Repérage dans le plan : coordonnées (x ; y)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans la cour du collège, un professeur trace au sol un grand quadrillage. Il place un cerceau quelque part sur ce quadrillage et demande : « Comment expliquer à un camarade où se trouve exactement le cerceau, sans le montrer du doigt ? » Si l’on répond « il est là-bas », l’information n’est pas assez précise. Si l’on dit « avance de 3 carreaux puis monte de 2 carreaux », le camarade peut retrouver l’emplacement. En mathématiques, on utilise la même idée pour repérer un point dans le plan : on se sert de deux axes gradués qui forment un repère.

Le repérage dans le plan est une compétence essentielle en 6e. Elle permet de lire des informations sur une carte, de placer des points sur un graphique, de suivre un parcours, de construire une figure ou encore de comprendre des tableaux et des diagrammes. Dans un repère orthogonal, chaque point est décrit par deux nombres écrits dans un ordre précis. Ces deux nombres s’appellent les coordonnées du point.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment lire et placer correctement un point dans un repère orthogonal du plan à l’aide de ses coordonnées ? Pour y répondre, il faut savoir reconnaître l’origine, distinguer l’axe horizontal et l’axe vertical, comprendre les mots abscisse et ordonnée, puis respecter l’écriture mathématique A(x ; y).

2. Définition

Définition : Un repère orthogonal du plan est formé de deux axes gradués qui se coupent en angle droit. Le point d’intersection des deux axes s’appelle l’origine du repère et se note souvent O. Les coordonnées d’un point A s’écrivent A(x ; y). Le premier nombre x est l’abscisse : il indique la position horizontale. Le deuxième nombre y est l’ordonnée : il indique la position verticale.

Dans l’écriture A(x ; y), l’ordre des deux nombres est très important. On lit toujours d’abord l’abscisse, puis l’ordonnée. Le point-virgule sépare les deux nombres. Par exemple, dans A(3 ; 2), le 3 est l’abscisse et le 2 est l’ordonnée. On peut dire : « Depuis l’origine O, on avance de 3 unités horizontalement, puis on monte de 2 unités verticalement. »

Les mots à connaître sont les suivants : COORDONNÉES, ABSCISSE, ORDONNÉE et ORIGINE. Le mot « coordonnées » peut se découper en syllabes : coor-don-nées. Les coordonnées servent à donner une adresse précise à un point dans le plan, comme une adresse sert à retrouver une maison dans une ville.

L’origine du repère se note O(0 ; 0). Cela signifie que son abscisse est 0 et que son ordonnée est 0. Elle est le point de départ pour lire ou placer les autres points.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un repère orthogonal gradué, chaque point du plan est repéré par un unique couple de coordonnées (x ; y), et chaque couple de coordonnées correspond à un unique point du plan.

Cette propriété signifie qu’un point a une seule « adresse » dans le repère. Si le point A est placé à l’intersection de la verticale passant par l’abscisse 4 et de l’horizontale passant par l’ordonnée 1, alors ses coordonnées sont A(4 ; 1). Aucun autre point ne peut avoir exactement les mêmes coordonnées dans le même repère.

De même, si l’on donne les coordonnées B(2 ; 5), alors il existe un seul endroit où placer le point B : à l’intersection de la ligne verticale correspondant à 2 sur l’axe des abscisses et de la ligne horizontale correspondant à 5 sur l’axe des ordonnées.

On retient aussi deux cas particuliers très utiles. Si un point est sur l’axe des abscisses, son ordonnée vaut 0. Par exemple, C(6 ; 0) est sur l’axe horizontal. Si un point est sur l’axe des ordonnées, son abscisse vaut 0. Par exemple, D(0 ; 4) est sur l’axe vertical. Enfin, l’origine est le seul point qui appartient aux deux axes : O(0 ; 0).

4. Démonstration

En 6e, on ne fait pas encore de démonstrations très abstraites, mais on peut justifier pourquoi les coordonnées permettent de retrouver un point sans erreur. Observons un repère orthogonal tracé sur un quadrillage. Les axes sont gradués régulièrement : chaque graduation correspond à une unité. L’axe horizontal sert à lire les abscisses et l’axe vertical sert à lire les ordonnées.

Pour placer un point A(3 ; 2), on commence à l’origine O(0 ; 0). On se déplace horizontalement jusqu’à la graduation 3 sur l’axe des abscisses. À partir de cette position, on se déplace verticalement jusqu’à la hauteur 2. Le point A est placé à l’intersection de la verticale qui passe par 3 et de l’horizontale qui passe par 2.

Pourquoi ce point est-il unique ? Sur un quadrillage, deux lignes non parallèles se coupent en un seul point. La ligne verticale correspondant à l’abscisse 3 et la ligne horizontale correspondant à l’ordonnée 2 se coupent donc en un seul endroit. Il n’y a pas deux intersections possibles. Ainsi, les coordonnées (3 ; 2) désignent un seul point.

Réciproquement, si un point est déjà placé sur le quadrillage, on peut lire son abscisse en regardant la verticale qui descend jusqu’à l’axe horizontal, puis lire son ordonnée en regardant l’horizontale qui va jusqu’à l’axe vertical. On retrouve alors deux nombres dans un ordre précis : d’abord x, puis y. Cela justifie l’écriture A(x ; y).

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’origine. Je cherche le point O, là où les deux axes se coupent. Je vérifie qu’il correspond à O(0 ; 0).
2. Je reconnais les axes. L’axe horizontal est l’axe des abscisses. L’axe vertical est l’axe des ordonnées.
3. Je lis ou j’utilise l’abscisse. Dans A(x ; y), le nombre x se lit en premier. Il indique le déplacement horizontal depuis l’origine.
4. Je lis ou j’utilise l’ordonnée. Dans A(x ; y), le nombre y se lit en second. Il indique le déplacement vertical depuis la position obtenue.
5. Je place le point à l’intersection. Le point n’est pas placé au milieu d’un carreau, mais exactement à l’intersection de deux lignes du quadrillage ou de deux graduations.
6. Je vérifie l’ordre. Je contrôle que je n’ai pas inversé abscisse et ordonnée. On écrit toujours A(x ; y), jamais A(y ; x) sauf si les deux nombres sont égaux.
7. J’écris correctement. Je note le nom du point, puis les parenthèses et le point-virgule : A(3 ; 2).

On peut mémoriser la routine suivante : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère l’origine O, l’axe horizontal des abscisses et l’axe vertical des ordonnées. J’applique la règle : pour placer A(x ; y), je pars de O, je lis d’abord x horizontalement, puis y verticalement. Je vérifie enfin que le point est bien à l’intersection des deux graduations et que l’ordre abscisse puis ordonnée est respecté.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On donne un repère orthogonal et on demande de placer le point A(4 ; 3). Le point A a pour abscisse 4 et pour ordonnée 3. Le nombre 4 se lit sur l’axe horizontal. Le nombre 3 se lit sur l’axe vertical.

Étape 1 : on place son crayon sur l’origine O(0 ; 0). Étape 2 : on avance horizontalement jusqu’à la graduation 4 de l’axe des abscisses. Étape 3 : à partir de cette verticale, on monte jusqu’à la hauteur 3. Étape 4 : on marque le point à l’intersection de la verticale passant par 4 et de l’horizontale passant par 3. On écrit enfin la lettre A près du point.

Conclusion : le point A(4 ; 3) est placé 4 unités à droite de l’origine et 3 unités vers le haut. L’ordre des coordonnées a été respecté : abscisse 4, ordonnée 3.

Attention : si l’on plaçait le point en avançant de 3 puis en montant de 4, on obtiendrait le point (3 ; 4), qui n’est pas le même point. Dans un repère, A(4 ; 3) et A(3 ; 4) sont généralement deux points différents.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Cette fois, un point B est déjà placé dans un repère orthogonal. On doit écrire ses coordonnées. Pour lire des coordonnées, il faut partir du point et revenir aux axes.

Supposons que le point B se trouve à l’intersection de la verticale passant par la graduation 2 sur l’axe horizontal et de l’horizontale passant par la graduation 5 sur l’axe vertical. On lit d’abord l’abscisse : la verticale du point rejoint l’axe des abscisses au nombre 2. Donc l’abscisse de B est 2. Ensuite, on lit l’ordonnée : l’horizontale du point rejoint l’axe des ordonnées au nombre 5. Donc l’ordonnée de B est 5.

On écrit alors : B(2 ; 5). On n’écrit pas B(5 ; 2), car le premier nombre doit toujours correspondre à la position horizontale. Pour vérifier, on peut refaire le chemin depuis l’origine : partir de O, avancer jusqu’à 2, puis monter jusqu’à 5. On retombe bien sur le point B.

Si le point se trouve sur un axe, il faut penser au zéro. Par exemple, si un point E est situé sur l’axe des abscisses à la graduation 7, ses coordonnées sont E(7 ; 0), car il n’a pas de hauteur au-dessus de l’axe. Si un point F est situé sur l’axe des ordonnées à la graduation 6, ses coordonnées sont F(0 ; 6), car il n’est pas décalé horizontalement.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un plan simplifié d’un parc est représenté par un repère orthogonal. L’entrée du parc est l’origine O(0 ; 0). Chaque unité correspond à 10 mètres. La fontaine est au point F(3 ; 2), le banc est au point B(6 ; 2), et le kiosque est au point K(6 ; 5). On veut décrire un parcours qui va de l’entrée à la fontaine, puis au banc, puis au kiosque.

Pour aller de O à F(3 ; 2), on avance de 3 unités horizontalement, puis on monte de 2 unités. Comme une unité représente 10 mètres, cela correspond à 30 mètres vers la droite et 20 mètres vers le haut sur le plan. Pour aller de F(3 ; 2) à B(6 ; 2), l’ordonnée reste la même : 2. On se déplace seulement horizontalement de l’abscisse 3 à l’abscisse 6. Le banc est donc sur la même ligne horizontale que la fontaine.

Pour aller de B(6 ; 2) à K(6 ; 5), l’abscisse reste la même : 6. On se déplace seulement verticalement de l’ordonnée 2 à l’ordonnée 5. Le kiosque est donc sur la même ligne verticale que le banc.

Ce problème montre que les coordonnées permettent de décrire des positions, mais aussi de comprendre des alignements. Deux points qui ont la même ordonnée sont sur une même ligne horizontale. Deux points qui ont la même abscisse sont sur une même ligne verticale.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : inverser les deux nombres, par exemple lire A(2 ; 5) au lieu de A(5 ; 2) — À faire : verbaliser à chaque fois : x horizontal d’abord, y vertical ensuite.
• Erreur : placer le point entre deux graduations ou au milieu d’un carreau — À faire : repasser les lignes du quadrillage et placer le point exactement à l’intersection des deux graduations.
• Erreur : commencer à compter à partir de 1 au lieu de partir de l’origine — À faire : entourer O(0 ; 0), puis tracer un chemin depuis O avant de placer le point.
• Erreur : mal coder les points situés sur les axes — À faire : comparer les cas (0 ; 4), (4 ; 0) et (0 ; 0), puis repérer quel nombre vaut 0.
• Erreur : écrire seulement « 3 ; 2 » sans nom de point ni parenthèses — À faire : utiliser le modèle complet A(3 ; 2), avec la lettre du point, les parenthèses et le point-virgule.
• Erreur : confondre l’axe horizontal et l’axe vertical — À faire : écrire « abscisses » sous l’axe horizontal et « ordonnées » près de l’axe vertical au début de l’exercice.

10. À retenir

• Un repère orthogonal est formé de deux axes gradués perpendiculaires.
• L’origine du repère est le point O(0 ; 0), commun aux deux axes.
• Les coordonnées d’un point s’écrivent sous la forme A(x ; y).
• Le premier nombre, x, est l’abscisse : il se lit sur l’axe horizontal.
• Le deuxième nombre, y, est l’ordonnée : il se lit sur l’axe vertical.
• Pour placer A(x ; y), on part de O, on se déplace horizontalement selon x, puis verticalement selon y.
• Pour lire les coordonnées d’un point, on lit d’abord sa position horizontale, puis sa position verticale.
• Un point sur l’axe des abscisses a une ordonnée égale à 0.
• Un point sur l’axe des ordonnées a une abscisse égale à 0.
• La précision du placement et la notation mathématique sont indispensables.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur le repérage dans le plan : coordonnées (x ; y) en 6e.

La fiche d’exercices peut proposer plusieurs types d’activités progressives. Dans un premier exercice, l’élève lit des coordonnées dans un tableau et complète des phrases comme : « Le point A a pour abscisse ... et pour ordonnée ... ». Dans un exercice de vrai ou faux, il doit vérifier des affirmations, par exemple : « Le point C(0 ; 5) est sur l’axe des abscisses. » Il doit alors justifier sa réponse en utilisant le rôle du zéro.

Un autre exercice consiste à associer chaque point à ses coordonnées. On donne un repère avec plusieurs points placés et une liste de coordonnées, puis l’élève relie les bonnes paires. Dans un exercice d’écriture, il observe des points sur un quadrillage et écrit leurs coordonnées avec la notation correcte : A(x ; y). Enfin, un exercice de parcours peut demander de placer successivement plusieurs points, par exemple P(1 ; 1), Q(4 ; 1), R(4 ; 3), S(1 ; 3), puis de relier les points pour faire apparaître une figure.

Pour se corriger, on peut utiliser un barème simple : lecture correcte de l’abscisse, 1 point ; lecture correcte de l’ordonnée, 1 point ; respect de l’ordre x puis y, 1 point ; placement précis du point à l’intersection des graduations, 1 point ; notation mathématique correcte avec parenthèses, point-virgule et nom du point, 1 point.

12. Questions fréquentes