’abord ses faces. Il y en a une devant, une derrière, une à gauche, une à droite, une au-dessus et une au-dessous : cela fait 6 faces. Ces faces sont toutes carrées et de même taille.

Pour compter les arêtes, on peut raisonner par niveaux. Sur la face du dessus, il y a 4 arêtes. Sur la face du dessous, il y a aussi 4 arêtes. Entre le dessus et le dessous, il y a 4 arêtes verticales qui relient les sommets correspondants. On obtient donc 4 + 4 + 4 = 12 arêtes.

Pour compter les sommets, on observe que la face du dessus a 4 sommets et que la face du dessous a 4 sommets. Aucun sommet du dessus n’est le même qu’un sommet du dessous. On obtient donc 4 + 4 = 8 sommets.

Le même raisonnement fonctionne pour un pavé droit. Même si les faces ne sont pas toutes carrées, la structure du solide reste la même : une face avant, une face arrière, une face gauche, une face droite, une face supérieure et une face inférieure. Il possède donc aussi 6 faces. Les arêtes se comptent de la même façon : 4 en haut, 4 en bas et 4 verticales, soit 12. Les sommets se répartissent également en 4 en haut et 4 en bas, soit 8.

Pour un patron, la justification repose sur le pliage. Chaque face du solide doit être représentée une seule fois dans le plan. Lorsque l’on plie le patron, deux faces voisines doivent se rencontrer le long d’une arête, sans se recouvrir. Si deux faces se superposent, ce n’est pas un patron correct. S’il manque une face, le solide n’est pas fermé.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’observe le solide. Je distingue les faces, les arêtes et les sommets. Une face est une surface plane, une arête est un segment commun à deux faces, un sommet est un point où plusieurs arêtes se rencontrent.
2. Je nomme le solide. Si toutes les faces sont des carrés identiques, c’est un cube. Si les faces sont des rectangles et que les faces opposées sont identiques, c’est un pavé droit.
3. Je compte les faces. Pour un cube ou un pavé droit, je dois trouver 6 faces. Je pense aux faces cachées : devant, derrière, gauche, droite, dessus, dessous.
4. Je compte les arêtes. Je peux utiliser la méthode 4 en haut, 4 en bas, 4 verticales. Cela donne 12 arêtes.
5. Je compte les sommets. Je compte 4 sommets sur la partie du haut et 4 sommets sur la partie du bas. Cela donne 8 sommets.
6. J’applique pour un patron de cube. Je vérifie qu’il y a 6 carrés de même taille. Puis j’imagine le pliage ou je le réalise avec du papier.
7. J’applique pour un patron de pavé droit. Je vérifie qu’il y a 6 rectangles correspondant aux faces du pavé. Les rectangles doivent former trois paires identiques : longueur × largeur, longueur × hauteur, largeur × hauteur.
8. Je vérifie. Je contrôle que le patron peut se replier sans trou ni superposition. Les faces doivent s’assembler le long des arêtes prévues.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : On observe une boîte en forme de pavé droit. Compléter : nombre de faces, nombre d’arêtes, nombre de sommets.

Résolution : Une boîte en forme de pavé droit possède 6 faces. On peut les nommer ainsi : face avant, face arrière, face gauche, face droite, face du dessus et face du dessous. Même si certaines faces ne sont pas visibles sur un dessin, elles existent bien.

Pour les arêtes, on compte 4 arêtes sur le rectangle du dessus, 4 arêtes sur le rectangle du dessous et 4 arêtes verticales. Donc 4 + 4 + 4 = 12 arêtes.

Pour les sommets, il y en a 4 en haut et 4 en bas. Donc 4 + 4 = 8 sommets.

Réponse : Le pavé droit possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

Remarque : Le cube possède le même nombre de faces, d’arêtes et de sommets. La différence principale est que les 6 faces du cube sont des carrés de même taille, alors que les faces du pavé droit sont des rectangles, groupés par paires identiques.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : On donne une figure plane formée de 6 carrés de même taille. Quelles vérifications faut-il faire pour savoir si c’est un patron de cube ?

Résolution : La première vérification est le nombre de faces. Un cube a 6 faces, donc il faut 6 carrés. Ici, la figure possède bien 6 carrés. La deuxième vérification est la forme des faces. Toutes les faces d’un cube sont des carrés identiques, donc les 6 carrés doivent avoir le même côté. Ici, c’est le cas.

Mais cela ne suffit pas. Il faut ensuite vérifier le pliage. On imagine que certains carrés se relèvent pour former les faces latérales, puis qu’un carré ferme le dessus et un autre ferme le dessous. Si deux carrés arrivent au même endroit pendant le pliage, il y a superposition : la figure n’est pas un patron. Si au contraire les 6 carrés forment exactement les 6 faces du cube, sans trou ni recouvrement, la figure est un patron.

Réponse : Pour reconnaître un patron de cube, on vérifie qu’il y a 6 carrés de même taille et que le pliage permet de former un cube sans superposition. Il faut se rappeler que tous les assemblages de 6 carrés ne sont pas des patrons de cube.

Information utile : Il existe 11 patrons du cube différents, si l’on ne distingue pas les patrons obtenus par rotation ou retournement.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : On veut construire une boîte en forme de pavé droit de dimensions 8 cm, 5 cm et 3 cm. Quelles faces doit contenir son patron ?

Résolution : Un pavé droit possède 6 faces. Ses dimensions sont : longueur 8 cm, largeur 5 cm et hauteur 3 cm. Les faces vont par paires opposées identiques.

La face du dessus et la face du dessous ont pour dimensions 8 cm × 5 cm. Il faut donc deux rectangles de dimensions 8 cm × 5 cm.

La face avant et la face arrière ont pour dimensions 8 cm × 3 cm. Il faut donc deux rectangles de dimensions 8 cm × 3 cm.

La face gauche et la face droite ont pour dimensions 5 cm × 3 cm. Il faut donc deux rectangles de dimensions 5 cm × 3 cm.

Un patron possible peut être construit en plaçant quatre rectangles latéraux en bande : 8 cm × 3 cm, puis 5 cm × 3 cm, puis 8 cm × 3 cm, puis 5 cm × 3 cm. Ensuite, on ajoute un rectangle 8 cm × 5 cm au-dessus d’un rectangle de la bande et un autre rectangle 8 cm × 5 cm en dessous d’un rectangle correspondant, en veillant à ce que le pliage ferme la boîte sans superposition.

Réponse : Le patron doit contenir deux rectangles 8 cm × 5 cm, deux rectangles 8 cm × 3 cm et deux rectangles 5 cm × 3 cm. Les longueurs doivent être cohérentes au niveau des arêtes communes.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Confondre arête et sommet. Une arête est parfois prise pour un point, ou un sommet pour un segment. — À faire : Manipuler une boîte : toucher une face avec la main, suivre une arête avec le doigt, pointer un sommet.
• Erreur : Compter seulement les faces visibles sur un dessin en perspective. — À faire : Se rappeler qu’un cube ou un pavé droit possède aussi des faces cachées. Faire tourner le solide dans sa tête ou utiliser un objet réel.
• Erreur : Penser que tout assemblage de 6 carrés est un patron de cube. — À faire : Imaginer ou tester le pliage. Le patron doit former un cube sans trou ni superposition.
• Erreur : Oublier que les faces opposées d’un pavé droit sont identiques. — À faire : Colorier les faces opposées de la même couleur : dessus/dessous, avant/arrière, gauche/droite.
• Erreur : Tracer un patron de pavé droit avec des longueurs incohérentes. — À faire : Écrire les trois dimensions puis former les trois couples : longueur × largeur, longueur × hauteur, largeur × hauteur.
• Erreur : Mélanger cube et pavé droit. — À faire : Vérifier les faces : si les 6 faces sont des carrés de même taille, c’est un cube ; si les faces sont rectangulaires par paires, c’est un pavé droit.

10. À retenir

• Un solide est un objet géométrique en trois dimensions : longueur, largeur et hauteur.
• Une face est une surface plane qui délimite un solide.
• Une arête est un segment commun à deux faces.
• Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rencontrent.
• Un cube possède 6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets.
• Un pavé droit possède 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets.
• Dans un pavé droit, les faces opposées sont identiques.
• Un patron est une figure plane qui permet de construire un solide après pliage.
• Un patron correct ne doit produire ni trou ni superposition.
• Il existe 11 patrons différents du cube.
• Routine de travail : 👀 je repère, ✏️ j’applique, ✅ je vérifie.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Solides : vocabulaire et patrons du cube et du pavé droit — 6e » au format PDF. Elle peut contenir des figures à compléter, des patrons à reconnaître, des tableaux à remplir et des constructions à réaliser sur quadrillage.

Aperçu des types d’exercices : Le premier exercice, « Compléter le tableau des solides », demande d’indiquer le nombre de faces, d’arêtes et de sommets pour un cube et un pavé droit. Le deuxième exercice, « Vrai ou faux ? », vérifie la compréhension du vocabulaire : face, arête, sommet, patron. Le troisième exercice, « Reconnaître un patron de cube », propose plusieurs assemblages de 6 carrés : il faut dire lesquels sont de vrais patrons. Le quatrième exercice, « Coder un patron de pavé droit », demande d’identifier les paires de rectangles correspondant aux faces opposées. Le cinquième exercice, « Choisir le bon patron », présente plusieurs propositions pour une boîte de dimensions données.

Barème possible sur 20 points : vocabulaire face, arête, sommet correctement utilisé : 4 points ; comptage des faces, arêtes et sommets : 4 points ; reconnaissance de patrons de cube : 4 points ; détermination des faces d’un patron de pavé droit : 5 points ; justification claire et soin des constructions : 3 points.

Pour réussir ces exercices, il est conseillé de toujours appliquer la même routine : je repère les éléments du solide, j’applique les propriétés connues, puis je vérifie le résultat. En cas de doute sur un patron, le découpage et le pliage d’un brouillon sont souvent très efficaces.

12. Questions fréquentes