Programmes de construction et logiciel de géométrie

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un camarade te donne la consigne suivante : « Trace un segment [AB] de 6 cm. Construis le cercle de centre A et de rayon 4 cm. Construis le cercle de centre B et de rayon 3 cm. Appelle C l’un des points d’intersection des deux cercles. Trace le triangle ABC. » Si tu réalises ces actions dans le bon ordre, tu obtiens une figure précise. Mais si tu oublies une étape, si tu confonds centre et rayon, ou si tu nommes mal les points, la figure ne correspond plus à la consigne.

En géométrie de 6e, un programme de construction est comme une recette : il faut lire, comprendre, suivre l’ordre, puis vérifier. Le mot repère est programme, que l’on peut découper en syllabes : pro-gram-me. Comme une recette, un programme de construction se lit dans l’ordre ; par exemple : 1. tracer [AB], 2. construire le cercle de centre A, 3. placer C.

L’objectif de cette leçon est de savoir lire et rédiger un programme de construction, puis de le réaliser d’abord à main levée pour comprendre la figure, ensuite avec les instruments, et enfin éventuellement avec un logiciel de géométrie comme GeoGebra. Cette compétence est importante car elle oblige à utiliser un vocabulaire géométrique précis : point, segment, droite, cercle, rayon, centre, perpendiculaire, parallèle, longueur, intersection.

2. Définition

Définition : Un programme de construction est une suite d’étapes écrites dans un ordre précis qui permet de construire une figure géométrique. Chaque étape doit indiquer clairement l’action à effectuer, les objets géométriques utilisés, les noms des points et, si nécessaire, les mesures.

Un programme de construction peut être donné sous forme de phrases numérotées. Il peut aussi être rédigé à partir d’une figure déjà construite. Dans ce cas, il faut observer la figure, repérer les objets de départ, puis décrire les constructions dans un ordre logique.

Le vocabulaire doit être rigoureux. On écrit par exemple : « Tracer le segment [AB] de longueur 5 cm », « Construire le cercle de centre O et de rayon 3 cm », « Tracer la droite perpendiculaire à (d) passant par A ». Les mots importants sont : programme de construction, étape, point, segment, cercle de centre O et de rayon 3 cm, droite perpendiculaire. En majuscules, on retient : PROGRAMME DE CONSTRUCTION, ÉTAPE, POINT, SEGMENT, CERCLE, DROITE PERPENDICULAIRE.

Un point se nomme avec une lettre majuscule, comme A, B, C ou O. Un segment se note avec des crochets, par exemple [AB]. Une droite se note avec des parenthèses, par exemple (AB). Un cercle est défini par son centre et son rayon : si le centre est O et le rayon mesure 3 cm, on écrit « cercle de centre O et de rayon 3 cm ».

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Une figure géométrique est correctement construite à partir d’un programme si chaque étape est réalisée dans l’ordre, avec les objets géométriques indiqués, les mesures données et les noms des points respectés.

Dans ce chapitre, on ne démontre pas un théorème numérique comme en calcul, mais on utilise des propriétés de construction. Par exemple, pour tracer un cercle de centre A et de rayon 4 cm, il faut placer la pointe du compas sur A et régler l’ouverture du compas sur 4 cm. Tous les points du cercle sont alors à 4 cm du point A.

Pour construire une droite perpendiculaire, on utilise l’équerre. Si la droite construite forme un angle droit avec la droite donnée, alors elle est perpendiculaire. Le symbole de l’angle droit sur la figure sert à indiquer cette propriété.

Pour construire une figure fiable, il faut distinguer les objets. Un point est une position. Un segment est une partie de droite limitée par deux points. Une droite est illimitée. Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un centre. Une intersection est un point commun à deux objets, par exemple le point où deux cercles se coupent.

Avec un logiciel de géométrie comme GeoGebra, les mêmes idées sont utilisées. On ne trace pas seulement une image : on construit des objets dépendants les uns des autres. Si l’on déplace un point de départ, les objets construits à partir de ce point se déplacent aussi. C’est ce qu’on appelle une figure dynamique.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi l’ordre des étapes est indispensable, observons un programme simple :

1. Placer un point A. 2. Tracer le cercle de centre A et de rayon 3 cm. 3. Placer un point B sur ce cercle. 4. Tracer le segment [AB].

Si l’on respecte ce programme, le point B est forcément situé sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm. Donc la distance AB mesure 3 cm, car tous les points du cercle sont à 3 cm du centre A. Le segment [AB] est alors un rayon du cercle.

Si l’on inverse les étapes 2 et 3, on risque de placer B n’importe où. Le segment [AB] n’aura pas forcément une longueur de 3 cm. La figure finale pourra ressembler à la figure attendue, mais elle ne respectera pas le programme. Cette observation montre que le programme n’est pas seulement une liste d’actions : c’est une organisation logique.

On peut aussi justifier l’intérêt de la figure à main levée. Avant de construire avec précision, on réalise un dessin rapide pour comprendre la position des objets. Cette figure n’a pas besoin d’être exacte, mais elle doit respecter les relations principales : un point sur un cercle, un segment entre deux points, une droite perpendiculaire, une intersection. Elle aide à anticiper les étapes et à éviter les erreurs de placement.

La construction avec instruments vient ensuite. La règle graduée permet de mesurer et de tracer des segments. Le compas permet de reporter des longueurs et de construire des cercles. L’équerre permet de tracer des droites perpendiculaires et de vérifier des angles droits. Le logiciel GeoGebra permet enfin de refaire la construction de manière dynamique et de contrôler certaines propriétés.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je lis tout le programme avant de commencer. Je souligne les objets à construire : points, segments, cercles, droites, droites perpendiculaires, intersections. Je repère aussi les mesures : 3 cm, 5 cm, 90°, etc.
2. Je comprends les mots : je vérifie que je sais ce que signifie chaque consigne. « Tracer [AB] » signifie tracer le segment qui relie A à B. « Construire le cercle de centre O et de rayon 3 cm » signifie piquer le compas en O et l’ouvrir de 3 cm.
3. Je prépare une figure à main levée : je fais un croquis rapide, sans chercher la précision parfaite. Je place les noms des points et j’indique les longueurs ou les propriétés importantes.
4. J’applique les étapes dans l’ordre : je réalise la construction avec la règle, le compas, l’équerre et le crayon. Je ne saute aucune étape et je ne modifie pas les noms des points.
5. Je vérifie après chaque étape : je contrôle les longueurs, les cercles, les intersections, les angles droits et les noms. Si une erreur apparaît, je la corrige immédiatement.
6. Je rédige si nécessaire : si l’on me demande d’écrire un programme, j’utilise des verbes précis : placer, tracer, construire, mesurer, relier, nommer. J’écris une action par étape.
7. Je peux comparer avec GeoGebra : je reproduis la construction sur le logiciel pour vérifier les relations entre les objets. Je choisis les outils adaptés : point, segment, cercle centre-rayon, droite perpendiculaire.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On donne le programme suivant :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm. 2. Placer le point O, milieu du segment [AB]. 3. Construire le cercle de centre O et de rayon 3 cm. 4. Placer un point C sur ce cercle. 5. Tracer les segments [AC] et [BC].

Pour le réaliser, on commence par tracer [AB] avec la règle graduée. La longueur doit être exactement 6 cm. On place ensuite le point O au milieu de [AB], donc à 3 cm de A et à 3 cm de B. On construit le cercle de centre O et de rayon 3 cm en plaçant la pointe du compas sur O. On choisit ensuite un point C sur le cercle. Enfin, on relie A à C puis B à C.

La figure obtenue est un triangle ABC inscrit dans un cercle dont [AB] est un diamètre. En 6e, on n’a pas besoin d’étudier toutes les propriétés de cette figure, mais on doit savoir expliquer que C est sur le cercle parce qu’il a été placé sur le cercle, et que O est le centre parce que le programme l’indique.

La vérification consiste à contrôler que AB = 6 cm, que OA = 3 cm, que OB = 3 cm, que le cercle a bien pour centre O, et que le point C appartient au cercle. Si l’un de ces éléments est faux, la construction n’est pas correcte.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans le cas inverse, on donne une figure et on demande de rédiger le programme de construction. Imaginons une figure composée d’un segment [AB] de 5 cm, d’un cercle de centre A et de rayon 4 cm, d’un cercle de centre B et de rayon 4 cm, et d’un point C situé à l’intersection des deux cercles. Les segments [AC] et [BC] sont tracés.

Pour rédiger le programme, il faut retrouver l’ordre logique. On ne peut pas placer C avant d’avoir construit les deux cercles, car C est défini comme un point d’intersection. On commence donc par l’objet de base : le segment [AB]. Ensuite, on construit les deux cercles. Puis on place C à leur intersection. Enfin, on trace les segments qui forment le triangle.

Un programme correct peut être :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 5 cm. 2. Construire le cercle de centre A et de rayon 4 cm. 3. Construire le cercle de centre B et de rayon 4 cm. 4. Placer le point C à l’une des intersections des deux cercles. 5. Tracer les segments [AC] et [BC].

La rédaction est précise car elle indique les centres, les rayons, les points et les segments à tracer. Elle évite les phrases vagues comme « faire deux ronds » ou « dessiner un triangle ». En géométrie, on utilise des mots exacts pour que n’importe quel élève puisse obtenir la même figure.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Problème : un jardinier veut placer un petit arbre C à 4 m d’un piquet A et à 3 m d’un piquet B. Les deux piquets A et B sont distants de 5 m. Comment construire la position possible de l’arbre sur un plan à l’échelle 1 cm pour 1 m ?

À l’échelle, 5 m deviennent 5 cm, 4 m deviennent 4 cm et 3 m deviennent 3 cm. Le programme de construction est donc :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 5 cm. 2. Construire le cercle de centre A et de rayon 4 cm. 3. Construire le cercle de centre B et de rayon 3 cm. 4. Placer le point C à une intersection des deux cercles. 5. Tracer les segments [AC] et [BC] pour vérifier les distances.

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ? Le point C doit être à 4 cm de A sur le plan, donc il doit appartenir au cercle de centre A et de rayon 4 cm. Il doit aussi être à 3 cm de B, donc il doit appartenir au cercle de centre B et de rayon 3 cm. Les positions possibles sont donc les points communs aux deux cercles. S’il y a deux intersections, il y a deux emplacements possibles, symétriques par rapport à la droite (AB).

Avec GeoGebra, on peut construire la même situation. On place A et B, on fixe la distance AB si nécessaire, puis on utilise l’outil cercle centre-rayon. On crée les deux cercles et on utilise l’outil intersection. Le logiciel permet de vérifier rapidement que AC = 4 cm et BC = 3 cm.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : les étapes sont réalisées dans le désordre parce que l’élève commence à tracer avant d’avoir tout lu — À faire : lire le programme en entier, puis numéroter ou surligner les actions avant la construction.
• Erreur : les points ne sont pas nommés ou sont mal placés — À faire : donner un nom à chaque point dès son apparition et respecter les lettres indiquées dans le programme.
• Erreur : le cercle est tracé avec un mauvais rayon à cause d’une confusion entre centre, rayon et diamètre — À faire : reformuler : le centre est le point où l’on pique le compas, le rayon est l’ouverture du compas.
• Erreur : la figure finale ne correspond pas au programme car aucune vérification n’a été faite — À faire : prévoir une pause de contrôle après chaque tracé important.
• Erreur : le programme rédigé est trop vague, par exemple « faire un cercle » ou « relier les points » — À faire : utiliser des phrases complètes : « Construire le cercle de centre A et de rayon 3 cm », « Tracer le segment [AB] ».
• Erreur : confondre droite, segment et demi-droite — À faire : utiliser les notations : [AB] pour le segment, (AB) pour la droite, [AB) pour la demi-droite.

10. À retenir

• Un programme de construction est une suite d’étapes permettant de construire une figure géométrique.
• Les étapes doivent être réalisées dans l’ordre, comme dans une recette.
• Une bonne étape contient un verbe précis, les noms des objets et les mesures utiles.
• Les verbes utiles sont : placer, tracer, construire, relier, mesurer, nommer, vérifier.
• Une figure à main levée sert à comprendre la construction avant d’utiliser les instruments.
• La règle graduée sert à mesurer et tracer des segments ; l’équerre sert à construire des droites perpendiculaires ; le compas sert à construire des cercles et reporter des longueurs.
• GeoGebra permet de construire, modifier et vérifier une figure dynamique.
• La routine efficace est : Je repère, J’applique, Je vérifie.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : programmes de construction et logiciel de géométrie en 6e. Le document peut proposer des activités progressives : comprendre les consignes, remettre les étapes dans l’ordre, recomposer un programme, rédiger le programme d’une figure, comparer une construction à main levée, aux instruments et avec GeoGebra.

Exemples de types d’exercices : dans un premier exercice, il faut associer des consignes à des figures. Dans un deuxième, il faut remettre cinq étapes dans le bon ordre. Dans un troisième, il faut compléter un programme avec les mots manquants : point, segment, cercle, centre, rayon, perpendiculaire. Dans un quatrième, il faut rédiger entièrement le programme de construction d’une figure donnée. Dans un cinquième, il faut construire la même figure à main levée, avec les instruments, puis dans GeoGebra.

Un barème possible sur 20 points est le suivant : compréhension des consignes et du vocabulaire géométrique, 4 points ; respect de l’ordre des étapes, 4 points ; précision de la construction avec les instruments, 4 points ; qualité de la rédaction du programme, 5 points ; vérification et soin de la figure finale, 3 points.

12. Questions fréquentes